空間幾何體的表面積和體積優(yōu)質(zhì)課

1、1.3 空間幾何體的表面積和體積空間幾何體的表面積和體積1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，正方體和長(zhǎng)方體的表面積正方體和長(zhǎng)方體的表面積與其展開圖有何與其展開圖有何關(guān)系？關(guān)系？幾何體表面積幾何體表面積展開圖面積展開圖面積空間問題空間問題平面問題平面問題各個(gè)面的面積和各個(gè)面的面積和棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖和底面都是平面圖形，它們的側(cè)面展開圖和底面都是平面圖形，它們的它們的表面積就是它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積

2、之和表面積就是它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和hn棱柱的展開圖棱柱的展開圖是由是由n個(gè)平行四邊形和個(gè)平行四邊形和兩個(gè)全等的兩個(gè)全等的n多邊形組成的平面圖形多邊形組成的平面圖形n棱錐的展開圖棱錐的展開圖是由是由n個(gè)三角形個(gè)三角形和一個(gè)和一個(gè)n多邊形組成的平面圖形多邊形組成的平面圖形n棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由是由n個(gè)梯形和個(gè)梯形和兩個(gè)相似的兩個(gè)相似的n多邊形組成的平面圖形多邊形組成的平面圖形求棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積問題就分別轉(zhuǎn)化為求棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積問題就分別轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形和底邊多邊形的面積問題求平行四邊形、三角形、梯形和底邊多邊形的面積問題例例1.已知棱長(zhǎng)為已知棱

3、長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC 求它的表面積求它的表面積 DBCAS分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sinSDBCSSBC21因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積是的表面積是 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作 SBCBCSD 23a2432321aaaOOr)(2222lrrrlrS圓柱lr2圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形rlS2側(cè)22 rS底圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形)(2lrrrl

4、rS圓錐r2lOrrllrS221側(cè)2rS底)(22rllrrrS圓臺(tái)r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán))(22rrS底lrrS)22(21側(cè)lrr)( lOrOO rlOrlOOrrlS錐側(cè)lrrS)(臺(tái)側(cè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系？rr上底縮小上底縮小r0上底縮小上底縮小rlS2柱側(cè)lrr)( 例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長(zhǎng)

5、，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215S)(10002cm答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是1000 1000 2cm1.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6和和4的矩形的矩形,求圓柱的全面積求圓柱的全面積.2:6424.S圓柱側(cè)解2226,4,24 ,2.22422248 .rrSSS 側(cè)全底以邊長(zhǎng)為的邊為軸

6、時(shí)為圓柱的底面周長(zhǎng)2224,6,26 ,3.224232418 .rrSSS 側(cè)全底以邊長(zhǎng)為的邊為軸時(shí)為圓柱的底面周長(zhǎng)222482418 .S全或OBSADCE2.已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4,高與斜高與斜高的夾角為高的夾角為300,求正四棱錐的側(cè)面積和表面求正四棱錐的側(cè)面積和表面積積.32;S棱錐側(cè)48.S表面積3.已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為6,高和下底面邊高和下底面邊長(zhǎng)都是長(zhǎng)都是12,求它的側(cè)面積求它的側(cè)面積.AB/A/DCBD/C/O/OEE/H3 17108 17S棱臺(tái)側(cè)33312 4 4、已知圓錐的表面積為、已知圓錐的表面積為

7、a a ，且它的側(cè)，且它的側(cè)面面 展開圖是一個(gè)半圓，則這圓錐的底面直徑展開圖是一個(gè)半圓，則這圓錐的底面直徑 為為 。lOr2 r2lr2lr 2()3ar rlr3arl23a 5 . 已知圓錐的全面積是底面積的已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么倍，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為_度度.r2rl1806、圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是_。2 rOOl2224Srlr側(cè)2Srrl2S4 S4r7、若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和3，它的側(cè)面積是兩底面積和的2倍，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_.54Srlrll側(cè)420l2210

8、Srr底5l OrO rl1.3.2 柱柱體體、錐體、臺(tái)體、錐體、臺(tái)體的的體積體積正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為：正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為：ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱體積也是：一般棱柱體積也是：ShV 其中其中S為底面面積，為底面面積，h為棱柱的高為棱柱的高高高h(yuǎn) h底面積底面積S S ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理： ( (1 1) )相同的幾何體的體積相等相同的幾何體的體積相等, ,與放置位置無關(guān)；與放置位置無關(guān)； ( (2 2) )一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分

9、體積之和；一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和； ( (3 3) )等底面積等高的兩個(gè)等底面積等高的兩個(gè)同類同類幾何體的體積相等；幾何體的體積相等； (4)(4)體積相等的兩個(gè)幾何體叫做體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體等積體. .VS h=柱底hS底S底S底h圓錐的體積公式：圓錐的體積公式：ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的 31ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）棱錐的體積是否也是棱錐的體積是否也是將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三

10、棱錐，那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？ 1 12 23 31 12 23 3ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）由于圓臺(tái)由于圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )是由圓錐是由圓錐( (棱錐棱錐) )截成的，截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差得到圓臺(tái)因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差得到圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )的體積公式的體積公式( (過程略過程略) )根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱臺(tái)（

