初中數(shù)學動點幾何最值專題訓練

1、51動點最值專題動點最值專題近幾年有關“線段最值”的中考試題層出不窮，形式多樣，往往綜合了幾何變換、函數(shù)等方面的知識，具有一定的難度，具有很強的探索性，通過研究發(fā)現(xiàn)，這些問題盡管形式多樣、背景復雜、變化不斷，但都可以通過幾何變換轉化為常見的基本問題最值題目類型多：作圖、計算；有求差最大，求和最??；求周長最小、求時間最短；求最值、已知最值求待定系數(shù)等； 對稱載體多：幾乎涉及到初中全部的軸對稱圖形（角、線段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、拋物線、圓、坐標軸）. 我們知道“對稱、平移、旋轉” 是三種保形變換。通過這三種幾何變換可以實現(xiàn)圖形在保持形狀、大小不變的前提下而使其位置發(fā)生變化，具有更緊

2、湊的位置關系或組合成新的有利論證的基本圖形通過幾何變換移動線段的位置是解決最值問題的有效手段，題目是千變?nèi)f化的，但是運用幾何變換把最值問題轉化為基本問題卻是不變的。數(shù)學問題是千變?nèi)f化的，幾何變換的應用也不是單一的，有些問題需要多種變換的組合才能解決，看看以下策略對解決問題能否奏效。（1） 去偽存真。刨去不變的線段，看清楚究竟是幾段和的最小值問題，必須仔細研究題目的背景，搞清楚哪些是動點、哪些是定點、哪些是定長。（2） 科學選擇。捕捉題目的信號，探索變換的基礎，選擇變換的手段平移把不“連”的線段“接”起來，旋轉把“碰頭”的線段“展”開來重“接”，對稱把在同側的線段翻折過去重組，因此“不連平移、碰

3、頭旋轉、同側對稱”是一般的思路；對稱變換的基礎是軸對稱圖形，平移變換的基礎是平行線，旋轉變換的基礎是等線段，所以選擇哪種幾何變換還要看題目中具備何種變換的基礎信息。（3）怎么變換？對稱變換一般以動點所在直線為對稱軸，構建定點（直線）的對稱點（直線），如有多個動點就必須作多次變換；平移一般是移動沒有公共端點的兩條線段中的某一條，與另一條對“接”；旋轉變換一般以定點為旋轉中心旋轉 60°或 90°。（4）怎么求值？幾何變換成了“兩折線”或“三折線”后，根據(jù)“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”把“折線”轉“直”，找出最短位置，求出最小值。目錄一、一條線段最值. 11 單動點型.1

4、1.1 動點運動軌跡直線型.11.2 動點運動軌跡圓或圓弧型.101.2.1 定點定長.101.2.2 定弦定角.151.3 動點軌跡為其他曲線，構造三角形.242 雙動點型. 272.1 利用等量代換實現(xiàn)轉化. 272.2 利用和差關系實現(xiàn)轉化. 282.3 利用勾股定理實現(xiàn)轉化.282.4 利用三角形邊角關系實現(xiàn)轉化.29二、兩條線段最值. 301 pa+pb 型.301.1 兩定一動（將軍飲馬）.301.2 兩定兩動.39l 過河拆橋.39l 四邊形周長最??； .421.3 一定兩動.44l 兩動點不隨動 .441.4 三動點.472 pa+k·pb 型.482.1 “胡不歸模

5、型” .482.2 阿氏圓.65三、“費馬點”模型.72線段極值解題方略.76一、一條線段最值 1 單動點型所謂的單動點型指：所求線段兩端點中只有一個動點的最值問題通常解決這類問題的思考步驟為三步：(一)分析“源動點”的不變量。(二)分析“從動點”與“源動點”問關系。(三)分析“從動點”的不變量。 1.1 動點運動軌跡直線型 動點軌跡為一條直線，利用“垂線段最短” 例 1、如圖 1，在 中，,bc=1，d為ab上一動點(不與點a重合)，aed為等邊三角形，過d點作de的垂線，f為垂線上任一點，g為ef的中點，則線段cg長的最小值是_。 方法指導：1當動點的運動軌跡是一條直線(射線、線段)時，可

6、運用“垂線段最短”性質(zhì)求線段最值2有時動點軌跡不容易確定，如例 1，建議看到“中點”聯(lián)想“三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線”等性質(zhì)3試著觀察“動點運動到一些特殊位置時，該動點與其他定點連結的線段是否與已知邊有一定角產(chǎn)生”，若成立，則動點軌跡為直線。如何在動態(tài)問題中找尋“不變量”特征是突破這類問題的關鍵。當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡是直線； 1在平面直角坐標系中，點 p 的坐標為（0，2），點 m 的坐標為 (其中 m 為實數(shù))，當 pm的長最小時，m 的值為_2如圖，在平面直角坐標系中，a(1，4)， b(3，2)，c(m，4m20)，若 oc 恰好

