()一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、(完整版)一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1模型介紹：古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)a、b，他總是先去a營(yíng)，再到河邊飲馬，之后再去b營(yíng)，如圖 ，他時(shí)常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙的解決了這問(wèn)題如圖，作b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab與直線l交于點(diǎn)c，點(diǎn)c就是所求的位置請(qǐng)你在下列的閱讀、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答（1）理由：如圖，在直線l上另取任一點(diǎn)c，連接ac，bc，bc，直線l是點(diǎn)b，b的對(duì)稱軸，點(diǎn)c，c在l上cb= ，cb= ac+cb=ac+cb= 在acb中，abac+cb，ac+cb

2、ac+cb即ac+cb最小歸納小結(jié)：本問(wèn)題實(shí)際是利用軸對(duì)稱變換的思想，把a(bǔ)、b在直線的同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中c為ab與l的交點(diǎn)，即a、c、b三點(diǎn)共線）本問(wèn)題可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（2）模型應(yīng)用如圖 ，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，e為ab的中點(diǎn)，f是ac上一動(dòng)點(diǎn)求ef+fb的最小值分析：解決這個(gè)問(wèn)題，可以借助上面的模型，由正方形的對(duì)稱性可知，b與d關(guān)于直線ac對(duì)稱，連結(jié)ed交ac于f，則ef+fb的最小值就是線段 的長(zhǎng)度，ef+fb的最小值是 如圖，一次函

3、數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)c與點(diǎn)d分別為線段oa，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p為ob上一動(dòng)點(diǎn)，求：pc+pd的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)2已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（3，5）和點(diǎn)b（4，9）兩點(diǎn)，求此一次函數(shù)的解析式；若點(diǎn)（a，2）在該函數(shù)的圖象上，試求a的值若此一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)c，點(diǎn)p（m，n）是圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)c重合），設(shè)poc的面積是s，試求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式3已知函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，點(diǎn)b（2，m）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上（1）求此一次函數(shù)的表達(dá)式和m的值？（2）若在x軸上有一

4、動(dòng)點(diǎn)p（x，0），到定點(diǎn)a（4，3）、b（2，m）的距離分別為pa和pb，當(dāng)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為多少時(shí)，pa+pb的值最小4已知：一次函數(shù)圖象如圖：（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)p為該一次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)a為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，若soap=2，求點(diǎn)p的坐標(biāo)5閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過(guò)兩條直線平行的定義下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2，若k1=k2，且b1b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行解答下面的問(wèn)題：（1）已知正比例函數(shù)y=x的圖象為

5、直線l1，求過(guò)點(diǎn)p（1，3）且與已知直線l1平行的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)直線l2分別與y軸、x軸交于點(diǎn)a、b，求l1和l2兩平行線之間的距離；（3）若q為oa上一動(dòng)點(diǎn)，求qp+qb的最小值時(shí)q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （4）在x軸上找一點(diǎn)m，使bmp為等腰三角形，求m的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案）6閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過(guò)兩條直線互相垂直的定義，下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們相互垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的直線為l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2若k1k2=1，我們就稱直線l1與直線l2相互垂直，現(xiàn)請(qǐng)解答下面的問(wèn)題：已知直線l與直

6、線y=x1互相垂直，且直線l的圖象過(guò)點(diǎn)p（1，4），且直線l分別與y軸、x軸交于a、b兩點(diǎn)（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)c是線段ab上一動(dòng)點(diǎn)，求線段oc長(zhǎng)度的最小值；（3）若點(diǎn)q是ao上的一動(dòng)點(diǎn)，求bpq周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)q的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)p關(guān)于bq的對(duì)稱點(diǎn)為p，請(qǐng)求出四邊形abop的面積一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題參考答案與試題解析一解答題（共6小題）1模型介紹：古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)a、b，他總是先去a營(yíng)，再到河邊飲馬，之后再去b營(yíng)，如圖 ，他時(shí)常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海

7、倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙的解決了這問(wèn)題如圖，作b關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab與直線l交于點(diǎn)c，點(diǎn)c就是所求的位置請(qǐng)你在下列的閱讀、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答（1）理由：如圖，在直線l上另取任一點(diǎn)c，連接ac，bc，bc，直線l是點(diǎn)b，b的對(duì)稱軸，點(diǎn)c，c在l上cb=cb'，cb=c'b'ac+cb=ac+cb=ab'在acb中，abac+cb，ac+cbac+cb即ac+cb最小歸納小結(jié)：本問(wèn)題實(shí)際是利用軸對(duì)稱變換的思想，把a(bǔ)、b在直線的同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中c為ab與l的

