數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 教學(xué)目的：1.明確認(rèn)識(shí)級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具；2.明確認(rèn)識(shí)無窮級(jí)數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級(jí)數(shù)收斂判別法及斂散性。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是級(jí)數(shù)斂散性的概念和正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別；難點(diǎn)是一般級(jí)數(shù)斂散性的判別法。 教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí) § 1 級(jí)數(shù)的收斂性 一       概念 ： 1      級(jí)數(shù) ：級(jí)數(shù) ，無窮級(jí)數(shù) ; 通項(xiàng) ( 一般項(xiàng) , 第 項(xiàng) ), 前 項(xiàng)部分和等概念

2、( 與中學(xué)的有關(guān)概念聯(lián)系 ). 級(jí)數(shù)常簡(jiǎn)記為 .2.          級(jí)數(shù)的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想 . 以在中學(xué)學(xué)過的無窮等比級(jí)數(shù)為藍(lán)本 , 定義斂散性、級(jí)數(shù)的和、余和以及求和等概念 . 例1 討論幾何級(jí)數(shù) 的斂散性.（這是一個(gè)重要例題！）解 時(shí), . 級(jí)數(shù)收斂 ; 時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 ;2 / 31 時(shí), , , 級(jí)數(shù)發(fā)散 .綜上, 幾何級(jí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)收斂, 且和為 ( 注意 從0開始 ). 例2 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解（利用拆項(xiàng)求和的方

3、法）例3  討論級(jí)數(shù) 的斂散性.解 設(shè) , , = , . , . 因此, 該級(jí)數(shù)收斂. 例4 討論級(jí)數(shù) 的斂散性.解 , . 級(jí)數(shù)發(fā)散.3.          級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 : 對(duì)應(yīng)部分和數(shù)列 , 收斂 收斂;對(duì)每個(gè)數(shù)列 , 對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù) , 對(duì)該級(jí)數(shù), 有 = . 于是,數(shù)列 收斂 級(jí)數(shù) 收斂.可見 , 級(jí)數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式 .  4. 級(jí)數(shù)與無窮積分的關(guān)系 : , 其中 . 無窮積分可化為級(jí)數(shù) ;對(duì)每個(gè)級(jí)數(shù), 定義函數(shù) , 易見有= . 即級(jí)數(shù)可化為無窮積分.綜上所

4、述 , 級(jí)數(shù)和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結(jié)果 . 可以用其中的一個(gè)研究另一個(gè) . 二.            級(jí)數(shù)收斂的充要條件 Cauchy準(zhǔn)則 ：把部分和數(shù)列 收斂的Cauchy準(zhǔn)則翻譯成級(jí)數(shù)的語(yǔ)言 ， 就得到級(jí)數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則 . Th ( Cauchy準(zhǔn)則 ) 收斂 和 N, . 由該定理可見, 去掉或添加上或改變 ( 包括交換次序 ) 級(jí)數(shù)的有限項(xiàng) , 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性 . 但在收斂時(shí) , 級(jí)數(shù)的和將改變 . 去掉前 項(xiàng)的級(jí)數(shù)表為 或.系 ( 級(jí)數(shù)收

5、斂的必要條件 ) 收斂 . 例5 證明 級(jí)數(shù) 收斂 .證 顯然滿足收斂的必要條件 . 令 , 則當(dāng) 時(shí)有應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)設(shè)法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，確定 . 例6 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. ( 驗(yàn)證 . 級(jí)數(shù)判斂時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證是否滿足收斂的必要條件 )例7  ( 但級(jí)數(shù)發(fā)散的例 ) 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散 .證法一 ( 用Cauchy準(zhǔn)則的否定進(jìn)行驗(yàn)證 )   證法二 證明 發(fā)散. 利用已證明的不等式. 即得 ， . 三 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：（ 均給出證明 ） 性質(zhì)1 收斂， Const 收斂且有 = ( 收斂級(jí)數(shù)滿足分配律 ) 性質(zhì)2

