灰色預(yù)測(cè)模型理論及其應(yīng)用

1、 灰色預(yù)測(cè)模型理論及其應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為對(duì)既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，就是對(duì)在一定方位內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程的預(yù)測(cè). 盡管過(guò)程中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無(wú)章的，但畢竟是有序的、有界的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測(cè)就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè). 灰色預(yù)測(cè)模型只需要較少的觀測(cè)數(shù)據(jù)即可，這和時(shí)間序列分析，多元回歸分析等需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模型不一樣. 因此，對(duì)于只有少量觀測(cè)數(shù)據(jù)的項(xiàng)目來(lái)說(shuō)，灰色預(yù)測(cè)是一種有用的工具.本文主要圍繞灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型及其應(yīng)用進(jìn)行展開(kāi)。一、灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測(cè)的概念1.1灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研

2、究中。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱(chēng)之為白色系統(tǒng)。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無(wú)所知，一團(tuán)漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來(lái)觀測(cè)研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)介于二者之間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。特點(diǎn)：灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對(duì)象。1.2灰色預(yù)測(cè)灰色系統(tǒng)分析方法是通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相似或相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析，并通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成處理來(lái)尋求系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性，可以用它來(lái)建立相應(yīng)

3、的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和未來(lái)狀態(tài)?；疑A(yù)測(cè)是用灰色模型GM(1,1)來(lái)進(jìn)行定量分析的，通常分為以下幾類(lèi)：(1) 灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè)。用等時(shí)距觀測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的一系列數(shù)量（如產(chǎn)量、銷(xiāo)量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等）構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或者達(dá)到某特征量的時(shí)間。(2) 畸變預(yù)測(cè)（災(zāi)變預(yù)測(cè)）。通過(guò)模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。 (3) 波形預(yù)測(cè)，或稱(chēng)為拓?fù)漕A(yù)測(cè)，它是通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)事物未來(lái)變動(dòng)的軌跡。 (4) 系統(tǒng)預(yù)測(cè)，是對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)理論模型，在預(yù)測(cè)系統(tǒng)整體變化的同時(shí)，預(yù)測(cè)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的變

4、化。上述灰預(yù)測(cè)方法的共同特點(diǎn)是：（1）允許少數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)；（2）允許對(duì)灰因果律事件進(jìn)行預(yù)測(cè)，比如灰因白果律事件：在糧食生產(chǎn)預(yù)測(cè)中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無(wú)法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。白因灰果律事件 ：在開(kāi)發(fā)項(xiàng)目前景預(yù)測(cè)時(shí)，開(kāi)發(fā)項(xiàng)目的投入是具體的，為白因，而項(xiàng)目的效益暫時(shí)不很清楚，為灰果。項(xiàng)目前景預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。（3）具有可檢驗(yàn)性，包括：建?？尚行缘募?jí)比檢驗(yàn)（事前檢驗(yàn)），建模精度檢驗(yàn)（模型檢驗(yàn)），預(yù)測(cè)的滾動(dòng)檢驗(yàn)（預(yù)測(cè)檢驗(yàn)）。二、GM（1,1）模型2.1GM(1,1)模型GM(1,1)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)

5、化，用微分方程代替差分方程，按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線(xiàn)性微分方程的解來(lái)逼近，用生成數(shù)序列代替原始時(shí)間序列，弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，這樣可以對(duì)變化過(guò)程作較長(zhǎng)時(shí)間的描述，進(jìn)而建立微分方程形式的模型. 其建模的實(shí)質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)，將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，通過(guò)灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型. 經(jīng)證明，經(jīng)一階線(xiàn)性微分方程的解逼近所揭示的原始時(shí)間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時(shí)，灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)將是非常成功的. 2.2GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一階，一個(gè)變量的微分方案預(yù)測(cè)模型，是一階單序列的線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型，用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)的離散形式的微分方

6、程模型.模型符號(hào)含義為 G M （1， 1） Grey Model 1階方程 1個(gè)變量設(shè)時(shí)間序列有個(gè)觀察值，為了使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，對(duì)其作一次累加生成運(yùn)算，即令從而得到新的生成數(shù)列，,稱(chēng)為GM(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列一般近似地服從指數(shù)規(guī)律. 則生成的離散形式的微分方程具體的形式為即表示變量對(duì)于時(shí)間的一階微分方程是連續(xù)的. 求解上述微分方程，解為當(dāng)=1時(shí)，即，則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體形式為其中，項(xiàng)中的為的背景值，也稱(chēng)初始值；，是待識(shí)別的灰色參數(shù)，為發(fā)展系數(shù)，反映的發(fā)展趨勢(shì)；為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系. 按白化導(dǎo)數(shù)定義有顯然，當(dāng)時(shí)間密化值定義為1時(shí)

7、，當(dāng)時(shí)，則上式可記為這表明是一次累減生成的，因此該式可以改寫(xiě)為當(dāng)足夠小時(shí)，變量從到是不會(huì)出現(xiàn)突變的，所以取與的平均值作為當(dāng)足夠小時(shí)的背景值，即（緊鄰均值（MEAN）生成序列）將其值帶入式子，整理得（GM(1,1)模型的均值形式）由其離散形式可得到如下矩陣：令 稱(chēng)為數(shù)據(jù)向量，為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量. 則上式可簡(jiǎn)化為線(xiàn)性模型：由最小二乘估計(jì)方法得上式即為GM(1,1)參數(shù)的矩陣辨識(shí)算式，式中事實(shí)上是數(shù)據(jù)矩陣的廣義逆矩陣. 將求得的，值代入微分方程的解式，則其中，上式是GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)形式，將它離散化得對(duì)序列再作累減生成可進(jìn)行預(yù)測(cè). 即上式便是GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)的具體計(jì)算式.