7、平分四邊形 oacb的面積，求點 c 的坐標當某一動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線； 1.如圖，矩形 abcd 中，ab6，ad8，點 e 在邊 ad 上，且 ae:ed1:3動點 p 從點 a 出發(fā)，沿 ab 運動到點 b 停止過點 e 作 efpe 交射線 bc 于點 f，設 m 是線段 ef 的中點，則在點 p 運動的整個過程中，點 m 運動路線的長為_. 【變式 1】如圖，矩形 abcd 中，ab6，ad8，點 e 在 bc 邊上，且 be : ec1 : 3動點 p 從點 b 出發(fā)，沿 ba 運動到點 a 停止過點 e 作 efpe交邊 ad 或 cd 于點 f，設 m

8、 是線段 ef 的中點，則在點 p 運動的整個過程中，點 m 運動路線的長為_. 【變式 2】如圖，在矩形 abcd 中，點 p 在 ad 上，ab2，ap1，e 是 ab上的一個動點，連接 pe，過點 p 作 pe 的垂線，交 bc 于點 f，連接 ef，設ef 的中點為 g，當點 e 從點 b 運動到點 a 時，點 g 移動的路徑的長是_.【變式 3】在矩形 abcd 中，ab4，ad6，p 是 ad 邊的中點，點 e 在 ab邊上，ep 的延長線交射線 cd 于 f 點，過點 p 作 pqef，與射線 bc 相交于點 q（1）如圖 1，當點 q 在點 c 時，試求 ae 的長；（2）如圖

9、 2，點 g 為 fq 的中點，連結 pg當 ae1 時，求 pg 的長； 當點 e 從點 a 運動到點 b 時，試直接寫出線段 pg 掃過的面積 2如圖，c、d 是線段 ab 上兩點，且 acbdab1，點 p 是線段 cd 上一個動點，在 ab 同側分別作等邊pae 和等邊pbf，m 為線段 ef 的中點. 在點 p 從點 c 移動到點 d 時，點 m 運動的路徑長度為_ 【變式 1】已知 ab10，點 c、d 在線段 ab 上且 acdb2；p 是線段 cd上的動點，分別以 ap、pb 為邊在線段 ab 的同側作正方形 apef 和正方形pbgh，點 o1和 o2是這兩個正方形的中心，連

10、接 o1o2，設 o1o2的中點為 q；當點 p 從點 c 運動到點 d 時，則點 q 移動路徑的長是_【變式 2】等邊三角形 abc 中，bc6，d、e 是邊 bc 上兩點，且 bdce1，點 p 是線段 de 上的一個動點，過點 p 分別作 ac、ab 的平行線交 ab、ac 于點 m、n，連接 mn、ap 交于點 g，則點 p 由點 d 移動到點 e 的過程中，線段 bg 掃過的區(qū)域面積為_【變式 3】如圖，四邊形 abhk 是邊長為 6 的正方形，點 c、d 在邊 ab 上，且 acdb1，點 p 是線段 cd 上的動點，分別以 ap、pb 為邊在線段 ab 的同側作正方形 amnp

11、和正方形 brqp，e、f 分別為 mn、qr 的中點，連接 ef，設 ef 的中點為 g，則當點 p 從點 c 運動到點 d 時，點 g 移動的路徑長為_3. 如圖，已知在四邊形 abcd 中，adbc，abbc，ad1，bc3，p 為ab 邊上的一動點，連接 pd 并延長到點 e，使得 pdpe13，以 pe，pc為邊作平行四邊形 pefc，連接 pf，則 pf 的最小值為_.【延伸】在四邊形 abcd 中，abcd，bccd，ab3，cd4，在 bc 上取點 p（p 與 b、c 不重合），連接 pa 延長至 e，使 pepax1，連接 pd 并延長到 f，使 pfpdy1（x，y1），以

12、 pe、pf 為邊作平行四邊形，另一個頂點為 g，求 pg 長度的最小值（用 x，y 表示）.【同型練】如圖，已知oabc 的頂點 a、c 分別在直線 x1 和 x4 上，o是坐標原點，則對角線 ob 長的最小值為_ 當某一動點與定線段一個端點連接后成的角度不變，則該動點軌跡是直線。 1如圖，abc 和ade 都是等腰直角三角形，bacdae90°，abac2，o 為 ac 中點，若點 d 在直線 bc 上運動，連接 oe，則在點 d 運動過程中，線段 oe 的最小值是為_.【變式】1.如圖，邊長為 2a 的等邊abc 中，m 是高 ch 所在直線上的一個動點，連接 mb，將線段 b

