第1章_計(jì)算方法概論

1、第1章 計(jì)算方法概論 運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究或工程技術(shù)問(wèn)題，一般按運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究或工程技術(shù)問(wèn)題，一般按如下途徑進(jìn)行：如下途徑進(jìn)行：實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題模型設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算上機(jī)計(jì)算問(wèn)題的解問(wèn)題的解 其中其中算法設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)是計(jì)算方法課程的主要內(nèi)容是計(jì)算方法課程的主要內(nèi)容. . 結(jié)束1 計(jì)算方法又稱(chēng)數(shù)值分析，是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要組成部分。計(jì)算方法又稱(chēng)數(shù)值分析，是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要組成部分。 1 1. .1 1 引言引言結(jié)束21 1. .1 1.1.1 計(jì)算方法的意義計(jì)算方法的意義 計(jì)算方法對(duì)于計(jì)算速度與增強(qiáng)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)，計(jì)算方法對(duì)于計(jì)算速度與增強(qiáng)計(jì)算結(jié)果

2、的準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)，與計(jì)算機(jī)硬件同等重要。這就導(dǎo)致了計(jì)算方法研究領(lǐng)域的與計(jì)算機(jī)硬件同等重要。這就導(dǎo)致了計(jì)算方法研究領(lǐng)域的空前活躍?？涨盎钴S。1 1. .1 1.2.2 計(jì)算方法的任務(wù)計(jì)算方法的任務(wù) 計(jì)算方法課程研究常見(jiàn)的基本數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法計(jì)算方法課程研究常見(jiàn)的基本數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法.包包含了含了數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)(線性方程組的解法、非線性方程的解法、線性方程組的解法、非線性方程的解法、矩陣求逆、矩陣特征值計(jì)算等矩陣求逆、矩陣特征值計(jì)算等)、數(shù)值逼近數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值微分與數(shù)值積分、常微分方程及偏微分方程數(shù)值積分、常微分方程及偏微分方程的數(shù)值解法等的數(shù)值解法等.它的基它的基本理論和研究方法建立

3、在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，研究對(duì)象是本理論和研究方法建立在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，研究對(duì)象是數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此它是數(shù)學(xué)的分支之一數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此它是數(shù)學(xué)的分支之一. 1 1.2.2 算法與效率算法與效率結(jié)束31 1.2.1.2.1 算法算法 進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，需要構(gòu)造確定型數(shù)值算法，確定型算法進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，需要構(gòu)造確定型數(shù)值算法，確定型算法可定義為：從給定的已知量出發(fā)，按指定的運(yùn)算順序，經(jīng)可定義為：從給定的已知量出發(fā)，按指定的運(yùn)算順序，經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及邏輯運(yùn)算，可求出給定問(wèn)題的數(shù)值過(guò)有限次的四則運(yùn)算及邏輯運(yùn)算，可求出給定問(wèn)題的數(shù)值解的完整的計(jì)算步驟。解的完整的計(jì)算步驟。1 1.2.2.2.2 算法的效率算法的

4、效率 一個(gè)算法所需要四則浮點(diǎn)運(yùn)算的總次數(shù)定義為它的計(jì)算一個(gè)算法所需要四則浮點(diǎn)運(yùn)算的總次數(shù)定義為它的計(jì)算量，單位是量，單位是flopflop。由于。由于+ +，- -運(yùn)算速度很快，可忽略，因此運(yùn)算速度很快，可忽略，因此，算法的計(jì)算量簡(jiǎn)化為該算法所需要的乘法和除法運(yùn)算的，算法的計(jì)算量簡(jiǎn)化為該算法所需要的乘法和除法運(yùn)算的總次數(shù)。計(jì)算量越小，計(jì)算效率就越高?？偞螖?shù)。計(jì)算量越小，計(jì)算效率就越高。1 1.2.3.2.3 算法的表述形式算法的表述形式 算法的表述形式是多種多樣的算法的表述形式是多種多樣的. . 1 1 用數(shù)學(xué)公式和文字說(shuō)明描述用數(shù)學(xué)公式和文字說(shuō)明描述，這種方式符合人們的，這種方式符合人們的理

