向量公式匯總

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載向量公式匯總平面向量1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y')。a+0=0+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律： a+b=b+a ；結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的減法如果 a、 b 是互為相反的向量，那么 a=-b ，b=-a ，a+b=0. 0 的反向量為 0 AB-AC=CB. 即 “共同起點(diǎn)，指向被減 ”a=(x,y) b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量，記作a，且 a

2、 = ?a。當(dāng) 0 時(shí)， a與 a 同方向；當(dāng) 0 時(shí)， a與 a 反方向；當(dāng) =0時(shí)， a=0，方向任意。當(dāng) a=0 時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，都有 a=0。注：按定義知，如果 a=0，那么 =0或 a=0。實(shí)數(shù) 叫做向量 a 的系數(shù)，乘數(shù)向量 a的幾何意義就是將表示向量 a 的有向線段伸長或壓縮。當(dāng) 1 時(shí)，表示向量 a 的有向線段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上伸長為原來的 倍；當(dāng) 1 時(shí)，表示向量 a 的有向線段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上縮短為原來的 倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律： ( a)?b= (a?b)=(a?。 b)向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：( + )a

3、= a+ a.數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）： (a+b)= a+ b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù) 0且 a=b，那么 a=b 。 如果 a0且 a=a，那么 =。學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b, 則角 AOB 稱作向量 a 和向量 b 的夾角，記作 a,b并規(guī)定 0 a,b 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作 a?b。若 a、b 不共線，則 a?b=|a|?|b|?cos a， b；若 a、 b 共線，則 a?b=+- a b。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。向量的數(shù)量積的運(yùn)

4、算律a?b=b?a（交換律）；( a)?b= (a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律 )；（ a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a|的平方。a b =a?b=0。|a?b| |a|?|b|。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律， 即：(a?b)?c a?(b?c)；例如：(a?b)2 a2?b2。2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c (a ，0)推不出b=c。3、 |a?b| |a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出a=b 或 a=-b 。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量 a 和 b 的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量， 記作

5、 a×b。若 a、b 不共線，則 a×b 的模是： a×b=|a|?|b|?sina，b； a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和 a×b 按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、 b 共線，則 a×b=0。向量的向量積性質(zhì)：a×b是以 a 和 b 為邊的平行四邊形面積。a×a=0 。ab=a×b=0 。向量的向量積運(yùn)算律a×b=-b ×a；（a） × b=（a×b）=a×（b）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有

6、除法， “向量 AB/ 向量 CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式1、 a-ba+b a+ b； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 反向時(shí)，左邊取等號(hào)； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 同向時(shí)，右邊取等號(hào)。2、 a-ba-b a + b。學(xué)習(xí)必備歡迎下載 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 同向時(shí)，左邊取等號(hào)； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 反向時(shí)，右邊取等號(hào)。6.定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量P1P=?向量 PP2 ）設(shè) P1 、P2 是直線上的兩點(diǎn)， P 是 l 上不同于 P1、 P2 的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使 向量 P1P=?向量 PP2 ，叫做點(diǎn) P 分有向線段 P1P2 所成的比。若 P1 （x1,y1) ，P2(x2,y2) ，P(x

7、,y) ，則有 OP=(OP1+ OP2)(1+ )；（定比分點(diǎn)向量公式）x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ 。)（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2 的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若 OC= OA + OB ,且 + =1則, A、B、C 三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在 ABC 中，若 GA +GB +GC=O, 則 G 為 ABC 的重心編輯本段 向量共線的重要條件若 b0，則 a/b 的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù) ，使 a=b。 a/b 的重要條件是 xy'-x'y=0 。零向量 0 平行于任何向量。編輯本段 向量垂直的充要條件a b

8、 的充要條件是a?b=0。a b 的充要條件是xx'+yy'=0 。零向量 0 垂直于任何向量 .空間向量令 a =(a 1 ,a2 ,a3), b (b1 , b2 ,b3 ) ，則a b (a 1 b1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a ( a1 , a 2 , a 3 )(R)a b a 1b1 a 2 b 2 a 3 b3共線向量 ：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.a b a1b1 ,a 2b 2 ,a 3a1a 2a 3b 3 (R)b 2b 3b1如果三個(gè)向量a, b, c 不共面：那么對(duì)空間任一向量P ，存在一個(gè)唯一的有序

9、實(shí)數(shù)組x、y、z，使 pxaybzc .學(xué)習(xí)必備歡迎下載推論：設(shè) O、A、B 、C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z 使 OPxOAyOBzOC (這里隱含 x+y+z 1).向量垂直 a ba1 b1a 2 b 2a 3 b 30 。空間兩個(gè)向量的夾角公式cos a, ba ba1b1a2b2a3b3| a | | b |a12a22a32b12b22b32（ a (a1, a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 , b3 ) ）?？臻g兩點(diǎn)的距離公式：d( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2(z2z1 )2.利用法向量求點(diǎn)到面的距離：如圖，設(shè) n 是平面的法向量， AB是平面的一條射線， 其中A，則點(diǎn)B 到平面| AB n |的距離為.| n |.異面直線間的距離d| CD n |( l1 ,l2 是兩異面直線， 其公垂向量為n ，C、D 分別是 l1 , l2 上任一點(diǎn)， d 為| n |l1, l2 間的距離 ).B 到平面的距離d| AB n |的法向量