13、m 繞點 b 逆時針旋轉 60°得到 bn，連接 hn則在點 m 運動過程中，線段 hn 長度的最小值是_2在abc 中，acb90°，acbc4，m 為 ab 的中點d 是射線 bc上一個動點，連接 ad，將線段 ad 繞點 a 逆時針旋轉 90°得到線段 ae，連接 ed，n 為 ed 的中點，連接 an，mn（1）如圖 1，當 bd2 時，an_，nm 與 ab 的位置關系是_；（2）當 4bd8 時， 依題意補全圖 2； 判斷（1）中 nm 與 ab 的位置關系是否發(fā)生變化，并證明你的結論；（3）連接 me，在點 d 運動的過程中，求 me 的長的最小值？

14、3在abc 中，bac90°，abac2cm，線段 bc 上一動點 p 從 c 點開始運動，到 b 點停止，以 ap 為邊在 ac 的右側做等邊apq，則 q 點運動的路徑長為_【秒殺訓練】1.如圖，點 a 的坐標為（-1，0），點 b 在直線 上運動，當線段 ab 最短時，點 b 的坐標為【 】a. b. c. d. 2.如圖，o 的半徑為 2，點 o 到直線 l 的距離為 3，點 p 是直線 l 上的一個動點，pq 切o 于點 q，則 pq 的最小值為【 】a b c3 d23.如圖，等腰梯形 abcd 中，adbc，ad=ab=cd=2，c=60°，m 是 bc 的中

15、點。（1）求證：mdc 是等邊三角形；（2）將mdc 繞點 m 旋轉，當 md（即 ）與 ab 交于一點 e，mc（即 ）同時與 ad 交于一點 f 時，點 e，f 和點 a 構成aef試探究aef 的周長是否存在最小值如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出aef 周長的最小值。 1.2 動點運動軌跡圓或圓弧型 動點軌跡為定圓，利用三點共線 方法指導：1當動點的軌跡是定圓時，可利用“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑和，最小值為定點到圓心的距離與半徑差”性質(zhì)求解2試著觀察“動點與其他定點連結的線段長是否為定值或動點與兩定點構成的角是否為直角”，這是常見判斷動點軌跡是圓的條

16、件。1.2.1 定點定長 動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或圓??； 1.如圖 1，在正方形 abcd 中，邊長為 2,點 e 是 ab 的中點，點 f 是 bc 邊上任意一點，將bef 沿 ef 所在直線折疊得到pef，連接 ap，則 cp 的最小值_，ap 的最小值是_.1如圖，正方形 abcd 的邊長為 2，將長為 2 的線段 qf 的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動如果點 q 從點 a 出發(fā)，沿圖中所示方向按abcda 滑動到點 a 為止，同時點 f 從點 b 出發(fā)，沿圖中所示方向按 abcdab 滑動到點 b 為止，那么在這個過程中，線段 qf 的中點 m 所經(jīng)過的路線圍成的圖形

17、的面積為_【變式 1】在矩形 abcd 中，已知 ab2cm，bc3cm，現(xiàn)有一根長為 2cm 的木棒 ef 緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒 ef 的中點 p 在運動過程中所圍成的圖形的面積_cm2.【變式 2】如圖，在矩形 abcd 中，ab2，ad3，點 e、f 分別為 ad、dc邊上的點，且 ef2，點 g 為 ef 的中點，點 p 為 bc 上一動點，則 papg的最小值為_【變式 3】如圖，一根木棒 ab 長為 2a，斜靠在與地面 om 垂直的墻壁 on 上，與地面的傾斜角abo60°，若木棒沿直線 no 下滑，且 b 端沿直線

18、 om 向右滑行，則木棒中點 p 也隨之運動，已知 a 端下滑到 a時，aa()a，則木棒中點 p 隨之運動到 p所經(jīng)過的路線長_2如圖，在abc 中，ac2，ab3當b 最大時，bc 的長為_3如圖，在abc 中，acb90°，ab5，bc3，p 是 ab 邊上的動點（不與點 b 重合），將bcp 沿 cp 所在的直線翻折，得到bcp，連接 ba，則 ba 長度的最小值是_4如圖，在abcd 中，bcd30°，bc4，cd3 3，m 是 ad 邊的中點，n 是 ab 邊上的一動點，將amn 沿 mn 所在直線翻折得到amn，連接 ac，則 ac 長度的最小值是_5如圖，在

