受限約束回歸的檢驗

1、 補充內(nèi)容補充內(nèi)容受限約束回歸的檢驗受限約束回歸的檢驗在經(jīng)典計量經(jīng)濟學中對模型的統(tǒng)計檢驗常用的是：在經(jīng)典計量經(jīng)濟學中對模型的統(tǒng)計檢驗常用的是：對單個系數(shù)顯著性的對單個系數(shù)顯著性的 t t 檢驗；對整個模型聯(lián)合顯著性的檢驗；對整個模型聯(lián)合顯著性的 F F 檢驗檢驗模型應該包括哪些變量模型應該包括哪些變量? ?不應該包括哪些變量呢不應該包括哪些變量呢? ?模型結構是模型結構是否有變化呢否有變化呢? ? 能否有更一般的檢驗呢？能否有更一般的檢驗呢？最一般的模型為最一般的模型為(為表達簡化，這里省略了下標為表達簡化，這里省略了下標i或或t)可稱無約束回歸模型（可稱無約束回歸模型（unrestricte

2、d regression） ，用用“U”表示表示如果對模型施加某種約束，把施加了某種約束的模型稱為如果對模型施加某種約束，把施加了某種約束的模型稱為受約束回歸模型（受約束回歸模型（ restricted regression ）用）用“R”表示。所施加的約束可能有各種情況。表示。所施加的約束可能有各種情況。121111233mmkkkmmkXXYXXuXX2一、問題的提出（對模型的約束一、問題的提出（對模型的約束) )相對于無約束模型（相對于無約束模型（U）：）：例如受約束模型（例如受約束模型（R）:與無約束模型比較，（與無約束模型比較，（R）施加了）施加了 的約束。的約束。注意：注意：樣本容

3、量為樣本容量為n；無約束模型（；無約束模型（U）中包含）中包含 個未知參數(shù)；受約束模型（個未知參數(shù)；受約束模型（R）中包含）中包含 個未知參個未知參數(shù)，未包含的參數(shù)個數(shù)（通過約束去除的變量個數(shù)）數(shù)，未包含的參數(shù)個數(shù)（通過約束去除的變量個數(shù)）為為 個個。122mmYXXv120mmk3UkkRkmURkkkm1. 增加或減少解釋變量的約束增加或減少解釋變量的約束121111233mmkkkmmkXXYXXuXX 2. 對模型參數(shù)的線性約束對模型參數(shù)的線性約束相對于無約束模型（相對于無約束模型（U）：）：若施加例如若施加例如 或或 等約束，則有（等約束，則有（R）為）為 或或其中其中 ， ， 與無

4、約束模型（與無約束模型（U）相比，這是受約束模型（）相比，這是受約束模型（R）2311kk21*12231111(1)kmmmmkkkYXXXXXXu*12111*21mmmmkkYXXXuX *3YYX*223XXX*11kkkXXX122331111mmmmkkkkYXXXXXXu43. 對模型參數(shù)的非線性約束對模型參數(shù)的非線性約束相對于無約束模型（相對于無約束模型（U）：）：231 321例如施加例如施加受約束模型為受約束模型為: 的約束，則的約束，則*1223111121mmmmkkkkYXXXXXXu5 非線性約束檢驗非線性約束檢驗是建立在是建立在極極大似然原理大似然原理基礎上的基礎

5、上的, ,有有最大似然比檢驗最大似然比檢驗、沃爾德檢驗沃爾德檢驗與與拉格朗日乘數(shù)檢驗等拉格朗日乘數(shù)檢驗等. .（非線性約束的情況在高級計量經(jīng)濟學（非線性約束的情況在高級計量經(jīng)濟學( (二二) )中再討論中再討論) )122331111mmmmkkkkYXXXXXXu二、受線性約束模型的檢驗思想二、受線性約束模型的檢驗思想對于對于無約束模型無約束模型U:120mmk6121111233mmkkkmmkXXYXXuXX122mmYXXv無約束無約束樣本回歸函數(shù)為樣本回歸函數(shù)為eXY*eXY殘差殘差)X(eXeXXYe* 受約束受約束樣本回歸的樣本回歸的殘差平方和殘差平方和 為為： 于是有于是有 無