6、和 收斂 ， 收斂, 且有 = .問題 : 、 、 三者之間斂散性的關(guān)系.性質(zhì)3 若級(jí)數(shù) 收斂 , 則任意加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)也收斂 ,且和不變 . ( 收斂數(shù)列滿足結(jié)合律 ) 例8 考查級(jí)數(shù) 從開頭每?jī)身?xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)的斂散性 . 該例的結(jié)果說明什么問題 ?§ 2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 一. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的一般原則 : 1.          正項(xiàng)級(jí)數(shù) : ; 任意加括號(hào)不影響斂散性.2.          基本定理

7、: Th 1 設(shè) . 則級(jí)數(shù) 收斂 . 且當(dāng) 發(fā)散時(shí), 有, . ( 證 )正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的記法 .3.          正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的比較原則 : Th 2 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 時(shí)有 , 則 > < , < ; > = , = .( > 是>的逆否命題 )例1  考查級(jí)數(shù) 的斂散性 .解 有 例2 設(shè) . 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 推論1 ( 比較原則的極限形式 ) 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)且 ,則 > 時(shí) , 和 共斂散 ; > 時(shí)

8、, < , < ; > 時(shí) , = , = . ( 證 ) 推論2 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 若 = ， 特別地 ，若 , ， 則< = . 例3 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; ( ) ; ; .  二.            正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法: 1 檢比法： 亦稱為 Dalembert判別法 .用幾何級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象 , 有下列所謂檢比法 .Th 3 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 時(shí) > 若 , < ; > 若 , = . 證 >

9、 不妨設(shè) 時(shí)就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 , < . > 可見 往后遞增 , .推論 ( 檢比法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 > < , < ; > > 或 = , = . ( 證 )註 倘用檢比法判得 = , 則有 .檢比法適用于 和 有相同因子的級(jí)數(shù),特別是 中含有因子 者. 例4 判斷級(jí)數(shù)  的斂散性.解 , . 例5 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 . 因此, 當(dāng) 時(shí), ; 時(shí), ; 時(shí), 級(jí)數(shù)成為 , 發(fā)散. 例6 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 注意 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，若僅有 ，其斂散性不能確定 . 例

10、如對(duì)級(jí)數(shù) 和 , 均有 ，但前者發(fā)散, 后者收斂 . 2. 檢根法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級(jí)數(shù)作為比較的對(duì)象建立的判別法.Th 4 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 , 當(dāng) 時(shí) , > 若 , < ; > 若 , = . ( 此時(shí)有 .) ( 證 )推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 , < ; , = . ( 證 )檢根法適用于通項(xiàng)中含有與 有關(guān)的指數(shù)者 . 檢根法優(yōu)于檢比法.  例7 研究級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 , . 例8 判斷級(jí)數(shù) 和 的斂散性 .解 前者通項(xiàng)不趨于零 , 后者用檢根法判得其收斂 .  

11、; 3 積分判別法 ： Th 5 設(shè)在區(qū)間 上函數(shù) 且 . 則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與積分共斂散. 證 對(duì) 且 .  例9 討論 級(jí)數(shù) 的斂散性.解 考慮函數(shù) 0時(shí) 在區(qū)間 上非負(fù)遞減 . 積分當(dāng) 時(shí)收斂 , 時(shí)發(fā)散. 級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)收斂 ,時(shí)發(fā)散. 時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上 , 級(jí)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)收斂 .  例10 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; . 習(xí) 題 課 一 直接比較判斂：   對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用直接比較法判斂時(shí) , 常用下列不等式: . 對(duì) , 有 . ; 特別地 , 有 , . 時(shí) , 有 . . 充分大時(shí) , 有 . 例1 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 時(shí), , ( 或 )