19、四邊形 abcd 中，abacad，若bac25°，cad75°，則bdc_°，dbc_°6如圖，在等腰 rtabc 中，acbc2 2，點 p 在以斜邊 ab 為直徑的半圓上，m 為 pc 的中點當點 p 沿半圓從點 a 運動至點 b 時，點 m 運動的路徑長是_7如圖，矩形 abcd 中，ab2ab4，長度為 2 的動線段 ae 繞點 a 旋轉，連接 ec，取 ec 的中點 f，連接 df，則 df 的取值范圍為_。 例 2（15 威海）如圖，已知 abacad，cbd2bdc，bac44°，則cad 的度數(shù)為_ 變式：如圖，四邊形 abc

20、d 中，dcab，bc1，abacad2，則 bd 的長為_例 3如圖，在等腰abc 中，acbc，c70 °，點 p 在abc 的外部，且與 c 點均在 ab 的同側，如果 pcbc，那么apb_ 例 4如圖，在矩形 abcd 中，ab4，ad6，e 為 ab 邊的中點，f 是線段bc 邊上的動點將efb 沿 ef 所在的直線折疊得到eb'f，連接 b'd，則b'd 的最小值為_定邊對定角模型 1.2.2 定弦定角 ii 當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓弧 見直角找斜邊（定長）想直徑定外心現(xiàn)“圓”形； 見定角找對邊（定長）想周角轉心角現(xiàn)“

21、圓”形； 【一般解題步驟】讓主動點動一下，觀察從動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)從動點的運動軌跡是一段弧。尋找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角，這個補角一般為45°、60°或者一個確定的三角函數(shù)的對角等）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓。確定圓心位置，計算隱形圓半徑。求出隱形圓圓心至所求線段定點的距離。計算最值：在此基礎上，根據(jù)點到圓的距離求最值（最大值或最小值）。1如圖，以 g(0，1)為圓心，半徑為 2 的圓與 x 軸交于 a、b 兩點，與 y軸交于 c、d 兩點，點 e 為g 上一動點，cfae 于 f，當點 e 從點 b 出發(fā)順時針運動到點 d 時，點 f 所經(jīng)過的

22、路徑長為_.2如圖，矩形 oabc 的邊 oa、oc 分別在 x 軸、y 軸上，點 b 的坐標為(7，3)，點 e 在邊 ab 上，且 ae1，若點 p 為 y 軸上一動點，連接 ep，過點 o作直線 ep 的垂線段，垂足為點 h，在點 p 從 f(0，)運動到原點 o 的過程中，點 h 的運動路徑長為_3在正方形 abcd 中，ad2，點 e 從 d 出發(fā)向終點 c 運動，點 f 從 c 出發(fā)向終點 b 運動，且始終保持 decf，連接 ae 和 df 交于點 p，則 p 點運動的路徑長是_4等腰 rtabc 中，c90°，acbc4，d 為線段 ac 上一動點，連接 bd，過點

23、c 作 chbd 于 h，連接 ah，則 ah 的最小值為_5如圖，rtabc 中，abbc，ab6，bc4，p 是abc 內(nèi)部的一個動點，且滿足pabpbc，則線段 cp 長的最小值為_6如圖，在邊長為 2 3的等邊abc 中，動點 d 從 c 向終點 b 運動，同時點 e 以相同的速度從 a 出發(fā)向終點 c 運動，連接 be、ad 相交于點 p，則點p 的路徑長為_7如圖，o 的半徑為 1，弦 ab1，點 p 為優(yōu)弧 ab 上一動點，acap 交直線 pb 于點 c，則abc 的最大面積是_.8.如圖，已拋物線 yax2bxc( a 0)與 x 軸交于 a( 1，0)、b( 4，0)兩點，

24、與 y 軸交于 c( 0，2) ，連結 ac、bc（1）求拋物線解析式；（2）bc 的垂直平分線交拋物線于 d、e 兩點，求直線 de 的解析式；（3）若點 p 在拋物線的對稱軸上，且cpbcab，求出所有滿足條件的p 點坐標 9 如圖，在正方形 abcd 中，ab2，動點 e 從點 a 出發(fā)向點 d 運動，同時動點 f 從點 d 出發(fā)向點 c 運動，點 e、f 運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段 af、be 相交于點 p，則線段dp 的最小值為_。變式：直線 yx4 分別與 x 軸、y 軸相交與點 m、n，邊長為 2 的正方形oabc 一個頂點 o 在坐標系的原點，