8、交點(diǎn)，即a、c、b三點(diǎn)共線）本問(wèn)題可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（2）模型應(yīng)用如圖 ，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，e為ab的中點(diǎn)，f是ac上一動(dòng)點(diǎn)求ef+fb的最小值分析：解決這個(gè)問(wèn)題，可以借助上面的模型，由正方形的對(duì)稱性可知，b與d關(guān)于直線ac對(duì)稱，連結(jié)ed交ac于f，則ef+fb的最小值就是線段de的長(zhǎng)度，ef+fb的最小值是如圖，已知o的直徑cd為4，aod的度數(shù)為60°，點(diǎn)b是的中點(diǎn)，在直徑cd上找一點(diǎn)p，使bp+ap的值最小，則bp+ap的最小值是2；如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)c與

9、點(diǎn)d分別為線段oa，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p為ob上一動(dòng)點(diǎn)，求：pc+pd的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）理由：如圖，在直線l上另取任一點(diǎn)c，連接ac，bc，bc，直線l是點(diǎn)b，b的對(duì)稱軸，點(diǎn)c，c在l上cb=cb'，cb=c'b'ac+cb=ac+cb=ab'在acb中，abac+cb，ac+cbac+cb即ac+cb最小故答案為：cb'，c'b'，ab'；（2）模型應(yīng)用解決這個(gè)問(wèn)題，可以借助上面的模型，由正方形的對(duì)稱性可知，b與d關(guān)于直線ac對(duì)稱，連結(jié)ed交ac于f則ef+fb的最小值就是線段de的長(zhǎng)度，ef+f

10、b的最小值是 在正方形abcd中，ab=ad=2，bad=90°點(diǎn)e是ab中點(diǎn)，ae=1，根據(jù)勾股定理得，de=，即：ef+fb的最小值，故答案為：de，；如圖，由圓的對(duì)稱性可知，a與a'關(guān)于直徑cd對(duì)稱，連結(jié)a'b交cd于f，則ae+eb的最小值就是線a'be的長(zhǎng)度，aod=a'od=60°點(diǎn)b是的中點(diǎn)，aob=bod=aod=30°，a'ob=90°o的直徑為4，oa=oa'=ob=2，在rta'ob中，a'b=2，bp+ap的最小值是2故答案為2，如圖，由平面坐標(biāo)系中的對(duì)稱性可知，c與

11、c'關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱，連結(jié)c'd交y軸于p，則pc+pd的最小值就是線c'd的長(zhǎng)度，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別交于a，b兩點(diǎn)，a（2，0），b（0，4），c（1，0），d（1，2），c與c'關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱，c'（1，0），c'd=2，pc+pd的最小值為2，c'（1，0），d（1，2），直線c'd的解析式為y=x+1，p（0，1）2已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（3，5）和點(diǎn)b（4，9）兩點(diǎn)，求此一次函數(shù)的解析式；若點(diǎn)（a，2）在該函數(shù)的圖象上，試求a的值若此一次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)c，點(diǎn)p（m，n）是圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不

12、與點(diǎn)c重合），設(shè)poc的面積是s，試求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式【解答】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，依題意，得，解得，一次函數(shù)解析式為y=2x1；將點(diǎn)（a，2）代入y=2x1中，得2a1=2，解得a=；由y=2x1，令y=0得x=，c（，0），又點(diǎn)p（m，n）在直線y=2x1上，n=2m1，s=××|n|=|（2m1）|=|m|3已知函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，點(diǎn)b（2，m）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上（1）求此一次函數(shù)的表達(dá)式和m的值？（2）若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)p（x，0），到定點(diǎn)a（4，3）、b（2，m）的距離分別為pa和

13、pb，當(dāng)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為多少時(shí)，pa+pb的值最小【解答】解：（1）函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（4，3）且與一次函數(shù)y=x+1的圖象平行，解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x1當(dāng)x=2時(shí)，m=x1=21=1，m的值為1（2）作點(diǎn)b關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)b，連接ab交x軸于點(diǎn)p，此時(shí)pa+pb取最小值，如圖所示點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，1）設(shè)直線ab的表達(dá)式為y=ax+c，將（2，1）、（4，3）代入y=ax+c，解得：，直線ab的表達(dá)式為y=2x5當(dāng)y=0時(shí)，2x5=0，解得：x=，當(dāng)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為時(shí)，pa+pb的值最小4已知：一次函數(shù)圖象如圖：（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)p為