6、約束無約束樣本回歸的樣本回歸的殘差平方殘差平方和和：RRSSRRSS *+(e-) X X(ee-e)2UiRSSe e eURR SRSSS *e ee e 利用最小二乘原則利用最小二乘原則有有X e = 0受約束受約束樣本回歸函數(shù)為樣本回歸函數(shù)為則則受約束模型受約束模型R為為例如施加約束例如施加約束同一樣本下受約束與無約束模型的總變差同一樣本下受約束與無約束模型的總變差TSS都都相同相同 TSSR = TSSU但但 RSSR RSSU從而從而 ESSR ESSU說明說明:如果約束是不合理的，對模型施加約束條件可能如果約束是不合理的，對模型施加約束條件可能會降低模型的解釋能力會降低模型的解釋

7、能力。7 如果約束條件為合理的，則受約束回歸模型與無約如果約束條件為合理的，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，束回歸模型具有相同的解釋能力， 與 的差的差異應當充分小。異應當充分小。RRSSURSS結論：結論： 可用可用( )的的大小來檢驗約束的真實性大小來檢驗約束的真實性RRSSURSS2()iYY都是檢驗的思想檢驗的思想8怎樣比較怎樣比較（RSSRRSSU）的大小的大小?RSS的值與變量的度量單位有關，度量單位不同的值與變量的度量單位有關，度量單位不同RSS的取的取值也不同，不能只看（值也不同，不能只看（RSSRRSSU）絕對量的大小。）絕對量的大小。如果（如果（RSSR

8、RSSU）相對于）相對于RSSU充分小，才能說明模充分小，才能說明模型（型（U）與模型（）與模型（R）差異不大，施加的約束是合理的。）差異不大，施加的約束是合理的。反之，如果（反之，如果（RSSRRSSU）比）比RSSU并不充分地小，說并不充分地小，說明模型（明模型（U）與模型（）與模型（R）差異較大，施加的約束就是不合）差異較大，施加的約束就是不合理的。理的。怎樣檢驗（怎樣檢驗（RSSRRSSU）是否比）是否比RSSU充分地小呢？充分地小呢？8三、受線性約束模型的檢驗方法三、受線性約束模型的檢驗方法無約束模型中包含無約束模型中包含 個未知參數(shù)；受約束模型中包含個未知參數(shù)；受約束模型中包含 個

9、未知個未知參數(shù)，未包含的參數(shù)個數(shù)（約束去除的變量個數(shù)）為參數(shù)，未包含的參數(shù)個數(shù)（約束去除的變量個數(shù)）為可以證明可以證明: 服從服從 分布，自由度為分布，自由度為 (樣本容量為樣本容量為n；無約束模型中包含；無約束模型中包含 個未知參數(shù)個未知參數(shù)) 服從服從 分布，自由度為分布，自由度為 (樣本容量為樣本容量為n；受約束模型中包含；受約束模型中包含 個未知參數(shù)個未知參數(shù)) 服從服從 分布，自由度為分布，自由度為 兩個獨立兩個獨立 變量的比值服從變量的比值服從F分布，則分布，則 2URSS22RRSS2()RURSSESS(),)(RUURUUUURRSSFF kknkRSSRSSkknk9()U

10、nkUkRk()URkkUkRkURkk222()Rnk10討論：討論：如果約束條件不合理，如果約束條件不合理， 與與 的差異相對于的差異相對于 較大，計算的較大，計算的F值也應較大。值也應較大。 反之反之, 如果約束條件合理，如果約束條件合理， 與與 的差異相對于的差異相對于 較小，計算的較小，計算的F值也應較小。值也應較小。 可用計算的可用計算的F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的合理性進行檢驗。界值作比較，對約束條件的合理性進行檢驗。RRSSURSS注意注意: 恰為約束條件的個數(shù)。恰為約束條件的個數(shù)。URkk222() ()(

11、) ()(,)()(1) ()RRRUUUURUUUURUUFF kknknRSSkRkRRSSkRSSkRnkk其中其中 分別為無約束和受約束模型的可決系數(shù)。分別為無約束和受約束模型的可決系數(shù)。22,RURR還可證明還可證明:URSS(),)(RUURUUUURRSSFF kknkRSSRSSkknkRRSSURSSURSS11檢驗方法檢驗方法1）原假設為：）原假設為： （有（有K-M個約束）個約束）被擇假設：被擇假設： 中至少有一個不為中至少有一個不為02）作模型（）作模型（U）的回歸）的回歸作模型（作模型（R）的回歸）的回歸分別計算分別計算RSSU、RSSR或者計算或者計算 ，并計算，并