25、直線 an 與 mc 相交與點 p，若正方形繞著點 o 旋轉一周，則點 p 到點(0，2)長度的最小值是_10如圖，邊長為 3 的正方形 abcd，兩頂點 a、b 分別在平面直角坐標系的 x 軸、y 軸的正半軸上滑動，點 c 點 d 在第一象限，點 e 為正方形abcd 的對稱中心，連結 oe，則 oe 的長的最大值是_變式：如圖，已知平面直角坐標系中，直線 ykx(k0)經(jīng)過點 c(a， 3a)（a0）線段 bc 的兩個端點分別在 x 軸與直線 ykx 上（b、c 均與原點o 不重合）滑動，且 bc2，分別作 bpx 軸，cp直線 ykx，交點為 p，經(jīng)探究在整個滑動過程中，p、o 兩點間的

26、距離為定值 11.如圖，開口向下的拋物線 交 x 軸于點 a,b 兩點，交 y 軸正半軸于點 c，頂點為 p，過頂點 p 作 x 軸，y 軸的垂線，垂足分別為 m,n，連結 cp,cm，cpm=45°，tancmp=0.8.(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）若點 d 為射線 pc 上動點，bd 交pmd 的外接圓于點 q，求 pq 的最小值.【強化訓練】【例 1】如圖，abc 中，ac3，bc，acb45°，d 為abc 內(nèi)一動點，o 為acd 的外接圓，直線 bd 交o 于 p 點，交 bc 于 e 點，弧 aecp，則 ad 的最小值為_【例 2】如圖，ac3，bc5

27、，且bac90°，d 為 ac 上一動點，以 ad為直徑作圓，連接 bd 交圓于 e 點，連 ce，則 ce 的最小值為_【練】如圖，在abc 中，ac3，bc ，acb45°，ambc，點 p在射線 am 上運動，連 bp 交apc 的外接圓于 d，則 ad 的最小值為_【例 3】如圖，o 的半徑為 2，弦 ab 的長為，點 p 為優(yōu)弧 ab 上一動點，acap 交直線 pb 于點 c，則abc 的面積的最大值是_.【練】如圖，o 的半徑為 1，弦 ab1，點 p 為優(yōu)弧 ab 上一動點，acap 交直線 pb 于點 c，則abc 的最大面積是（ ）【例 4】如圖，邊長為

28、 3 的等邊abc，d、e 分別為邊 bc、ac 上的點，且bdce，ad、be 交于 p 點，則 cp 的最小值為_【例 5】如圖，a(1，0)、b(3，0)，以 ab 為直徑作m，射線 of 交m 于e、f 兩點，c 為弧 ab 的中點，d 為 ef 的中點當射線繞 o 點旋轉時，cd的最小值為_【練】如圖 8，ab 是o 的直徑，ab2，abc60°，p 是上一動點，d是 ap 的中點，連接 cd，則 cd 的最小值為_針對練習：1如圖，在動點 c 與定長線段 ab 組成的abc 中，ab6，adbc 于點 d，beac 于點 e，連接 de當點 c 在運動過程中，始終有，則點

29、 c 到ab 的距離的最大值是_2如圖，已知以 bc 為直徑的o，a 為弧 bc 中點，p 為弧 ac 上任意一點，adap 交 bp 于 d，連 cd若 bc8，則 cd 的最小值為_.1.3 動點軌跡為其他曲線，構造三角形 方法指導：1當動點軌跡不是“定線”或“定圓”時，不妨將此線段轉化為一個三角形中，其中在該三角形中其他兩條邊位置不定但長度確定，則所求線段的最大值為其他兩線段長之和，最小值為其他兩線段長之差2在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。例 1、如圖, Ð mon=90°,矩形abcd的頂點a 、b分別在邊om , on上,當b在邊

30、on上運動時, a隨之在邊om上運動,矩形abcd的形狀保持不變,其中ab=2 , bc=1 ,求運動過程中,點d到點o的最大距離.變式訓練：1、如圖，在rtabc中，acb=90°，bc=6 ，tanbac=，點d在邊ac的三等分點處， 將線段ad繞點a旋轉，連接bd ， f為bd中點，求線段cf長度的最大值 2. 如圖，在abc 中，c90°，ac2，bc1，點 a、c 分別在 x 軸、y 軸上，當點 a 在 x 軸運動時，點 c 隨之在 y 軸上運動，在運動過程中，點 b 到原點 o 的最大距離為_。提示：取 ac 中點 d，由 boodbd1 ，知 bo 的最大值為