5、解習(xí)慣，和算法的推證相銜接，易于學(xué)習(xí)接受，但離上理解習(xí)慣，和算法的推證相銜接，易于學(xué)習(xí)接受，但離上機(jī)應(yīng)用距離較大機(jī)應(yīng)用距離較大. . 2 2用框圖描述用框圖描述，這種方式描述計(jì)算過(guò)程流向清楚，易于，這種方式描述計(jì)算過(guò)程流向清楚，易于編制程序編制程序 ，詳略難以掌握，詳略難以掌握. . 4 4 算法程序算法程序，即，即用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言描述用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言描述的算法，它是面對(duì)的算法，它是面對(duì)計(jì)算機(jī)的算法。我們以后討論的算法，都有現(xiàn)成的程序文計(jì)算機(jī)的算法。我們以后討論的算法，都有現(xiàn)成的程序文本和軟件可資利用本和軟件可資利用. . 但從學(xué)習(xí)算法的角度看，這種描述方但從學(xué)習(xí)算法的角度看，這種描述方式并不有利式并

6、不有利. .結(jié)束 3 3 算法描述語(yǔ)言算法描述語(yǔ)言，它是表述算法的一種通用語(yǔ)言。有，它是表述算法的一種通用語(yǔ)言。有特定的表述程序和語(yǔ)句?？梢院苋菀椎剞D(zhuǎn)化為某種計(jì)算機(jī)特定的表述程序和語(yǔ)句?？梢院苋菀椎剞D(zhuǎn)化為某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，同時(shí)也具有一定的可讀性。語(yǔ)言，同時(shí)也具有一定的可讀性。4 本教材將采用前三種方式表述各種算法本教材將采用前三種方式表述各種算法. .1 1.2.4 .2.4 算法的基本特點(diǎn)算法的基本特點(diǎn) 1 算法常表現(xiàn)為一個(gè)無(wú)窮過(guò)程的算法常表現(xiàn)為一個(gè)無(wú)窮過(guò)程的截?cái)嘟財(cái)啵?例例1 1 計(jì)算計(jì)算 sin sin x的值，的值，40,x 根據(jù)根據(jù)sinsin x 的無(wú)窮級(jí)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù))!12() 1

7、(! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn( 1.1) 這是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，我們只能在適當(dāng)?shù)牡胤竭@是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，我們只能在適當(dāng)?shù)牡胤健敖財(cái)嘟財(cái)唷保褂?jì)算量不太大，而精度又能滿足要求，使計(jì)算量不太大，而精度又能滿足要求. . 如計(jì)算如計(jì)算 sin 0.5sin 0.5，取，取n=3n=3479625.0!75.0!55.0!35.05.05.0sin753結(jié)束5 據(jù)泰勒余項(xiàng)公式，它的誤差應(yīng)為據(jù)泰勒余項(xiàng)公式，它的誤差應(yīng)為! 9) 1(94R4, 0( 1.2)791013.3362880)4/(R可見(jiàn)結(jié)果是相當(dāng)精確的可見(jiàn)結(jié)果是相當(dāng)精確的. .實(shí)際上結(jié)果的六位數(shù)字都是正確的實(shí)際上結(jié)果的六

8、位數(shù)字都是正確的. 2 算法常表現(xiàn)為一個(gè)連續(xù)過(guò)程的算法常表現(xiàn)為一個(gè)連續(xù)過(guò)程的離散化離散化 例例2 2 計(jì)算積分值計(jì)算積分值. .1011dxxI將將0 0，1 1分為分為4 4等分，分別計(jì)算等分，分別計(jì)算4 4個(gè)小曲邊梯形的面積的個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，然后加起來(lái)作為積分的近似值近似值，然后加起來(lái)作為積分的近似值( (如圖如圖1-1).1-1).記被積記被積函數(shù)為函數(shù)為 f(x) ，即，即結(jié)束6xxf11)(011yxxy11圖1-1計(jì)算有：計(jì)算有：I0.697 024，與精，與精確值確值0.693 147比較，可知結(jié)比較，可知結(jié)果不夠精確，如進(jìn)一步細(xì)分果不夠精確，如進(jìn)一步細(xì)分區(qū)區(qū)間，精度