8、2.3 GM(1,1)模型的檢驗(yàn)GM(1,1)模型的檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)三種形式. 每種檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)不同功能：殘差檢驗(yàn)屬于算術(shù)檢驗(yàn)，對(duì)模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)屬于幾何檢驗(yàn)范圍，通過(guò)考察模型曲線(xiàn)與建模序列曲線(xiàn)的幾何相似程度進(jìn)行檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度越大模型越好；后驗(yàn)差檢驗(yàn)屬于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，衡量灰色模型的精度. Ø 殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn)，即對(duì)模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn). 設(shè)模擬值的殘差序列為，則令為殘差相對(duì)值，即殘差百分比為令為平均殘差，. 一般要求，最好是，符合要求.Ø 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度是用來(lái)定量描述各變化過(guò)程之間的差

9、別. 關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說(shuō)明預(yù)測(cè)值和實(shí)際值越接近. 設(shè) 序列關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為式中,為第個(gè)點(diǎn)和的絕對(duì)誤差，為第個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，稱(chēng)為分辨率，即取定的最大差百分比，,一般取. 和的關(guān)聯(lián)度為關(guān)聯(lián)度大于60%便滿(mǎn)意了，原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度越大，模型越好. Ø 后驗(yàn)差檢驗(yàn)后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn). 檢驗(yàn)步驟如下：1、計(jì)算原始時(shí)間數(shù)列的均值和方差2、計(jì)算殘差數(shù)列的均值和方差其中為殘差數(shù)列. 3、計(jì)算后驗(yàn)差比值4、計(jì)算小誤差頻率 令=0.6745，即. 若對(duì)給定的，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)模型為方差比合格模型；若對(duì)給定的，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)模型為小殘差概率合格模型. 模型精度>0.95<0.35

10、優(yōu)>0.80<0.5合格>0.70<0.65勉強(qiáng)合格<0.70>0.65不合格表 3 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表2.3 GM(1,1)模型修正（殘差GM(1,1)模型） 當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列建立的GM(1,1)模型檢驗(yàn)不合格時(shí)，可以用GM(1,1)殘差模型來(lái)修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確，也可以用GM(1,1)殘差模型來(lái)提高精度. 若用原始序列建立的GM(1,1)模型可獲得生成序列的預(yù)測(cè)值，定義殘差序列. 若取k=t, t+1, , n，則對(duì)應(yīng)的殘差序列為計(jì)算其生成序列，并據(jù)此建立相應(yīng)的GM(1,1)模型得修正模型其中為修正參數(shù). 三、GM（1,1

11、）模型的應(yīng)用表1 南昌市民用汽車(chē)保有量年份2004200520062007200820092010201120122013南昌市民用汽車(chē)保有量(萬(wàn)輛)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：構(gòu)造累加生成序列X(1)；第二步：計(jì)算系數(shù)值；對(duì)做緊鄰均值生成. 令，得則數(shù)據(jù)矩陣及數(shù)據(jù)向量為， 對(duì)參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得即 ，= -0.101624 ， =25.290111 ， 平均相對(duì)誤差為4.685749%第三步：得出時(shí)間響應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)模型為：第四步：進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。真實(shí)值：24.4109,26.7307,30.3878

12、,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000預(yù)測(cè)值：24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056計(jì)算得到關(guān)聯(lián)系數(shù)為：1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986 于是灰色關(guān)聯(lián)度：r=0.661163 關(guān)聯(lián)度r=0.661163滿(mǎn)足分辨率r=0.5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r>0.60，關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)通過(guò)。第五步

13、：后驗(yàn)差檢驗(yàn)。計(jì)算真實(shí)值的均值與標(biāo)準(zhǔn)差：計(jì)算殘差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：于是方差比 C=S2/S1=0.3289<0.35 S0=0.6745*S1=9.4601所有都小于S0，故小誤差概率，又C<0.35所以后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過(guò)。第六步：殘差檢驗(yàn)。（1）得到模擬值、殘差和相對(duì)誤差如下：序號(hào) 模擬值 殘差 相對(duì)誤差(%) 1 24.4109 0 02 29.230986 2.500286 9.3536123 32.357751 1.969951 6.4827044 35.818976 -.561724 -1.5440165 39.650442 -1.365658 -3.3295666 43.89

14、1749 .161749 .3698817 48.586737 .176737 .3650848 53.783938 -7.216062 -11.829619 59.537068 2.537068 4.45099610 65.905597 2.805597 4.446271 相對(duì)誤差序列中有的相對(duì)誤差很大，所以要對(duì)原模型進(jìn)行殘差修正，以提高精度。（2） 利用殘差對(duì)原模型進(jìn)行修正：我們?nèi)?2.500286，1.969951，0.561724，1.365658，0.161749 ,0.176737，7.216062，2.537068，2.805597同樣的可求得 = -0.183488 ， =0.

15、481549 則有對(duì)上述求導(dǎo)，得：這樣就得到經(jīng)過(guò)殘差修正后的灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型：其中： 為修正系數(shù)（k=0，1，2，）。修正后，精度有所提高。修正后的殘差計(jì)算見(jiàn)下表：序號(hào)k修正灰色預(yù)測(cè)年份相對(duì)誤差024.4109200424.41090153.64180846200551.14160.048887959287.35665908200681.52940.0714743283123.4488622007117.91011380.0469743264163.42755822008158.92620740.0283235275207.71367352009202.65620740.0249558916256.77420612010251.06620740