31、13.如圖，mon=90°，線段 ab 兩端點分別在邊 om，on 上，當 a 在邊 om 上運動時，b 隨之在邊 on 上運動，ab=2 保持不變，以 ab 為邊向外作等邊abc，在運動過程中，四邊形 aobc 的面積的最大值是_.4. 如圖，平面直角坐標系中，將含 30°的三角尺的直角頂點 c 落在第二象限其斜邊兩端點 a、b 分別落在 x 軸、y 軸上，且 ab=12cm.（1）若 ob=6cm求點 c 的坐標；若點 a 向右滑動的距離與點 b 向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點 c 與點 o 的距離的最大值=_cm2 雙動點型 解決雙動點問題的常用方法是轉化

32、為單動點問題，接著再用單動點的方法解決線段最值問題。有這樣一類雙動點，它是由某一動點所產(chǎn)生的，同樣就可用“源動點”和“從動點”的分析方法來處理，現(xiàn)總結思考前三個步驟：(一)分析“源動點”的不變量(二)分析“雙動點”與“源動點”間關系(三)轉化為單動點問題。顯然確定“雙動點”與“源動點”間關系是實現(xiàn)轉化的關鍵。2.1 利用等量代換實現(xiàn)轉化 例 1.abc是以ab為斜邊的直角三角形, ac=4 , bc=3 , p是ab上一動點,且peac于e , pfbf于f ,求ef的最小值.分析：點 p 帶動點 e、f，顯然點 p 是雙動點 e、f 的“源動點”。第一步，“源動點”p 在定邊 ab 上運動第

33、二步，由條件可知四邊形 pecf 為矩形，所以雙動點 ef 與“源動點”p 存在等量關系 ef=cp第三步，c 是定點，p是動點且在一邊上運動，可轉化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”。提示：雙動點線段能否等于圖中“源動點”與某一定點連結的線段?2.2 利用和差關系實現(xiàn)轉化 例 2、如圖，在abc中，ab=10，ac=8 ，bc=6，經(jīng)過點c且與邊ab相切的動圓與ca ， cb分別相交于點p ， q，則線段pq長度的最小值是_分析：本題的雙動點 p、d 可看成由“源動點”e 產(chǎn)生第一步，“源動點”e在定邊上運動，且保持oeab,第二步，雙動點 pd 是圓上的動弦且所對圓周角為直角，因此 pd

34、為圓o直徑源動點與雙動點滿足 pd=co+oe第三步，pd 長轉化為coe 三邊關系，當 c、o、e 三點共線時 ce 最短，可轉化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”當 ce 上ab 時 pd 長度最小。提示：雙動點線段能否表示成與“源動點”相關線段的和(差)?2.3 利用勾股定理實現(xiàn)轉化 例 3、如圖，在rtaob中，oa=ob= ， 圓o的半徑為1，點p是ab邊上的動點，過點p作圓o的一條切線pq(點q為切點)，則切線pq的最小值為_分析：pq 為圓o切線，pqoq ，雙動點 pq 與“源動點”p 滿足勾股定理pq2 =op2 oq2 ，而0q為定值1，因此要 pq 最小只需op取最小問題

35、可轉化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”提示：雙動點的線段出現(xiàn)“垂直”信息時能否與“源動點”構成“直角三角形”，從而利用勾股定理實現(xiàn)單一動點的轉化。2.4 利用三角形邊角關系實現(xiàn)轉化 例 4、如圖，abc中，bac=60°，abc=45°，ab=2 ，d是線段bc上的一個動點，以ad為直徑畫o分別交于ab 、 ac于e 、f，連接ef，則線段ef長度的最小值為_分析：本題的難點就在于確定雙動點 ef 與“源動點”d 的關系，即 ef 與 ad 之間的數(shù)量關系連半徑構造等腰oef，達到定角圓周角么 eaf 轉化為圓心角eof，直徑 ad 轉化為半徑 oe、0f，使 ef 與

36、ad 共存于一個三角形中，解三角形得ef=因 a 是定點，d 在線段 bc 上動，問題最終轉化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”。 二、兩條線段最值1 pa+pb 型 1.1 兩定一動（將軍飲馬） 出現(xiàn)一個動點的解題方法這類試題的解決方法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側。當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之問線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長。引：如圖在直線 l 上找一點 p 使 apbp 最短。 解：（1）如果兩點在直線異側，如圖（1），連接 ab 交直線 l 于點 p,則點 p 為所示作的點；（2）如果兩點在