9、可以提高間，精度可以提高.3 , 2 , 1 , 0,41iihxhihxfxfTiii2)()(1 3 3 算法常表現(xiàn)為算法常表現(xiàn)為“迭代迭代”形式形式. .迭代是指某一簡(jiǎn)單算法迭代是指某一簡(jiǎn)單算法的多次重復(fù)，后一次使用前一次的結(jié)果的多次重復(fù)，后一次使用前一次的結(jié)果. .這種形式易于在計(jì)這種形式易于在計(jì)算程序中實(shí)現(xiàn)，在程序中表現(xiàn)為算程序中實(shí)現(xiàn)，在程序中表現(xiàn)為“循環(huán)循環(huán)”過(guò)程過(guò)程. . 例例3 3 多項(xiàng)式求值多項(xiàng)式求值. . 結(jié)束7nnnxaxaxaaxP2210)(30iiTI 用用tk表示表示xk，uk表示表示(1.4)(1.4)式前式前k+1項(xiàng)之和項(xiàng)之和. .作為初值令作為初值令： (1

10、.5)0001aut 對(duì)對(duì)k=1,2,n，反復(fù)執(zhí)行：，反復(fù)執(zhí)行： (1.6)kkkkkktauuxtt11 顯然顯然Pn(x)=un，而，而(1.6)(1.6)式是一種簡(jiǎn)單算法的多次循環(huán)式是一種簡(jiǎn)單算法的多次循環(huán). . 令令 k=1,2, ,n (1.7)knkknaxvvav10結(jié)束 對(duì)此問(wèn)題還有一種更好的迭代算法對(duì)此問(wèn)題還有一種更好的迭代算法.8011012312012110111)()()()(axaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxPnnnnnnnnnnnnnnn 顯然顯然Pn(x)=vn . 這兩種算法都是將這兩種算法都是將n次多項(xiàng)式化為次多項(xiàng)式化為n個(gè)一次多項(xiàng)

11、式來(lái)計(jì)算個(gè)一次多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算，這種化繁為簡(jiǎn)的方法在數(shù)值分析中，這種化繁為簡(jiǎn)的方法在數(shù)值分析中經(jīng)常使用經(jīng)常使用. 下面估計(jì)一下以上兩種算法的計(jì)算量：下面估計(jì)一下以上兩種算法的計(jì)算量： 第一法：執(zhí)行第一法：執(zhí)行n次次(1.6)(1.6)式，每次式，每次2 2次乘法，一次加法，次乘法，一次加法，共計(jì)共計(jì)2 2n次乘法，次乘法，n次加法次加法； 第二法：執(zhí)行第二法：執(zhí)行n次次(1.7)(1.7)式，每次式，每次1 1次乘法，一次加法，次乘法，一次加法，共計(jì)共計(jì)n次乘法，次乘法， n次加法次加法. . 顯然第二種方法運(yùn)算量小，它是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶顯然第二種方法運(yùn)算量小，它是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出

12、的，被稱(chēng)為最先提出的，被稱(chēng)為“秦九韶算法秦九韶算法”. . 例例4 4 不用開(kāi)平方計(jì)算不用開(kāi)平方計(jì)算 ( (a0)0)的值的值. .a 假定假定x0是是 的一個(gè)近似值，的一個(gè)近似值，x0 0 0，則，則 也是也是 的的一個(gè)近似值，且一個(gè)近似值，且x0和和 兩個(gè)近似值必有一個(gè)大于兩個(gè)近似值必有一個(gè)大于 ，另，另aaaa0 xa0 xa結(jié)束9a一個(gè)小于一個(gè)小于 ，可以設(shè)想它們的平均值應(yīng)為，可以設(shè)想它們的平均值應(yīng)為 的更好的平均的更好的平均值，于是設(shè)計(jì)一種算法：值，于是設(shè)計(jì)一種算法：a10 (k=0,1,2,) (1.8) 如計(jì)算如計(jì)算 ，取，取x0 =2=2，有，有 (k=0,1,2,)3kkkx

