競賽知識點(diǎn)--電磁感應(yīng)

1、44感生電磁感應(yīng)導(dǎo)體相對磁場靜止，由于磁場的變化而引起導(dǎo)體內(nèi)感生電動勢的現(xiàn)象叫感生電磁感應(yīng)。即： S、 a均不變，但 B 變而使得 變。 產(chǎn)生原因： 分析： 回路置于變化的磁場里， 最簡單的方法就是回 路平面和磁場垂直， 回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢， 如果回路 1i 閉合就有感應(yīng)電流 R t ，如果回路不閉合，感生電圖 4-4-1動勢仍是 t ，不產(chǎn)生感應(yīng)電流。 這是法拉等的發(fā)現(xiàn)。 由于法拉第自身不可避免的局限， 他沒有再追究這一現(xiàn)象 的深層本質(zhì)。 接過接力棒再創(chuàng)佳績的是麥克斯韋， 他指出 感應(yīng)電動勢其實(shí)跟導(dǎo)體的性質(zhì)和種類無關(guān)， 純粹是由變化 多端的磁場引起的。放置了閉合回路，回路中就有電流， 這

2、只是表面現(xiàn)象，不是事情的本質(zhì)。麥克斯韋相信，即使 不在導(dǎo)體回路，變化著的磁場也能在其周圍空間激發(fā)一種稱為渦旋電場的場，渦旋電場和靜 電場的共同點(diǎn)就是對電荷都有作用力，當(dāng)然差異點(diǎn)也有不少。例如靜電荷它可以單獨(dú)存在， 其電場線是閉合的無頭尾無始終。如果恰好變化磁場中有閉合導(dǎo)體回路，變化磁場產(chǎn)生的渦 旋電場電場線跟導(dǎo)體不垂直因而分解出與導(dǎo)體相切的分量，導(dǎo)體中的自由電荷受其作用力就 會定向移動成為電流。 這就是感應(yīng)電動勢的非靜電力的來源。 麥克斯韋最早分析了這種情況， 他敏感地預(yù)見到這一現(xiàn)象，表明電場和磁場之間必然有某種當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的新關(guān)系。讓我們更具體地分析：一個(gè)物理場，既呈現(xiàn)某種空間分布又隨時(shí)間依

3、一定規(guī)律變化。我 們說這個(gè)場是空間和時(shí)間的函數(shù)。磁場和電場一樣，是矢量場。如果說它是勻強(qiáng)的，是指它 非穩(wěn)恒，空間分布狀況不變但隨時(shí)間改變其大小，場線會隨時(shí)間變密或變疏。本題中變化磁 場產(chǎn)生渦旋電場的問題， 按麥克斯韋的理論， 是一個(gè)十分復(fù)雜的問題。 僅在非常特殊的場合， 再附加上非?？量痰臈l件，場的分布才是很確定的，中學(xué)階段我們面對的模型幾乎都是這樣 的：磁場被限制在一個(gè)圓柱狀空間，有理想邊界即磁場在邊界上突變，在界內(nèi)勻強(qiáng)，在圓柱 外突變?yōu)榱恪４鸥芯€跟圓柱軸線平行，在與磁場垂直的平面上磁場邊界是有限大的圓。按麥 克斯韋理論：如果磁場隨時(shí)間均勻變化，那么產(chǎn)生的渦旋電場就不隨時(shí)間變化；如果磁場隨

4、時(shí)間是振蕩的，那么產(chǎn)生的渦旋電場就是同頻率振蕩的，如圖 4-4-1 所示。渦旋電場的電場 線是一系列環(huán)抱磁感線的同心圓。沿這些同心圓的半徑方向放置導(dǎo)體，導(dǎo)體上是不可能產(chǎn)生 感應(yīng)電動勢的，在這個(gè)方向上導(dǎo)體內(nèi)的帶電粒子即受到渦旋電場力作用也不會沿導(dǎo)體定向移 動。如果有環(huán)形導(dǎo)體恰好與電場線平行，導(dǎo)體上能產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，那是確定無疑的。在上述這些特殊條件下，由變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，其特征是：空間各點(diǎn)的E渦 一定處在與磁場垂直的平面上，即 E渦 沒有跟 B 平行的分量；磁場邊界內(nèi)外都有 E渦 。上面 說過 E渦 的場線是與磁場邊界同心封閉圓，任何一個(gè)磁場邊界同心的圓周上任意一點(diǎn)的E渦沿切線方向； E渦