37、直線同側，如圖（2），可通過軸對稱把問題轉化為兩點在直線異側的情況。證明：如下圖所示，從 b 出發(fā)向河岸引垂線，垂足為 d，在 bd 的延長線上，取 b 關于河岸的對稱點 b'，連結 ab'，與河岸線相交于 p，則 p 點就是所求作的點，只要從 a 出發(fā)，沿直線到 p,再由 p 沿直線走到 b，所走的路程就是最短的。如 果 在 河 邊 的 另 外 任 一 點 c, 則cb=cb，但 是 ，ac+cb=ac+cb'>ab'=ap+pb'=ap+pb?？梢?，在 p 點外任何一點 c，它與 a、b兩點的距離和都比 appb 都長。本質(zhì)：兩點之間，線段最短

38、。 【小結】 通過“對稱” 及構建“兩點間的線段” 基本圖形，將動態(tài)變化中的線段通過轉換，達到變化過程中的極限狀態(tài)，得到最小值即“兩點間的距離”。路徑最短問題，基本上運用軸對稱，將分散的線段集中到兩點之間，從而運用兩點之間線段最短，來實現(xiàn)最短路徑的求解，所以最短路徑問題需要考慮軸對稱。兩個關鍵點：（）找準對稱軸。動點所在的直線即為對稱軸。（）同側化異側。同側的兩個點，通過作對稱點，轉化為對稱軸異側的兩個點，連線即與對稱軸相交，交點即是所求。將軍飲馬口訣：“和最小，對稱找” 例 1 如圖，拋物線與 x 軸交于 a，b 兩點，與 y 軸交于 c 點，且 a(1，0)(1)求拋物線的解析式及頂點 d

39、 的坐標；(2)點 m 是 x 軸上的一個動點，當dcm 的周長最小時，求點 m 的坐標例題 2 定義一種變換：平移拋物線得到拋物線 ，使經(jīng)過的頂點a設的對稱軸分別交、 于點d 、b，點c是點a關于直線bd的對稱點。如圖 1，若 ，經(jīng)過變換后， ，點p是直線ac上的動點，求點p到點d的距離和到直線ad的距離之和的最小值分析：如何找對稱點進行變換是本題的難點，注意到點 p 是直線 ac 上的動點，所以直線 ac 就是對稱軸，從而運用對稱變換把線段 pd 轉化為線段pb 進行求解 解題策略：在不改變線段長度的前提下，運用對稱變換把對稱軸同側的兩條線段放在了對稱軸的兩側，把復雜的最值問題轉化為基本問

40、題根據(jù)“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”把“兩折線”轉“直”，找出最小位置，并求出最小值。變換的奧秘是：動點在哪條直線上，就以這條直線為對稱軸，構建某一定點的對稱點對稱變換是轉化的手段，也是解決問題的關鍵【牛刀小試】1 如圖，正方形 abcd 的邊長為 2，e 為 ab 的中點，p 是 ac 上一動點則pbpe 的最小值是_2如圖所示，正方形 abcd 的面積為 12，abe 是等邊三角形，點 e 在正方形 abcd 內(nèi)，在對角線 ac 上有一點 p，使 pdpe 的和最小，則這個最小值為_3如圖，mn 是半徑為 1 的o 的直徑，點 a 在o 上，amn30°，b 為an 弧 的

41、 中 點 ， p 是直徑 mn 上 一 動 點 ， 則 pa pb 的 最 小 值為_4如圖，ab 是o 的直徑，ab8，點 m 在o 上，mab20°，n 是弧 mb的中點，p 是直徑 ab 上的一動點若 mn1，則pmn 周長的最小值為_5已知 a(2，3)，b(3，1)，p 點在 x 軸上，若 papb 長度最小，則最小值為_6如圖，在 rtabc 中，c90°，b60°，點 d 是 bc 邊上的點，cd1，將abc 沿直線 ad 翻 折，使點 c 落在 ab 邊上的點 e 處，若點 p 是直線 ad 上的動點，則peb 的周長的最小值是_。7如圖，有一圓形

42、透明玻璃容器，高 15cm，底面周長為 24cm，在容器內(nèi)壁柜上邊緣 4cm 的 a 處，停著一只小飛蟲，一只蜘蛛從容器底部外向上爬了 3cm的 b 處時（b 處與 a 處恰好相對），發(fā)現(xiàn)了小飛蟲，問蜘蛛怎樣爬去吃小飛蟲最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不計） 8如圖，在 rtabc 中，abc90°，abbc4，點 m 在 bc 上，且 bm1，n 是 ac 上一動點， 則 bnmn 的最小值為_。9如圖，在邊長為 2 的等邊abc 中，d 為 bc 的中點，e 是 ac 邊上一點，則 bede 的最小值為_ 10.如圖，點 a，b 的坐標分別為（,0）和（0,2），點 c 是 x