13、axx211kkkxxx3211計(jì)算有：計(jì)算有：x0 0=2=2 x1 1=1.75=1.75 x2 2=1.732 142 9=1.732 142 9 x3 3=1.732 050 8=1.732 050 8 可見(jiàn)此法收斂速度很快，只算三次得到可見(jiàn)此法收斂速度很快，只算三次得到8 8位精確數(shù)字位精確數(shù)字. . 迭代法應(yīng)用時(shí)要考慮是否收斂、收斂條件及收斂速度等迭代法應(yīng)用時(shí)要考慮是否收斂、收斂條件及收斂速度等問(wèn)題，今后課程將進(jìn)一步討論問(wèn)題，今后課程將進(jìn)一步討論. .結(jié)束 1.4 誤 差 1.4.1 誤差的來(lái)源誤差的來(lái)源 在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，每一步都可能在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的

14、過(guò)程中，每一步都可能帶來(lái)誤差帶來(lái)誤差. 1 模型誤差模型誤差 在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往要忽視很多次要在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往要忽視很多次要因素，把模型因素，把模型“簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)單化”，“理想化理想化”，這時(shí)模型就與真實(shí)，這時(shí)模型就與真實(shí)背景有了差距，即帶入了誤差背景有了差距，即帶入了誤差. . 2 測(cè)量誤差測(cè)量誤差 數(shù)學(xué)模型中的已知參數(shù)，多數(shù)是通過(guò)測(cè)量數(shù)學(xué)模型中的已知參數(shù)，多數(shù)是通過(guò)測(cè)量得到得到. .而測(cè)量過(guò)程受工具、方法、觀察者的主觀因素、不可而測(cè)量過(guò)程受工具、方法、觀察者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差預(yù)料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差. . 3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 數(shù)學(xué)模型常難于直接

15、求解，往往要近似替數(shù)學(xué)模型常難于直接求解，往往要近似替代，簡(jiǎn)化為易于求解的問(wèn)題，這種簡(jiǎn)化帶入誤差稱(chēng)為方法誤代，簡(jiǎn)化為易于求解的問(wèn)題，這種簡(jiǎn)化帶入誤差稱(chēng)為方法誤差或截?cái)嗾`差差或截?cái)嗾`差. . 4 舍入誤差舍入誤差 計(jì)算機(jī)只能處理有限數(shù)位的小數(shù)運(yùn)算，初計(jì)算機(jī)只能處理有限數(shù)位的小數(shù)運(yùn)算，初始參數(shù)或中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入運(yùn)算，這必然產(chǎn)生舍始參數(shù)或中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入運(yùn)算，這必然產(chǎn)生舍入誤差入誤差. .結(jié)束11 在數(shù)值分析課程中不分析討論模型誤差；在數(shù)值分析課程中不分析討論模型誤差；截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差是數(shù)是數(shù)值分析課程的主要討論對(duì)象，它往往是計(jì)算中誤差的主要部值分析課程的主要討論對(duì)象，它往往是計(jì)

16、算中誤差的主要部分，在講到各種算法時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗾`差限分，在講到各種算法時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗾`差限的公式的公式( (如如(1.2)(1.2)式式) )；舍入誤差舍入誤差的產(chǎn)生往往帶有很大的隨機(jī)的產(chǎn)生往往帶有很大的隨機(jī)性，討論比較困難，在問(wèn)題本身呈病態(tài)或算法穩(wěn)定性不好時(shí)性，討論比較困難，在問(wèn)題本身呈病態(tài)或算法穩(wěn)定性不好時(shí)，它可能成為計(jì)算中誤差的主要部分；至于測(cè)量誤差，我們，它可能成為計(jì)算中誤差的主要部分；至于測(cè)量誤差，我們把它作為初始的舍入誤差看待把它作為初始的舍入誤差看待. . 誤差分析是一門(mén)比較艱深的專(zhuān)門(mén)學(xué)科誤差分析是一門(mén)比較艱深的專(zhuān)門(mén)學(xué)科. .在數(shù)值分析中主要在數(shù)值分