5、 的指向與磁場變化的關(guān)系遵從楞次定律，即E渦 的方向就是感應(yīng)電動勢的方向； E渦 的大小，可以從渦旋電場力是非靜電力這一點(diǎn)出發(fā)來推導(dǎo)，根據(jù)電動勢定義，電動勢應(yīng)等于單位正電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移往正極，單位正電荷在回路上繞行一周，非靜電力做功 W W非 /q E 2 r ，此處設(shè)該回路半徑為 r，又根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定 B 2 BSrtt ，這兩個(gè) 在本質(zhì)與現(xiàn)象的關(guān)系，其實(shí)是一回事，數(shù)值上應(yīng)相2 B r B2 r rE 渦t ，所以 渦等，即E渦半徑 ），其說明 E渦 大小由兩個(gè)因素決定：2 t 。該結(jié)果僅適用于 r R 的范圍 （R 是磁場邊界 BB t ；二是 r ，如果 t 是是磁感應(yīng)

6、強(qiáng)度變化率2B t，恒量，那么 E渦 r ，在 r>R處， E渦2 r RR2 B磁通量 BS 中的 S，只能計(jì)及有磁感線穿過的面積 R2 , E渦 = 2r t 。請我們關(guān)注Bt 這個(gè)物理量，這是一個(gè)非常B重要的物理量，以下的每個(gè) A 類例題和 B 類例題，我們都要跟 t 打交道。 產(chǎn)生感應(yīng)電磁現(xiàn)象的原因是由于感生渦旋電場的作用，假如有一個(gè)局限在圓柱形范圍內(nèi) 的勻強(qiáng)磁場 B， B 的方向平行于圓柱體的軸。當(dāng) B 的大小在增加時(shí)，感 生電場的方向如圖圖 4-4-2 所示。根據(jù)對稱性，在回路上各點(diǎn)處的感生 電場方向必然與回路想切，感生電場的電場線是一些同心圓。因此，感 生電場的電感線是閉合

7、線，無頭無尾，像旋渦一樣，所以由磁場變化而 激發(fā)的電場也叫旋渦電場。而靜電場的電感線卻是起于正電荷而終于負(fù) 電荷，是有頭有尾的。這是一個(gè)很重要的區(qū)別。圖 4-4-2根據(jù)電動勢和電場的關(guān)系，如果磁場區(qū)域半徑為R ，回路的半徑為r，回路上的電場強(qiáng)度為 E，則rE2t因?yàn)閞 2 B,所以有rBE2R2t, B2r t 441、磁場中導(dǎo)體的感生電動勢 在一個(gè)半徑為 R 的長直螺線管中通有變化的電流， 使管內(nèi)圓柱形的空間產(chǎn)生變化的磁場， 且 B/ t>0（圖 4-4-3）。如果在螺線管橫截面內(nèi)，放置一根長為R 的導(dǎo)體棒 ab，使得oa ab ob，那么 ab 上的感生電動勢 ab是多少？如果將導(dǎo)體

8、棒延伸到螺線管外， 并使得 ab bc R 呢？前面已說過：長直通電螺線管內(nèi)是勻強(qiáng)磁場，而管外磁場為零，所以本題研究的是一個(gè)圓柱形勻強(qiáng)磁場。盡管根據(jù)前述 E 的表達(dá)式，可知 ab棒所在各點(diǎn)的電場強(qiáng)度， 但要根據(jù)這些場強(qiáng)來求出 ab 卻要用到積分的知識，因此，一般中學(xué)生無法完成，我們可取個(gè)等邊三角形面積oab，因?yàn)閛a和 ob垂直于感生電場的電力線，所以 oa和 ob 上沒有感生電動勢。又根據(jù)法拉第電磁感 應(yīng)定律， oab 回路上的感生電動勢3R2這也就是 ab 的大小。如果將 ab延伸到 c，則可研究 oac ，根據(jù)同樣的道理可 知3 2 B 圖 4-4-3ac Rac t 4 12 t很明顯