14、該一次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)a為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，若soap=2，求點(diǎn)p的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，把（2，3）、（2，1）分別代入得，解得，所以一次函數(shù)解析式為y=x+1；（2）當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，解得x=1，則a（1，0），設(shè)p（t，t+1），因?yàn)閟oap=2，所以×1×|t+1|=2，解得t=3或t=5，所以p點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）或（5，4）5閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過(guò)兩條直線平行的定義下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y=k2x+b

15、2（k20）的圖象為直線l2，若k1=k2，且b1b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行解答下面的問(wèn)題：（1）已知正比例函數(shù)y=x的圖象為直線l1，求過(guò)點(diǎn)p（1，3）且與已知直線l1平行的直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)直線l2分別與y軸、x軸交于點(diǎn)a、b，求l1和l2兩平行線之間的距離；（3）若q為oa上一動(dòng)點(diǎn)，求qp+qb的最小值時(shí)q點(diǎn)的坐標(biāo)為q（0，）（4）在x軸上找一點(diǎn)m，使bmp為等腰三角形，求m的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案）【解答】解：（1）根據(jù)正比例函數(shù)y=x的圖象為直線l1，設(shè)直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+b，把p（1，3）代入得：3=1+b，即b=4，則過(guò)點(diǎn)p（1，3）且與已知直線l

16、1平行的直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4；（2）過(guò)o作onab，如圖1所示，on為l1和l2兩平行線之間的距離，對(duì)于直線y=x+4，令x=0，得到y(tǒng)=4；令y=0，得到x=4，a（0，4），b（4，0），即oa=ob=4，abc為等腰直角三角形，ab=4，且on為斜邊上的中線，on=ab=2，則l1和l2兩平行線之間的距離為2；（3）找出b關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)b（4，0），連接pb，與y軸交于點(diǎn)q，連接pq，此時(shí)qp+qb最小，設(shè)直線bp的解析式為y=mx+n，把b和p坐標(biāo)代入得：，解得：m=，n=，直線bp的解析式為y=x+，令x=0，得到y(tǒng)=，即q（0，）；故答案為：q（0，）；（4）如圖2所

17、示，分三種情況考慮：當(dāng)pm1=pb時(shí)，由對(duì)稱性得到m1（2，0）；當(dāng)pm2=bm2時(shí)，m2為線段pb垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，直線pb的解析式為y=x+4，且線段pb中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），線段pb垂直平分線解析式為y=x，即y=x1，令y=0，得到x=1，即m2（1，0）；當(dāng)pb=m3b=3時(shí)，om3=ob+bm3=4+3，此時(shí)m3（43，0），m3（4+3，0）綜上，m的坐標(biāo)為（2，0）或（1，0）或（43，0）或（4+3，0）6閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過(guò)兩條直線互相垂直的定義，下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們相互垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1（k10）的直線

18、為l1，一次函數(shù)y=k2x+b2（k20）的圖象為直線l2若k1k2=1，我們就稱直線l1與直線l2相互垂直，現(xiàn)請(qǐng)解答下面的問(wèn)題：已知直線l與直線y=x1互相垂直，且直線l的圖象過(guò)點(diǎn)p（1，4），且直線l分別與y軸、x軸交于a、b兩點(diǎn)（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)c是線段ab上一動(dòng)點(diǎn)，求線段oc長(zhǎng)度的最小值；（3）若點(diǎn)q是ao上的一動(dòng)點(diǎn)，求bpq周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)q的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)p關(guān)于bq的對(duì)稱點(diǎn)為p，請(qǐng)求出四邊形abop的面積【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，直線l與直線y=x1互相垂直，k=1，解得k=2，直線l的圖象過(guò)點(diǎn)p（1，4），k+b=4，即2+b=4，解得b=6，直線l的解析式為y=2x+6；（2）如圖1，過(guò)o作ocab于點(diǎn)c，此時(shí)線段oc的長(zhǎng)度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=3，a（0，6），b（3，0），oa=6，ob=3ab=3，aboc=oaob，3oc=3×6，oc=，即線段oc長(zhǎng)度的最小值為；（3）如圖2，作點(diǎn)p關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)p，連接bp交y軸于點(diǎn)q，過(guò)p作pgx軸于點(diǎn)g，則pq=pq，pq+bq=bq+qp，點(diǎn)b、q、p三點(diǎn)在一條線上，bq+pq最小，p（1，4），p