43、 軸上的一個動點，且 a,b,c 三點不在同一條直線上，當abc 的周長最小時，點 c 的坐標是_。11如圖，正方形 abcd 的邊長是 8，p 是 cd 上的一點，且 pd 的長為 2，m是其對角線 ac 上的一個動點，則 dmmp 的最小值是_ 12.菱形 abco 在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點，aoc=60°，點 p 是對角線 ob 上一個動點，e(0，-1),問：ep+ap 最短是_，此時點 p 的坐標為_.13. 如圖，已知點 a(1，1)、b(3，2)，且 p 為 x 軸上一動點，則abp 的周長的最小值為_14.如圖，四邊形 abcd 中，bad120

44、6;，bd90°，在 bc、cd 上分別找一點 m、n，使amn 周長最小時，則amnanm 的度數(shù)為【 】 a130° b120° c110° d100°15.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村 a 和李村 b 送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋 o 為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）。兩村的坐標分別為 a（2，3），b（12，7）。(1) 若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋 o 多遠的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋 o 多遠的地方，可使它到張

45、村、李村的距離相等？1.2 兩定兩動 l 過河拆橋【解決方法】平移變換 平移變換的特征是：對應線段平行且相等，它可以改變線段的位置卻不改變其方向和長度。平移變換是把復雜的最值問題轉化為基本問題的重要手段。【問題再現(xiàn)】 （人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖 3，a 和 b兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 mn，造橋在何處才能使從 a 到 b的路徑 amnb 最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋 mn 要與河岸垂直） 在解決這道題題目前，我們先看以下模型： 圖3 【模型抽象】 動手操作一：如果把直線 l1和點 a 向上運動，而直線 l2和點 b 不動，你會畫嗎？（平移要注意什么？）問

46、題：a、b 為兩村莊之間隔著河流，河流兩岸為直線 l1、l2，若在兩岸建橋cd，橋與河流兩岸垂直，橋建在何處，可使 ac+cd+db 最短。策略：平移回去，把問題轉化為在直線上找一點 d，使 ad+db 最短動手操作二：如果 p 不動，q 平移 a 個單位，你會畫嗎？（平移要注意什么？）問題：如圖，若 a、b 為定點，而線段 pq 長為定值，當 p 在何處，ap+pq+qb最短。【小結】兩動點，其中一個隨另一個動(一個主動，一個從動)，并且兩動點間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解。（處理方法：當兩點間有一段固定的距離時，利用平移可將這距離

47、“壓縮為零”， 再連接構建 “兩點間的線段” 這一圖形。）例 1 （人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖 3，a 和 b 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 mn，造橋在何處才能使從 a 到 b的路徑 amnb 最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋 mn 要與河岸垂直） 分析：假設河的兩岸為直線這個問題要求“路徑 amnb 最短”實際上就是“am+bn”最短（因為“橋要與河垂直”，橋長是定值，也就是河兩岸的距離）怎樣保證“am+bn”最短呢？如圖 4（1），把 bn 沿與河岸垂直的方向平移河的寬度到 bm（b 為定點，則點 b為定點），則 am+bn=am+bm，點 a、b為定點，點

48、 m 為直線上的動點，所以當 a、m、b三點在一直線上時，am+ bm 最小解題策略：運用平移變換，在保持平移后的線段與原來的線段平行且相等的特性下，把無公共端點的兩條線段移到新的位置并“接起來”，變換成更簡單的基本圖形根據(jù)“兩點之間線段最短”把“兩折線”轉“直”，找出最小位置平移是轉化的手段，也是解決問題的關鍵 【牛刀小試】 1.在平面直角坐標系中，矩形 oacb 的頂點 o 在坐標原點，頂點 a、b 分別在x 軸、y 軸的正半軸上，oa=3，ob=4，d 為邊 ob 的中點 （1）若 e 為邊 oa 上的一個動點，當cde 的周長最小時，求點 e 的坐標； （2）若 e、f 為邊 oa 上的兩個動點，且 ef=2，當四邊形 cdef 的周長最小時，求點 e、f 的坐標。 l 四邊形周長最??；兩定兩動求四邊形周長最小，有兩個動點時，那么動點所在的兩條直線就為兩條對稱軸，再將兩定點作關于兩對稱軸的對稱點，分置于對稱軸兩側，再連接，構建“兩點間的線段”這一基本圖形，通過對稱轉換，將三條動態(tài)線段重新拼接在一起，利用“兩點之間線段最短” 實現(xiàn)“化折為直”，即得最短路線。例題（2006 北京）如圖 8，已知拋物線 與 y 軸交于 a (0，3 ),與x軸分別交于 b（1，0）和 c（5，0）兩點（1）求拋物線的解析式（2）若點 d 為線段 oa 的三等