9、，上面這個(gè)問題可以這樣解的前提是磁場局限于圓柱形內(nèi)。如果一根導(dǎo)體棒是放 在一個(gè)寬廣的或是其它范圍不規(guī)則的磁場內(nèi)，那是得不出上述結(jié)果的，假如將一個(gè)導(dǎo)體閉合 回路放在磁場中，對磁場就沒有那么嚴(yán)格的要求了，這類問題一般說來同學(xué)們是熟悉的，但如果是一個(gè)比較復(fù)雜的電路 放在磁場中，處理時(shí)就要用一些新的方法。442、磁場中閉合電路的感生電動勢解磁場中一個(gè)比較復(fù)雜的閉合電路的感生電流的問題， 一般除了用到有關(guān)電磁感應(yīng)的知識以外，還要用到解復(fù)雜電 路的回路電壓定律和節(jié)點(diǎn)電流定律。將一個(gè)半徑 a、電阻為 r 的圓形導(dǎo)線， 接上一個(gè)電阻為 R 的電壓表后按圖 4-4-4(a) 、(b)兩種方式放在磁場中， 連接電

10、壓 表的導(dǎo)線電阻可忽略， (a)、 (b)中的圓心角都是 。均勻變化的磁場垂直于圓面，變化率B/ t k。試問 (a)、(b)中電壓表的讀數(shù)各為多少？ 因?yàn)殡妷罕淼淖x數(shù)與它兩端的正負(fù)無關(guān)， 所以可以任意假設(shè)磁場 B 的方向和變化率的正a ，回路 OPS2Q 的面積 S22 a 2。這負(fù)?，F(xiàn)在我們設(shè) B垂直于紙面向里， 且 B/ t k>0(圖4-4-5)?；芈?OPS1QS1都是逆時(shí)針的， 感生電動勢的大小分的面積 兩個(gè)回路單獨(dú)存在時(shí)的感生電流方向相同， 別為圖 4-4-5S1 t22 a 2 k,S2 Bt2t / 2 /(2 )PS1Q段導(dǎo)線和 QS2P 段導(dǎo)線電阻分別為aOI2S1

11、V S2 a IV1圖 4-4-6B1 S1 B1 1 t1 ka 2sin2B2 S2 B2 2 t12a2 sin k2 a2 21a 2 sin k2R1r,R2r22如圖 4-4-6 中標(biāo)出的電流，應(yīng)該有IV I 2 I1對兩個(gè)回路分別列出電壓方程1 I1R1 IV R,2 I2R2 IVR（R 為伏特表的內(nèi)阻 ）。由、可解得2I12 r R I 2r R1 2 2 2即有 I1 I 2因此IV 0所以圖 4-4-4（a）的接法中電壓表的讀數(shù)為零。再看圖 4-4-4 （b）中的接法： 電流設(shè)定如圖 4-4-6，小回路和大回路的感生電動勢大小分別 為1 ka 2 2 sin2IV I 2

12、 I1,2 I2R2 IVR（R 為伏特表的內(nèi)阻 ）。 由上述方程可解得22I V 2 aksin / 2 r 4 2 R由些可知電壓表的讀數(shù)為22V IVR 2 2a2k sin / 2Rr 4 2本問題中我們用到的電流方程 （如式 ）和回路電壓方程 （如、式 ），實(shí)際上就是上一講中提到過的基爾霍夫方程。在解決電磁感應(yīng)的問題時(shí)，用電壓回路方程十分方便，因?yàn)殡姶?感應(yīng)的電動勢是分布在整個(gè)回路上的。附：靜電場與感生電場的比較 就產(chǎn)生原因而言，靜電場是靜止電荷產(chǎn)生的，而感生電場是變化多端的磁場 激發(fā)的。就性質(zhì)而言，當(dāng)單位正電荷繞封閉合回路一周靜電場力的功為零。當(dāng)感圖 4-4-7生電場驅(qū)使單位正電荷