12、. 例2 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 , 其中 . 解 時(shí) , 有 ; 時(shí) , .例3 設(shè)數(shù)列 有界 . 證明 .證 設(shè) . 例4 設(shè) 且數(shù)列 有正下界 . 證明級(jí)數(shù) .證 設(shè) . 例5 . 若 , 則 .證 ; 又 . 例6 設(shè) . 若級(jí)數(shù)和 收斂 ,則級(jí)數(shù) 收斂.例7 設(shè) . 證明 , , ; 和 之一或兩者均發(fā)散時(shí), 仍可能收斂 ; , , .證 充分大時(shí) , . 取 . .   二. 利用同階或等價(jià)無窮小判斂 :   例8 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; ; ; ; .  例9 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ; .註 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的通項(xiàng) 為 的有理分式 . 當(dāng) 為 的假分式

13、時(shí), 由于 , ; 若 為 的真分式 , 倘用檢比法, 必有 .有效的方法是利用等價(jià)無窮小判別法. 例10 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù), 且 . 試證明: 若 , 則級(jí)數(shù) 發(fā)散. 若 , 則級(jí)數(shù) 收斂. （ 2002年西北師大碩士研究生入學(xué)試題 ） 解 把函數(shù) 在點(diǎn) 展開成帶二階Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式, 有, 介于 與 之間. 若 ,則當(dāng) 充分大時(shí) 不變號(hào), 可認(rèn)為 是同號(hào)級(jí)數(shù). 有 , 發(fā)散. 若 注意到 在點(diǎn) 連續(xù), 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有界, 設(shè), 有 | |= . , 收斂. 如例10所示 ，當(dāng) 時(shí) ，常用Maclaurin公式確定 的等價(jià)無窮小. 例11 判斷

14、級(jí)數(shù) 的斂散性 , 其中 且 . 解   三 利用級(jí)數(shù)判斂求極限 ：   原理 : 常用判定級(jí)數(shù) 收斂的方法證明 或 .例12 證明 . 例13 證明 .例14 設(shè) . 若 , .證 對(duì) , 由 , 有 , 即 ; , 即 .于是 , 時(shí)總有 . 此即 . § 3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)  一. 交錯(cuò)級(jí)數(shù) : 交錯(cuò)級(jí)數(shù) , Leibniz型級(jí)數(shù) .  Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型級(jí)數(shù)必收斂 , 且余和的符號(hào)與余和首項(xiàng)相同 , 并有.證 ( 證明部分和序列 的兩個(gè)子列 和 收斂于同一極限 . 為此先證明 遞增有界. ) , ; 又 ,

15、即數(shù)列 有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列 收斂 . 設(shè) . .由證明數(shù)列 有界性可見 , . 余和 亦為型級(jí)數(shù), 余和 與 同號(hào), 且 . 例1 判別級(jí)數(shù) 的斂散性.解 時(shí) , 由Leibniz判別法, 收斂; 時(shí), 通項(xiàng) , 發(fā)散. 二. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì) :   1.   絕對(duì)收斂和條件收斂: 以Leibniz級(jí)數(shù)為例, 先說明 收斂 絕對(duì)收斂.Th 2 ( 絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系 ) , 收斂.證 ( 用Cauchy 準(zhǔn)則 ).  一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂時(shí), 先應(yīng)判其是否絕對(duì)收斂.   例2 判斷例1中的級(jí)數(shù)絕對(duì)或條件收斂性 .  2.

16、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性 : 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù) ： 對(duì)級(jí)數(shù) ，令 則有 > 和 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且有 和; > , . 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì): Th 3 > 若 ， 則 ， . > 若 條件收斂 , 則 , . 證 > 由 和 , > 成立 . > 反設(shè)不真 , 即 和 中至少有一個(gè)收斂 , 不妨設(shè) .由 = , = 以及 和 收斂 , .而 , ,與條件收斂矛盾 . 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的可重排性: 更序級(jí)數(shù)的概念.   Th 4 設(shè) 是 的一個(gè)更序 . 若 , 則 , 且= .證 > 若 ，則 和 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且它們的部分和可以互相控制.于是 ,