17、析中主要討論討論截?cái)嗾`差及舍入誤差截?cái)嗾`差及舍入誤差. .但一個(gè)訓(xùn)練有素的計(jì)算工作者，但一個(gè)訓(xùn)練有素的計(jì)算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符時(shí)，應(yīng)當(dāng)能診斷出誤差的來(lái)源，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符時(shí)，應(yīng)當(dāng)能診斷出誤差的來(lái)源，并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，直至建議對(duì)模型進(jìn)行修改并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，直至建議對(duì)模型進(jìn)行修改.結(jié)束12 1.4.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 1 誤差與誤差限誤差與誤差限 定義定義1.11.1 設(shè)設(shè)x*是準(zhǔn)確值，是準(zhǔn)確值，x是它的一個(gè)近似值，稱(chēng)是它的一個(gè)近似值，稱(chēng)e e= =x- -x* *為近似值為近似值x的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差誤差. 誤差是有量綱的量，量

18、綱同誤差是有量綱的量，量綱同x，它可正可負(fù)，它可正可負(fù). . 誤差一般無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算，只能根據(jù)測(cè)量或計(jì)算情況估計(jì)誤差一般無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算，只能根據(jù)測(cè)量或計(jì)算情況估計(jì)出它的絕對(duì)值的一個(gè)上限，這個(gè)上界稱(chēng)為近似值出它的絕對(duì)值的一個(gè)上限，這個(gè)上界稱(chēng)為近似值x的的誤差限誤差限，記為，記為 x- -x* *，其意義是：，其意義是：x-x* *x+在工程中常記為：在工程中常記為： x* *= = x. .如如 l=10.2=10.2. .mmmm，R=1500=1500100100 2 相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 誤差不能完全刻畫(huà)近似值的誤差不能完全刻畫(huà)近似值的精度精度. .如測(cè)量百米跑道產(chǎn)生如測(cè)量

19、百米跑道產(chǎn)生10cm10cm的誤差與測(cè)量一個(gè)課桌長(zhǎng)度的誤差與測(cè)量一個(gè)課桌長(zhǎng)度產(chǎn)生產(chǎn)生1cm1cm的誤差，我們不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為后者更精確，還應(yīng)的誤差，我們不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為后者更精確，還應(yīng)考考慮被測(cè)值的大小慮被測(cè)值的大小.下面給出定義下面給出定義：結(jié)束13 定義定義1.21.2 誤差與精確值的比值誤差與精確值的比值 稱(chēng)為稱(chēng)為x的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差，記作，記作er.*xxxxe 相對(duì)誤差是無(wú)量綱的量，常用百分比表示，它也可正可相對(duì)誤差是無(wú)量綱的量，常用百分比表示，它也可正可負(fù)負(fù). .相對(duì)誤差也常不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對(duì)誤差限來(lái)估計(jì)相對(duì)誤差也常不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對(duì)誤差限來(lái)估計(jì). 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限：

20、|*rrexxxx 實(shí)際上由于實(shí)際上由于x*不知道，用上式無(wú)法確定不知道，用上式無(wú)法確定r ，常用，常用x代代x*作分作分母，此時(shí)：母，此時(shí)：結(jié)束14| xr 以后我們就用以后我們就用 表示相對(duì)誤差限表示相對(duì)誤差限.| x 例例5 5 在剛才測(cè)量的例子中，若測(cè)得跑道長(zhǎng)為在剛才測(cè)量的例子中，若測(cè)得跑道長(zhǎng)為1001000.1m0.1m，課桌長(zhǎng)為，課桌長(zhǎng)為1201201cm 1cm ，則，則顯然后者比前者相對(duì)誤差大顯然后者比前者相對(duì)誤差大.%1 . 01001 . 0) 1 (r%83. 01201)2(r 1.4.3 有效數(shù)字有效數(shù)字 定義定義1.31.3結(jié)束15 定義定義1.41.4結(jié)束16 如