13、繞付線圈一周時(shí)，感生電場力的功不為零，其數(shù)值恰為副線圈內(nèi)產(chǎn)生 的感生電動勢，數(shù)值上等于通過副線圈的磁通量對時(shí)間的變化率。靜電場是保守場，感生電 場是非保守場。靜電場的電力線是有頭有尾的不封閉曲線，而感生電場的電力線是無頭無尾 的閉合曲線。靜電場是有源場，而感生電場是無源場。典型例題例 1 、無限長螺線管的電流隨時(shí)間作線性變化 （ I / t 常數(shù) ）時(shí)，其內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度 BB/ t 的數(shù)值，求管內(nèi)外的感生電場。C 表示螺線管的邊緣，其半徑為可知管內(nèi)外的感生電場電力線都是與R。由于對C也隨時(shí)間作線性變化。已知 解： 如圖 4-4-7 所示為螺線管的橫截面圖， 稱性以及感生電場的電力線是一些封閉

14、曲線的性質(zhì)， 同心的同心圓，因此：當(dāng) r< R 時(shí)，E感2rE感r2rB2t當(dāng) r> R 時(shí)B2E 感 2 r rR感t所以E感R2 B2r tE感的大小在管內(nèi)與 r 成正比，在管外與 r 成反比。感生電場電力線的方向可由楞次定律 B確定，當(dāng) t > 0 時(shí)，電力線方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。例 2、在一無限長密繞螺線管中有一均勻磁場， 磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間線性變化 （即 B/ t 常數(shù)），求螺線管內(nèi)橫截面上長為 l 的直線段 MN 上的感生電動勢。 （橫截面圓的圓心 O到 MN 的垂直距離為 h）解:求感生電動勢有兩種方法。（1） （1） 根據(jù)電動勢的定義：某一線段上的感生電動勢等于感生

15、電場搬 運(yùn)單位正電荷沿此段運(yùn)動時(shí)所做的功。在 MN 上任選一小段 l，O點(diǎn)到 l 距離為 r， l處 的 E感 如圖 4-4-8 所示，與 l 的夾角為 ，感生電場沿 l 移動單位正電荷所做的功為rBA E 感 l c os ， 而E感感 2 t 則A而rBl cos2tr cos hM hO E 然 rhBMlNAl故2t把 MN 上所有 l 的電動勢相加，圖 4-4-81 B l 1hl B2 t 2 t(2)用法拉第定律求解。連接 的磁通量的變化率。OM ，ON，則封閉回路三角形 OMN 的電動勢等于其所包圍BS lhB21Bhlt 2 tOM 和 ON 上各點(diǎn)的感生電場 E感 均各自與 OM 和 ON 垂直，單位正電荷 OM 和 ON 上移動時(shí)，感生電場的功為零， 故 OM 和 ON 上的感生電動勢為零， 封閉回路 OMNO 的電動勢就是 MN 上的電動勢。電動勢的方向可由楞次定律確定。RD2圖 4-4-9例 3 、兩根長度相度、材料相同、電阻分別為R 和 2R 的細(xì)導(dǎo)線，圍成一 直徑為 D 的圓環(huán)， P、Q為其兩個(gè)接點(diǎn)，如圖 4-4-9 所示。在圓環(huán)所圍成的區(qū) 域內(nèi)，存在垂直于圓指向紙面里的勻強(qiáng)磁場。磁場的磁感強(qiáng)度的大小隨時(shí)間增大，變化率為 恒定值 b。已知圓環(huán)中的感應(yīng)電動勢是均勻分布的。設(shè) MN 為圓環(huán)上的兩點(diǎn)，