17、, , 且和相等 . > 對(duì)于一般的 , = , = .正項(xiàng)級(jí)數(shù) 和 分別是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 和 的更序 . 由 , 據(jù)Th 1 , 和 收斂 . 由上述>所證 , 有 , , 且有= , = , = .由該定理可見 , 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)滿足加法交換律 .是否只有絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Riemann ) 若級(jí)數(shù) 條件收斂 , 則對(duì)任意實(shí)數(shù) ( 甚至是 ) , 存在級(jí)數(shù) 的更序 , 使得 = .證 以Leibniz級(jí)數(shù) 為樣本 , 對(duì)照給出該定理的證明 .關(guān)于無窮和的交換律 , 有如下結(jié)果: > 若僅交換了級(jí)數(shù) 的有限項(xiàng) , 的斂散性及和都不變

18、. > 設(shè) 是的一個(gè)更序 . 若 , 使 在 中的項(xiàng)數(shù)不超過 ,則 和 共斂散 , 且收斂時(shí)和相等 . 三. 級(jí)數(shù)乘積簡(jiǎn)介: 1. 級(jí)數(shù)乘積 : 級(jí)數(shù)乘積 , Cauchy積. 1 P2021. 2級(jí)數(shù)乘積的Cauchy定理: Th 6 ( Cauchy ) 設(shè) , , 并設(shè) = , = . 則它們以任何方式排列的乘積級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂 , 且乘積級(jí)數(shù)的和為 . ( 證略 ) 例3 幾何級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的. 將 按Cauchy乘積排列, 得到 . 四. 型如 的級(jí)數(shù)判斂法： 1Abel判別法： 引理1 （分部求和公式，或稱Abel變換）設(shè) 和 （ ）為兩組實(shí)數(shù).記 . 則 .證 注意到 ,

19、有 .  分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實(shí)上 , .可見Abel變換式中的 相當(dāng)于上式中的 , 而差 相當(dāng)于 , 和式相當(dāng)于積分.引理2 ( Abel ) 設(shè) 、 和 如引理1 .若 單調(diào) , 又對(duì) ,有 ，則 .證 不妨設(shè) . .系 設(shè) , ( ). 和 如. 有 . ( 參引理2證明 )Th 7 (Abel判別法 ) 設(shè) > 級(jí)數(shù) 收斂，> 數(shù)列 單調(diào)有界 . 則 級(jí)數(shù) 收斂 .證 ( 用Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 利用Abel引理估計(jì)尾項(xiàng) )設(shè) , 由 收斂 , 對(duì) 時(shí) , 對(duì) , 有 . 于是當(dāng) 時(shí)對(duì) 有 . 由Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 收斂. 2.

20、Dirichlet判別法: Th 8 ( Dirichlet) 設(shè) > 級(jí)數(shù) 的部分和有界, > 數(shù)列 單調(diào)趨于零 . 則級(jí)數(shù) 收斂 .證 設(shè) , 則 , 對(duì) , 有 . 不妨設(shè) 0 , 對(duì) . 此時(shí)就有 . 由Cauchy收斂準(zhǔn)則 , 收斂.取 0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂 . 可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例.由Dirichlet判別法可導(dǎo)出 Abel判別法 . 事實(shí)上 , 由數(shù)列 單調(diào)有界 , 收斂 , 設(shè) . 考慮級(jí)數(shù) , 單調(diào)趨于零 , 有界, 級(jí)數(shù) 收斂 , 又級(jí)數(shù) 收斂, 級(jí)數(shù) 收斂. 例4 設(shè) 0. 證明級(jí)數(shù) 和 對(duì) 收斂. 證 ，時(shí) ， ， . 可見 時(shí), 級(jí)數(shù) 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級(jí)數(shù)收斂 . 同理可得級(jí)數(shù)數(shù) 收斂 . 習(xí) 題 課 例1 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 注意到 , 所論級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 , 故收斂. ( 用