2018屆吉林省長(zhǎng)春市普通高中高三一模考試數(shù)學(xué)精彩試題卷理科解析匯報(bào)版

1、實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 2018屆吉林省長(zhǎng)春市普通高中高三一?？荚囶} 數(shù)學(xué)試題卷（理科） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. 設(shè)為虛數(shù)單位，則（ ） A. B. C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 由題意可得：. 本題選擇A選項(xiàng). 2. 集合的子集的個(gè)數(shù)為（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 集合含有3 個(gè)元素，則其子集的個(gè)數(shù)為. 本題選擇C選項(xiàng). 3. 若圖是某學(xué)校某年級(jí)的三個(gè)班在一學(xué)期內(nèi)的六次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均成績(jī) 關(guān)于測(cè)試序號(hào)的函數(shù)圖像，為了容易看出一個(gè)班級(jí)的成績(jī)變化，將離散的點(diǎn)用

2、虛線連接，根據(jù)圖像，給出下列結(jié)論： 一班成績(jī)始終高于年級(jí)平均水平，整體成績(jī)比較好； 二班成績(jī)不夠穩(wěn)定，波動(dòng)程度較大； 三班成績(jī)雖然多數(shù)時(shí)間低于年級(jí)平均水平，但在穩(wěn)步提升 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】通過函數(shù)圖象，可以看出均正確.故選D. 4. 等差數(shù)列 中，已知 ，且公差 ，則其前 項(xiàng)和取最小值時(shí)的的值為（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 【答案】C 【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列 中， ，所以 ，有， 所以當(dāng) 時(shí)前項(xiàng)和取最小值.故選C. 5. 已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

3、） A. 95，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91 【答案】B 【解析】 由莖葉圖可知，中位數(shù)為92，眾數(shù)為86. 故選B. 6. 若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 始邊在軸的非負(fù)半軸上， 終邊在直線上， 則角的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因?yàn)橹本€ 的傾斜角是 ，所以終邊落在直線上的角的取值集合為 或者.故選D. 7. 已知 ，且 ，則的最小值為（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 由題意可得：，則： ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 綜上可得：則的最小值為9. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握

4、不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 8. 九章算術(shù)卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈，問積幾何芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w（網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 邊長(zhǎng)為1丈），那么該芻甍的體積為（ ） A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈 【答案】B 【解析】由已知可將芻甍切割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，三棱柱的體積為3，四棱錐的體積為2，則芻甍的體積為5.故選B. 9. 已知矩形 的頂點(diǎn)都在球心為 ，半徑為 的球

5、面上， ，且四棱錐的 體積為 ，則等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知球心到平面ABCD的距離 2，矩形ABCD 所在圓的半徑為 ，從而球的半徑 .故選A. 10. 已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（ ） A. 求首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列前2017項(xiàng)和 B. 求首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列前2018項(xiàng)和 C. 求首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列前1009項(xiàng)和 D. 求首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列前1010項(xiàng)和 【答案】C 【解析】 由題意可知，為求首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列的前1009項(xiàng)和.故選C. 點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)

6、結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng). 11. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)， 設(shè) 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)， 點(diǎn)為雙曲線上任一點(diǎn)， 過點(diǎn) 作 的平分線的垂線，垂足為 ，則（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 延長(zhǎng) 交 于點(diǎn)， 由角分線性質(zhì)可知 根據(jù)雙曲線的定義， 從而 ，在 中， 為其中位線，故.故選A. 點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線問題，善用利用定義求解，注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖，巧妙轉(zhuǎn)化. 12. 已知定義在 上的奇函數(shù)

7、 滿足 ，當(dāng) 時(shí)， ，則函數(shù) 在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 作圖如下： ，四個(gè)交點(diǎn)分別關(guān)于 對(duì)稱，所以零 點(diǎn)之和為 ，選D. 點(diǎn)睛： 對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知角 滿足 ， ，則的取值范圍是_ 【答案】 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 【解析】 結(jié)合題意可知：， 且：， 利用不等式的性質(zhì)可知

8、： 的取值范圍是. 點(diǎn)睛：利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍解決此類問題一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求整體的范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑 14. 已知平面內(nèi)三個(gè)不共線向量 兩兩夾角相等，且 ， ，則_ 【答案】 【解析】因?yàn)槠矫鎯?nèi)三個(gè)不共線向量 兩兩夾角相等，所以由題意可知， 的夾角為 ，又知 ， ，所以 ， ， 故答案為. 15. 在中， 三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊分別為， 若， 且 ，面積的最大值為_ 【答案】 【解析】由 可得 ，得 ，由余弦定理， 面積的最大值為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到最大值，故答案為. 【方法點(diǎn)睛】本題主要

9、考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過程中，一般來(lái)說 , 當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答. 16. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則圓錐體積的最大值為_ 【答案】 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為R，由題意可得其體積為： 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 綜上可得圓錐體積的最大值為. 三、解答題:共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