12、計算F統(tǒng)計量統(tǒng)計量3）給定顯著性水平）給定顯著性水平 ，查，查F分布表得臨界值分布表得臨界值 4）如果）如果F 則拒絕則拒絕 ；否則不拒絕原假設否則不拒絕原假設以上檢驗稱為受約束回歸的檢驗。以上檢驗稱為受約束回歸的檢驗。012:0mmkH12,mmk12211mmmmkkYXXXXu122mmYXXv22,URRR*,( )k m n kF*,( )k m n kF012:0mmkH12 例如例如對回歸模型增加或減少解釋變量的檢驗對回歸模型增加或減少解釋變量的檢驗考慮如下兩個回歸模型考慮如下兩個回歸模型kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(1)式可看成是式可看成是無約束的（無約

13、束的（2）式）式的的受約束回歸受約束回歸.相應的統(tǒng)計量為：相應的統(tǒng)計量為：(1)(2)0:0+1+2k+qH= = ()/ ,()/()RUURSSRSSqFF q nkqRSSnkq(1)式是（式是（2）式減少了）式減少了q個變量個變量, 或或(2)式是式是(1)式增加了式增加了q個變量個變量.Ukkq13 如果約束條件為真，即額外的變量如果約束條件為真，即額外的變量對沒有解釋能力，則統(tǒng)計量應較??；對沒有解釋能力，則統(tǒng)計量應較??； 否則，約束條件不合理，意味著額外的變量對有否則，約束條件不合理，意味著額外的變量對有較強的解釋能力，則統(tǒng)計量較大。較強的解釋能力，則統(tǒng)計量較大。 因此，可通過因此

14、，可通過F的的計算值計算值與與臨界值臨界值的比較，來判斷的比較，來判斷額外變量是否應包括在模型中。額外變量是否應包括在模型中。討論：討論： 統(tǒng)計量的另一個等價式統(tǒng)計量的另一個等價式222()/(1)/()URURRqFRnkq12,kkk qXXX(可通過兩個模型的可決系數(shù)計算統(tǒng)計量可通過兩個模型的可決系數(shù)計算統(tǒng)計量)四、受約束回歸檢驗的一般性四、受約束回歸檢驗的一般性1. 當有約束模型與無約束模型只相差一個解釋變量時有約束模型與無約束模型只相差一個解釋變量時如如(U) (R) 這時施加的約束只是這時施加的約束只是 作檢驗作檢驗 這種情況下計算的這種情況下計算的F統(tǒng)計量其數(shù)值的平方根與對統(tǒng)計量

15、其數(shù)值的平方根與對 作作t 檢驗的統(tǒng)計量相同，作受約束回歸檢驗與作檢驗的統(tǒng)計量相同，作受約束回歸檢驗與作t檢驗等價檢驗等價12211kkkkYXXXu12211kkYXXv0:0kH() ()() (1)() 1()()()RURURUUUURSSRSSkmRSSRSSkkRSSRSSFRSSnkRSSnkRSSnkk14(1)mk2. 解釋變量的聯(lián)合顯著性檢驗解釋變量的聯(lián)合顯著性檢驗（U） （R） 這里的（這里的（R）模型施加了除截距項外的所有解釋變量的參）模型施加了除截距項外的所有解釋變量的參數(shù)均為數(shù)均為0的約束，即的約束，即（R）模型中只有截距項而沒有解釋變量，所以模型中只有截距項而沒有

16、解釋變量，所以即即 ，這時受約束回歸檢驗統(tǒng)計量為，這時受約束回歸檢驗統(tǒng)計量為 可以看出，這時與對聯(lián)合顯著性可以看出，這時與對聯(lián)合顯著性 F 檢驗的結果完全相同檢驗的結果完全相同結論：結論：對參數(shù)的對參數(shù)的t檢驗和檢驗和F檢驗只是受約束回歸檢驗的特例檢驗只是受約束回歸檢驗的特例12211mmmmkkYXXXXu1Yv023:0kH220RRRR22222() ()() (1)(1)(1,)()(1) ()(1) ()RUUUUURURSSRSSkmRkRkFF knkRSSnkRnkRRnk150RESS 3. 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗 （Chow test for paramete

