最新思想03 數(shù)形結(jié)合思想理教學(xué)案高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品資料新課標(biāo)版 Word版含解析

1、 思想三 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，借助各種函數(shù)的圖象和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，在考題形式上，不但有小題，還會(huì)有解答題，在考查的數(shù)量上，會(huì)有多個(gè)小題考查數(shù)形結(jié)合的思想方法復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來精確確定圖形間的位置關(guān)系以形助數(shù)(數(shù)題形解)借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡述數(shù)形之間的關(guān)系，把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即以形作為手段，數(shù)作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想

2、通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的的解決問題的數(shù)學(xué)思想1數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運(yùn)用

3、數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)（2）雙方性原則既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)（3）簡(jiǎn)單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想解決的問題

4、常有以下幾種：（1）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；（3）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；（4）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；（5）構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；（6）構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；（7）構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；（8）研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等4數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下六個(gè)?？键c(diǎn)（1）集合的運(yùn)算及venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（5）對(duì)于研究距離、角

5、或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；（6）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用5數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求

6、解；（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證【熱點(diǎn)分類突破】類型一利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)例1. 【廣西柳州市高三10月模擬】設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)若關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則（ ）a6b4或6c6或2d2分析：首先方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，根據(jù)的解析式畫出的圖像，可得方程有兩個(gè)不等實(shí)根，其中一根為4，另一根在從而可解決問題【答案】d點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)

7、建不等式求解.【規(guī)律總結(jié)】用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)利用數(shù)形結(jié)合求方程解（或函數(shù)的零點(diǎn)）應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）討論方程的解（或函數(shù)的零點(diǎn)）可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解（2）正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖像是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)

8、合【舉一反三】【湖北省荊州市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢】已知函數(shù)，用表示中最小值，設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )a1 b2 c. 3 d4【答案】c類型二利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍例2. 【四川宜賓市高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】【解析】,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，當(dāng)直線與在處與左半部分相切旋轉(zhuǎn)到與軸重合時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)與不等式，屬中檔題；導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)

9、而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的范圍；或參變分離，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；或通過數(shù)列結(jié)合解題.【規(guī)律總結(jié)】求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)（或多個(gè)）函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答利用數(shù)形結(jié)合解不等式應(yīng)注意的問題：解含參數(shù)的不等式時(shí)，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導(dǎo)致運(yùn)算過程繁瑣冗長(zhǎng)如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會(huì)順利地得到解決【舉一反三】【湖北省荊州市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢】已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是

10、 (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】【解析】設(shè)，由題意知存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，g(x)>0，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得.類型三利用數(shù)形結(jié)合思想求最值“形”可以使某些抽象問題具體化，而數(shù)”可以使思維精確化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在某些求最值問題中，可以收到意想不到的效果例3【山西大學(xué)附屬中學(xué)20xx級(jí)上學(xué)期11月模塊診斷，7】已知滿足，的最大值為，若正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）a. b. c. d.分析：首先由已知畫出可行域，根據(jù)可行域可得的最大值，利用基本不等式即可解出【答案】b點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的

11、是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.【規(guī)律總結(jié)】在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：要徹底弄清一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論，既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；要恰當(dāng)設(shè)立參數(shù)，合理建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；要正確確定參數(shù)的取值范圍利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟：第一步：分析數(shù)理特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義；第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題把代數(shù)

12、式進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義構(gòu)圖形，例如ykxb中表示直線的斜率，表示直線在軸上的截距；看作直線的斜率，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)和的連線的斜率，特別適用于一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)）的形式；或：看作是兩點(diǎn)和間的距離或距離的平方；導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率其他具有幾何意義的概念都可以利用相關(guān)的幾何圖形直觀進(jìn)行分析判斷，例如：向量的問題，可以考慮用向量的圖形大小與方向及向量運(yùn)算的幾何意義構(gòu)造圖形直觀解題；復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形第三步：解決幾何問題；第四步：回歸代數(shù)問題；第五步：回顧反思應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何

13、結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：（1）比值可考慮直線的斜率；（2）二元一次式可考慮直線的截距；（3）根式分式可考慮點(diǎn)到直線的距離；（4）根式可考慮兩點(diǎn)間的距離【舉一反三】1對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù) ,取，三個(gè)值中最小的值，則的最大值為_【答案】3【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出，三個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，則實(shí)線為的圖象，易知，的最大值為3類型四運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何中的問題例4. 【中原名校豫南九校第四次質(zhì)量考評(píng)】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為，且圓與圓：外切，切點(diǎn)為.（1）求及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.試

14、題分析：（1）切點(diǎn)在圓上，代入圓方程可得，由于兩圓外切，所以在直線上，又圓的半徑為，所以，解方程組可得圓心坐標(biāo)，即得圓方程，注意根的取舍（2）實(shí)際為弦長(zhǎng)問題，根據(jù)垂徑定理列等量關(guān)系：設(shè)直線的方程為，則，再由，得或.（3）先確定坐標(biāo)關(guān)系：設(shè)，由得，而點(diǎn)在圓上，所以，代入化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在圓上，而點(diǎn)又在圓上，所以兩圓有交點(diǎn)，根據(jù)兩圓位置關(guān)系得，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：（1）由在圓得，圓化為，圓心為，直線方程為，設(shè)，則，且，又，.圓的方程為. （2）因?yàn)橹本€，所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，因?yàn)?，而，所以，解得?故直線的方程為或. （3）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，

15、所以， 將代入，得，于是點(diǎn)既在圓上，又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)評(píng)：確定圓的方程方法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d、e、f的方程組，進(jìn)而求出d、e、f的值【規(guī)律總結(jié)】在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析(或僅對(duì)幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時(shí)

16、候是很難行得通的例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化【舉一反三】【河北唐山市高三年級(jí)期末】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的左焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且軸， 過點(diǎn) 的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線 與軸交于點(diǎn)，若，則 的離心率為 （ ）a b c. d【答案】a總的來說“數(shù)形結(jié)合”思想是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它可以將抽象數(shù)學(xué)問題具體化、準(zhǔn)確化、形象化用好數(shù)形結(jié)合可以使我們更深入準(zhǔn)確的理解數(shù)學(xué)問題1在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可