曲面積分的計(jì)算(經(jīng)典實(shí)用)

1、曲面積分的計(jì)算 已知向量已知向量a=x2i+y2j+z2k,為圓柱為圓柱x2+y2 a2(0zh)的全表面，求的全表面，求a穿過(guò)曲面穿過(guò)曲面而流向其外側(cè)而流向其外側(cè)的通量的通量 dxdyzdzdxydydzxd222sa dvzyxadv)(2div2202200hazdzdxdyzdvhdxy 例例5.5.曲面積分的計(jì)算內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxrxzqzypddddddzyxzryqxpddd應(yīng)用: (1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxrxzqzyp0zryqxp機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

2、 結(jié)束 曲面積分的計(jì)算2. 通量與散度 設(shè)向量場(chǎng)p, q, r, 在域g內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù), 則 向量場(chǎng)通過(guò)有向曲面 的通量通量為 g 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度散度為 ),(rqpa snadzryqxpadiv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲面積分的計(jì)算1. 基本方法基本方法曲面積分曲面積分第一類第一類( ( 對(duì)面積對(duì)面積 ) )第二類第二類( ( 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) ) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) (1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程代入曲面方程(2) (2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: : 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類: : 有向投影有向投影(3) (3) 確定二

3、重積分域確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面習(xí)題課（習(xí)題課（2）曲面積分的計(jì)算法曲面積分的計(jì)算法曲面積分的計(jì)算思思 考考 題題1) 1) 二重積分是哪一類積分二重積分是哪一類積分? ? 答答: : 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例. .2) 2) 設(shè)曲面設(shè)曲面,),( ,0:dyxz問(wèn)下列等式是否成立問(wèn)下列等式是否成立? ?dyxyxfszyxfdd)0 ,(d),( 不對(duì)不對(duì) ! ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與對(duì)坐標(biāo)的積分與 的的側(cè)側(cè)有關(guān)有關(guān) dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(曲面積分的計(jì)算2. 基本技巧基本技巧(1) (1) 利用對(duì)稱性及重心公

4、式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) (2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧( (輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面) )(3) (3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化曲面積分的計(jì)算zyxo練習(xí)練習(xí): :,ddddddyxzxzyzyx222yxrz的上側(cè)的上側(cè). .且取下側(cè)且取下側(cè) , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面0原式原式 = =3323r032r0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域?yàn)橛洶肭蛴驗(yàn)?, ,高斯公式有高斯公式有例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算為輔助面為輔助面,

5、, 利用利用其中其中 為半球面為半球面曲面積分的計(jì)算例例2. 2. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分yxrzxzryzyrxidddddd333其中其中, ,222zyxr.:2222取外側(cè)rzyx解解: :yxzxzyzyxridddddd13zyxrddd3134思考思考: : 本題本題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時(shí)時(shí), ,應(yīng)如何應(yīng)如何計(jì)算計(jì)算 ? ?提示提示: : 在橢球面內(nèi)作輔助小球面在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè), , 然后用高斯公式然后用高斯公式 . .曲面積分的計(jì)算例例3.3.計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其,d2)(22szyzyxi中中 是球面是球面.22222zxzyx解解: : szxd)22(32szyxid )(222zyyx22syzxd)(2szxd)(20利用對(duì)稱性利