10、算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答 （一）必考題：共60分 17. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）設(shè) ，求證： 【答案】()；（）證明見解析. 【解析】試題分析：()利用已知條件，推出新數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；（）化 簡(jiǎn) ，則，利用裂項(xiàng)相消法和，再根據(jù)放縮法即可證明結(jié)果. 試題解析：()由 ，則 . 當(dāng) 時(shí)， ，綜上. （）由 . . 得證. 18. 長(zhǎng)春市的“名師云課”活動(dòng)自開展以來(lái)獲得廣大家長(zhǎng)和學(xué)生的高度贊譽(yù)，在我市推出的第二季名師云課中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，

11、現(xiàn)對(duì)某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)： 點(diǎn)擊量 節(jié)數(shù) 6 18 12 （）現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié)，求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù) （）為了更好地搭建云課平臺(tái)，現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi)，則需要花費(fèi)40分鐘實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi)，則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯，點(diǎn)擊量超過3000，則不需要剪輯，現(xiàn)從（）中選出的6節(jié)課中隨機(jī)取出2 節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪輯時(shí)間的分布列與數(shù)學(xué)期望 【答案】()； （）. 【解析】試題分析：()因?yàn)?36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6 節(jié)，所以 節(jié)應(yīng)選出 節(jié)； （） 的所有可能取值為，根據(jù)古典概型概率公式分別求出各隨機(jī)變量的

12、概率，從而可得分布列，由期望公式可得結(jié)果. 試題解析：()根據(jù)分層抽樣，選出的6節(jié)課中有2節(jié)點(diǎn)擊量超過3000. （）的可能取值為0，20，40， 60 則的分布列為 0 20 40 60 即 . 19. 如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn) （）證明：平面； （）設(shè)，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值 【答案】()證明見解析；（）. 【解析】試題分析：() )連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線定理可得，由線面平行的判實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 定定理即可證明 平面； （）以點(diǎn)為原點(diǎn)， 以 方向?yàn)檩S， 以 方向?yàn)?軸，以 方向?yàn)檩S， 建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 與平面 的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾

13、角余弦公式，可得結(jié)果. 試題解析：()連接 交 于點(diǎn) ，連接 在中， （） ，設(shè)菱形 的邊長(zhǎng)為 ，則. 取 中點(diǎn) ，連接. 以點(diǎn) 為原點(diǎn)，以 方向?yàn)?軸，以 方向?yàn)?軸，以 方向?yàn)檩S， 建立如圖所示坐標(biāo)系 . ， ， ， ， ， 即二面角 的余弦值為. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角

14、和距離. 20. 已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 ，且經(jīng)過點(diǎn) （）求橢圓的方程； 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 （）過 的直線與橢圓 交于 兩點(diǎn)（點(diǎn) 位于軸上方） ，若 ，且，求直線的 斜率的取值范圍 【答案】()； （）. 【解析】試題分析： (1) 由題意可得 ， ， ，則橢圓方程為. (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式，求解不等式可得直線的 斜率的取值范圍是 k=. 試題解析： (1) 由橢圓定義 ，有 ， ， ，從而. (2) 設(shè)直線 ，有 ，整理得， 設(shè) ， ，有 ， ， ， 由于 ，所以 ， ，解得 . ， ，由已知. 21. 已知函數(shù) ， （）若函數(shù) 與 的圖像在點(diǎn) 處

15、有相同的切線，求的值； （）當(dāng) 時(shí)， 恒成立，求整數(shù)的最大值； （）證明： 【答案】()； （）；（）證明見解析. 【解析】試題分析：()求出 與 ，由 且 解方程組可求的值； （） 恒成立等價(jià)于 恒成立，先證明當(dāng) 時(shí)恒成立，再證明時(shí)不恒成立，進(jìn)而可得結(jié)果；（） ）由 ，令， 即 ，即 ，令 ，各式相加即可得結(jié)果. 試題解析：()由題意可知， 和 在處有相同的切線， 即在 處 且， 實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 解得. （）現(xiàn)證明 ，設(shè)， 令 ，即， 因此 ，即恒成立， 即， 同理可證. 由題意，當(dāng) 時(shí)， 且， 即， 即 時(shí)，成立. 當(dāng) 時(shí)， ，即不恒成立. 因此整數(shù)的最大值為2. （）由 ，令， 即

16、，即 由此可知，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，. 綜上： . 即. （二）選考題：請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 已知點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的極實(shí)用文檔 標(biāo)準(zhǔn)文案 坐標(biāo)為 ，若直線過點(diǎn) ，且傾斜角為 ，圓 以圓心，3為半徑 （）求直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程； （）設(shè)直線與圓 相交于 兩點(diǎn)，求 【答案】()為參數(shù)） ，； （）. 【解析】試題分析：（1 ）根據(jù)直線參數(shù)方程形式直接寫出直線的參數(shù)方程，根據(jù)直角三角形關(guān)系得 ，即為圓的極坐標(biāo)方程（2 ）利用 將圓的極坐標(biāo)方程化為直接坐標(biāo) 方程，將直線參數(shù)方程代入，利用韋達(dá)定理及參數(shù)幾何意義得|=7 試題解析： （）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）， 圓的極坐標(biāo)方程為 . （）把 代入 ，得， ，設(shè)點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為， 則 , 23. 選修4-5：不等式選講 設(shè)不等式 的解集為 （）求集合； （）若 ，求證： 【答案】()；（）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不