11、圓臺(tái)）的體積公式棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高（棱臺(tái)）的高SS柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31ShV 0SShV31SS 上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小S S、SS分別為上下底分別為上下底面面積，面面積，h h為臺(tái)體高為臺(tái)體高例例1.圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為12cm,寬為寬為4cm的矩形的矩形,求這個(gè)圓柱的體積求這個(gè)圓柱的體積.33288192cmcm或柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

12、hSSSSV)(31ShV ShV31S S 、S S分別為上下底分別為上下底面面積，面面積，h h為臺(tái)體高為臺(tái)體高例例2 . 已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為10cm，它的側(cè)面，它的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是展開圖扇形的圓心角是1200,求圓錐的體積求圓錐的體積l233020 2h 32000 23cm1020111111.ABCD-A B C D,AB=4,BC=3,AA =2, EFABBCD-A EF.例3在長(zhǎng)方體中、 分別為棱、的中點(diǎn),求三棱錐的體積AA1DCBD1C1B1FE4321114 32 32 1.54 1.52224.5.DEFADEBEFCDFABCDSSSSS

13、矩形1111314.5 23.3D A EFADEFDEFVVSAA111111212.ABC-A B C,EFAB,VVV:V .ACEBC F例4 三棱柱中若 、 分別為、的中點(diǎn) 平面將三棱柱分成體積為、兩部分,求7:5AA1CBC1B1EF1 1 1:,4 .4.AEFA B CABCh SSSSSVSh三棱柱解 設(shè)棱臺(tái)的高為則1 1 1121127(42 ),33754.33:7:5.AEFA B ChVVSSSShVVVShShShV V三棱臺(tái)三棱柱又11111111111.ABC-A B C,AB:A B =1:2,A -ABC, B-A B C, C-A B C.例5在三棱臺(tái)中則

14、三棱錐三者的體積之比為_1 1 111 1 11 1 1:,4 .11;3314.33ABCA B CAABCABCCA B CA B Ch SSSSVShShVShSh解 設(shè)棱臺(tái)的高為則1 111 1 17(42 ),337142.33331:2:4.B A B CAABCC A B ChVSSSShVVVVShShShSh三棱臺(tái)三棱臺(tái)又所求體積之比為AA1CBC1B11:2:4 1.3.2 球的表面積和體積球的表面積和體積1.3.2 球的體積和表面積球的體積和表面積1. 球的體積球的體積.343RV 2.球的表面積球的表面積半徑是半徑是R的球的表面積是的球的表面積是24.SR半徑是半徑是R

15、的球的體積是的球的體積是OR例例1.1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑徑. .求證求證: (1): (1)球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的2/3; 2/3; (2)(2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.例例2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來的把球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則表倍，則表面積擴(kuò)大到原來的面積擴(kuò)大到原來的_倍倍,體積擴(kuò)大為原體積擴(kuò)大為原來的來的_倍倍.(2)把球把球的的表面積擴(kuò)大到原來的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體倍，那么體積擴(kuò)大為原來的積擴(kuò)大為原來的_倍倍.(3)三個(gè)球的表面積之比為三個(gè)球的表面積之比為1:

16、2:3，則它們的，則它們的體積之比為體積之比為_.(4)三個(gè)球的體積之比為三個(gè)球的體積之比為1:8:27，則它們的表，則它們的表面積之比為面積之比為_.9272233:22:19:4:1球的截面性質(zhì)問題球的截面性質(zhì)問題用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.O球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓大圓;球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓小圓.截面性質(zhì)：1、球心和截面圓心的連線垂直于截面2、球心到截面的距離為d，球的半徑為R，截面圓半徑為

17、r,則OO/PdRr222drRO球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度,把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離.PQ飛機(jī)飛機(jī),輪船都是盡可輪船都是盡可能能以大圓弧為航線航行以大圓弧為航線航行.就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度一段劣弧的長(zhǎng)度.例例1.在球心同側(cè)有相距在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面的兩個(gè)平行截面,它們的面積分別是它們的面積分別是49cm2和和400cm2,求球的求球的表面積表面積.OABO1O22500cm2例例2.已知球面上的三點(diǎn)已知球面上的三點(diǎn)A、B、C,且且AB=6cm, BC=8c

18、m,AC=10cm,球的半徑為球的半徑為13cm.求球心求球心到平面到平面ABC的距離的距離.OABCM12cm3.(2006)例年全國(guó)1已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是( )A.16B.20C.24D.32C6R 1115.(2006),2,_.9OROOOOOR例年全國(guó)2已知圓是半徑為 的球的一個(gè)小圓 且圓的面積與球 的表面積比值為則線段與 的比值為1:3OO1Rr把直徑是把直徑是5cm5cm鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中紙盒中, ,至少要用多大的紙至少要用多大的紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為5cm“接”與“切”： 兩個(gè)幾何體:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切 兩個(gè)幾何體:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上