17、r stability）經(jīng)濟結構的變化常導致計量經(jīng)濟模型結構的變化，需要檢經(jīng)濟結構的變化常導致計量經(jīng)濟模型結構的變化，需要檢驗模型結構是否發(fā)生了變化。驗模型結構是否發(fā)生了變化。實例：實例：例如以例如以1990年價計算的中國城鎮(zhèn)居民人均食品消年價計算的中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費支出的變化如圖所示費支出的變化如圖所示:可看出可看出1981-1995的變的變動趨勢有較強一致性，動趨勢有較強一致性，1995年后呈另一種變動年后呈另一種變動特征。特征。1995年前后模型年前后模型的結構的結構(體現(xiàn)在截距和斜體現(xiàn)在截距和斜率系數(shù)）是否有顯著變化呢率系數(shù)）是否有顯著變化呢?16對于模型對于模型如果有兩個連續(xù)的

18、時間序列樣本：如果有兩個連續(xù)的時間序列樣本： 如如1981-1994以及以及 如如1995-2001 。相應的模型分別為相應的模型分別為:若若 則可寫為則可寫為: 其中其中: 為參數(shù)列向量，為參數(shù)列向量， 為列向量，為列向量， 為矩陣為矩陣這是這是 情況下的情況下的無約束模型無約束模型。17參數(shù)穩(wěn)定性檢驗的方法參數(shù)穩(wěn)定性檢驗的方法122ttkkttYXXu1(1,2,)n1112(1,2,)nnnn1221ttkkttYXXu1(1,2,)tn1222ttkkttYXXu1112(1,2,)tnnnn 111222YX0u=+Y0Xu,12Y ,Y12X ,Xjj(結構有變化結構有變化)(實際

19、做的是兩段回歸實際做的是兩段回歸)18如果在時間如果在時間 前后模型沒有顯著的結構變化，參數(shù)具穩(wěn)前后模型沒有顯著的結構變化，參數(shù)具穩(wěn)定性，應當有定性，應當有 ，即，即 ，這時可作整個期，這時可作整個期間間 的回歸的回歸:這是這是受約束受約束（ ）的回歸。）的回歸。鄒至莊提出了通過檢驗鄒至莊提出了通過檢驗 去檢驗參數(shù)穩(wěn)定性或去檢驗參數(shù)穩(wěn)定性或模型結構變動的方法。模型結構變動的方法。1njj0:H = = 11112(1,2,1,2,)n nnnn = Y = X + u鄒至莊檢驗的假定和方法鄒至莊檢驗的假定和方法檢驗的假定：檢驗的假定：1）兩個子期間隨機誤差項為正態(tài)變量且同方差，即）兩個子期間隨

20、機誤差項為正態(tài)變量且同方差，即2）兩誤差項是獨立的）兩誤差項是獨立的檢驗的做法：檢驗的做法：1）如果參數(shù)具穩(wěn)定性，）如果參數(shù)具穩(wěn)定性， ，可作整個期間，可作整個期間的回歸，得殘差平方和的回歸，得殘差平方和 ，這作為，這作為受約束受約束殘差平方和。殘差平方和。2）如果模型有顯著的結構變化，）如果模型有顯著的結構變化， ，分別作兩個期，分別作兩個期間的回歸，分別得殘差平方和間的回歸，分別得殘差平方和 與與 。由于兩樣本是獨立的，將兩殘差平方和相加得無約束殘差由于兩樣本是獨立的，將兩殘差平方和相加得無約束殘差平方和平方和 : 1912(0,)tuNjj12(1,2,)nnRRSSjj1RSS2RSS

21、URSS12URSSRSSRSS22(0,)tuN3）作受約束模型的檢驗）作受約束模型的檢驗:鄒至莊證明了在鄒至莊證明了在 下，下，有有在顯著性水平在顯著性水平 下，若下，若 F 值小于值小于F 的臨界值，則不能拒的臨界值，則不能拒絕沒有結構變動的絕沒有結構變動的 ，即認為模型確實沒有顯著，即認為模型確實沒有顯著的結構變動。反之，則有顯著的結構變動。的結構變動。反之，則有顯著的結構變動。例如，例如，中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費支出對居民實際消費總中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費支出對居民實際消費總支出支出 、食品價格指數(shù)、食品價格指數(shù) 及居民消費價格總指數(shù)及居民消費價格總指數(shù) 的的回歸：回歸：得到得到 及及201212() ,(2 )(2 )UURkFF k nnknnRSSRRSSSkS0:H0:H2X3X0.013789RRSS 4X12