21、：如：=3.14159265=3.14159265 則則3.143.14和和3.14163.1416分別有分別有3 3位和位和5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .而而3.1433.143相對(duì)于相對(duì)于也只能有也只能有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 如如a=0.034537a=0.034537，則近似數(shù)，則近似數(shù)0.03450.0345有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字又如近似數(shù)又如近似數(shù)c=30.4c=30.4和和d=30.40d=30.40分別有分別有3 3位和位和4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字 如計(jì)算機(jī)上得到方程如計(jì)算機(jī)上得到方程x3 3- -x-1=0-1=0的一個(gè)正根為的一個(gè)正根為1.324721.32

22、472，保，保留留4 4位有效數(shù)字的結(jié)果為位有效數(shù)字的結(jié)果為1.3251.325，保留，保留5 5位有效數(shù)字的結(jié)果為位有效數(shù)字的結(jié)果為1.3247.1.3247.相對(duì)誤差與有效數(shù)位的關(guān)系十分密切相對(duì)誤差與有效數(shù)位的關(guān)系十分密切. .定性地講，定性地講，相相對(duì)誤差越小，有效數(shù)位越多，反之亦正確對(duì)誤差越小，有效數(shù)位越多，反之亦正確. .定量地講，有如定量地講，有如下兩個(gè)定理下兩個(gè)定理. . 定理定理1.1 設(shè)近似值設(shè)近似值x=0.=0.a1a2an1010m有有n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限則其相對(duì)誤差限 此定理的證明不難，可作為習(xí)題完成此定理的證明不難，可作為習(xí)題完成. .111021

23、nra結(jié)束17 定理定理1.21.2 設(shè)近似值設(shè)近似值x= =0.0.a1a2an1010m m的相對(duì)誤差限的相對(duì)誤差限不大于不大于 ，則它至少有，則它至少有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .1110) 1(21na 證證 x |( |(a1+1+1）1010m-1m-1由定義由定義1. .3知知x有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.nmmnaaxxxxxx105 . 010) 1(10) 1( 21|1111* 例例6 6 計(jì)算計(jì)算sin 1.2sin 1.2，問(wèn)要取幾位有效數(shù)字才能保證相對(duì)，問(wèn)要取幾位有效數(shù)字才能保證相對(duì)誤差限不大于誤差限不大于0.0.01%. 解解 sin1.2=0.93sin1.2=

24、0.93，故，故a1 1=9,=9,m=0=0 解關(guān)于解關(guān)于n的不等式的不等式 10-n1810-5=1.810-4.41110%01. 01021nra結(jié)束18 所以取所以取n=4，即可滿足要求，即可滿足要求. 對(duì)有效數(shù)字的觀察比估計(jì)相對(duì)誤差容易得多，故監(jiān)視有效對(duì)有效數(shù)字的觀察比估計(jì)相對(duì)誤差容易得多，故監(jiān)視有效數(shù)字是否損失，常可發(fā)現(xiàn)相對(duì)誤差的突然擴(kuò)大數(shù)字是否損失，常可發(fā)現(xiàn)相對(duì)誤差的突然擴(kuò)大. . 例例6 6 計(jì)算計(jì)算 ，視已知數(shù)為，視已知數(shù)為精確值，用精確值，用4位浮點(diǎn)位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算數(shù)計(jì)算. .76017591 解解 原式原式=0.1318=0.13181010-2-2-0.1316-0.13

25、161010-2-2=0.2=0.21010-5 -5 . . 結(jié)果只剩一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對(duì)結(jié)果只剩一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對(duì)誤差的擴(kuò)大誤差的擴(kuò)大. .若通分后再計(jì)算：若通分后再計(jì)算： 原式原式= =就得到就得到4 4位有效數(shù)字的結(jié)果位有效數(shù)字的結(jié)果. .下文將會(huì)提到相近數(shù)字相減會(huì)擴(kuò)下文將會(huì)提到相近數(shù)字相減會(huì)擴(kuò)大相對(duì)誤差大相對(duì)誤差.56101734. 0105768. 017607591結(jié)束19 1.5 設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意的原則設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意的原則 1.5.1數(shù)值運(yùn)算時(shí)誤差的傳播數(shù)值運(yùn)算時(shí)誤差的傳播當(dāng)參與運(yùn)算的數(shù)值帶有誤差時(shí)，結(jié)果也必然帶有誤差，問(wèn)題當(dāng)參與運(yùn)算

26、的數(shù)值帶有誤差時(shí)，結(jié)果也必然帶有誤差，問(wèn)題是結(jié)果的誤差與原始誤差相比是否擴(kuò)大是結(jié)果的誤差與原始誤差相比是否擴(kuò)大. 1)對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)f(x)的計(jì)算的計(jì)算:設(shè)設(shè)x是是x*的近似值，則結(jié)果誤差的近似值，則結(jié)果誤差用用泰勒展式泰勒展式分析分析2)*()()*)()(*)(2xxfxxxfxfxf *)()()(xfxfxfe2*)()(*)()(2xxfxxxfxfe )(2)()(| )(|)(|2xfxxfxfe )(| )(|)(|xxfxf忽略第二項(xiàng)高階無(wú)窮小之后，可得函數(shù)忽略第二項(xiàng)高階無(wú)窮小之后，可得函數(shù)f(x)的誤差限估計(jì)式的誤差限估計(jì)式結(jié)束20 2)對(duì)多元函數(shù)對(duì)多元函數(shù)f(x1*,x2*

27、,xn*)=A*,設(shè)設(shè)x1,x2,xn是是x1*,x2*,xn*的近似值，則的近似值，則A=f(x1,x2,xn)是結(jié)果的近似值。是結(jié)果的近似值。其中其中),(),()(*2*121nnxxxfxxxfAe結(jié)束| ),(),(|*nnxxxfxxxfAA2121)(|),(2*211xOxxxxxxfkkknnk|max*kkkxxx略去高階項(xiàng)后略去高階項(xiàng)后)(),()(211kknnkxxxxxfA)10. 1 (21 3）四則運(yùn)算中誤差的傳播）四則運(yùn)算中誤差的傳播 按（按（1.10）易得）易得:其中其中(1.11)取等號(hào)取等號(hào),是因?yàn)樽鳛槎嘣瘮?shù)是因?yàn)樽鳛槎嘣瘮?shù),加減法的一次函數(shù)，泰加減

28、法的一次函數(shù)，泰勒展開(kāi)沒(méi)有二次余項(xiàng)。勒展開(kāi)沒(méi)有二次余項(xiàng)。)()()(2121xxxx結(jié)束)(|)(|)(122121xxxxxx例例7：若電壓若電壓V=220 5V，電阻，電阻R=300 10 ，求電流，求電流I并計(jì)并計(jì)算其誤差限及相對(duì)誤差限。算其誤差限及相對(duì)誤差限。解：解：22122121)(|)(|xxxxxxx)11. 1 ()12. 1 ()13. 1 ()(7333. 0300220AI22所以所以)(0411. 090000530010220)(|)(|)(2ARVRRVI結(jié)束)(0411. 07333. 0AI1.5.2 算法中應(yīng)避免的問(wèn)題算法中應(yīng)避免的問(wèn)題1）避免相近數(shù)相減）避

29、免相近數(shù)相減 由公式由公式(1.11)(|)(|)(|)(|)()(221212112221211211212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrr%67333.00411.0)(Ir)()()(2121xxxx23當(dāng)當(dāng)x1和和x2十分相近時(shí)，十分相近時(shí)， x1-x2接近零，接近零，結(jié)束將很大，所以將很大，所以|211xxx)(21xxr和和|212xxx)(),(21xxrr從直觀上看，相近數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)位的減少，本章例從直觀上看，相近數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)位的減少，本章例6就就是一個(gè)例子是一個(gè)例子.有時(shí)，通過(guò)改變算法可以避免相近數(shù)相減有時(shí)，通過(guò)改變算法可以避免相近數(shù)相減.大很多，即相對(duì)誤差將顯著擴(kuò)大大很多，即相對(duì)誤差將顯著擴(kuò)大.將比將比例例8: 解方程解方程