電路理論：第9章 非正弦周期電路

1、非正弦周期交流信號非正弦周期交流信號9.19.2非正弦周期量的有效值和平均功率非正弦周期量的有效值和平均功率9.3非正弦周期電路的計(jì)算非正弦周期電路的計(jì)算9.4本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)作業(yè)：p247 9-109.1 非正弦周期交流信號非正弦周期交流信號 生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計(jì)算機(jī)和無線電通路。在電子技術(shù)、自動控制、計(jì)算機(jī)和無線電通信等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦信等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。波形。 分析非正弦周期電流的電路，仍然要應(yīng)用電分析非正弦周期電流的電路，仍然要應(yīng)用電路的基本定律，但和正

2、弦交流電路的分析還是有路的基本定律，但和正弦交流電路的分析還是有不同之處。不同之處。(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化( )()f tf tnT2.1) 電路中有非線性元件；電路中有非線性元件；2) 電源本身是非正弦；電源本身是非正弦；3) 電路中有不同頻率的電源共同作用。電路中有不同頻率的電源共同作用。+-iu+-0uiut O0ut O示波器內(nèi)的水平掃描電壓示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波周期性鋸齒波計(jì)算機(jī)內(nèi)的脈沖信號計(jì)算機(jī)內(nèi)的脈沖信號OOT tO晶體管交流放大電路晶體管交流放大電路u0t+Ucc+-iu+-u0+-SetCRuuitutU0u10101m

3、UuUUsinut問題問題1iRuU0u1+-此時(shí)電路中的電流也是非正弦周期量。此時(shí)電路中的電流也是非正弦周期量。即：即：tREREReisin1m0問題問題2：既然不同頻率的正弦量和直流分量可以疊既然不同頻率的正弦量和直流分量可以疊加成一個(gè)周期性的非正弦量，加成一個(gè)周期性的非正弦量，那么反過來一個(gè)非那么反過來一個(gè)非正弦的周期量是否也可分解為正弦分量和直流分正弦的周期量是否也可分解為正弦分量和直流分量呢？量呢？數(shù)學(xué)上已有了肯定的答案，一切滿足狄里數(shù)學(xué)上已有了肯定的答案，一切滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級數(shù)。赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級數(shù)。這樣就可將非正弦周期量分解為若

4、干個(gè)正弦交流這樣就可將非正弦周期量分解為若干個(gè)正弦交流電路來求解。電路來求解。例例:電路如圖，電路如圖，u是一周期性的非正弦量，是一周期性的非正弦量， 求求 i 諧波分析法諧波分析法iRu+-9.2 非正弦周期量非正弦周期量的分解的分解基波（或基波（或一次諧波）一次諧波）二次諧波二次諧波（2 2倍頻）倍頻）直流分量直流分量高次諧波高次諧波) )( (s si in n1 1m m0 0k kk kk kt tk kA AA A.) )2 2( (s si in n) )( (s si in n) )( (2 22 2m m1 11 1m m0 0t tA At tA AA At tf f1.

5、周期函數(shù)周期函數(shù) 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) )( tf 條件：條件：在一周期內(nèi)有有限個(gè)極大、極小值，在一周期內(nèi)有有限個(gè)極大、極小值，有限個(gè)第一間斷點(diǎn)。有限個(gè)第一間斷點(diǎn)。11cossin)(kkkktkCtkBAtfmm0tkCtkB tkAtkA tkAkkkkkkkkkkkcossincossinsincoscossinmmmmm m) )( (t tk ks si in nc co os s) )( (s si in nt tk kA A)tk(AAfKk1km0sin )(t tkkttktfCttktfBttfA20m20m200)d()cos(1)d()sin(1)d()(21 1m

6、1m0cossin)(kkkktkCtkBAtf所以所以)(tf 求出求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函數(shù)便可得到原函數(shù) 的的展開式展開式。)sin551sin331(sin4m.tttUu)sin5251sin391(sin82m.tttUuut Out O)sin331sin221sin121(m.tttUu.)cos4152cos232(12Umttuut Ot uO直流分量直流分量基波基波)(sin1m0kkktkAUu )sin51t5tt UUsin331(sin22mm五次諧波五次諧波三波諧波三波諧波七次諧波七次諧波tutuOtuOtuOtuOutut211(sinsin 3s

7、in 5)235mmSIIittttT/2TSimIIS01si3si5siIs01si3si5si等效電源等效電源 從上例中可以看出，各次諧波的幅值是不等的，從上例中可以看出，各次諧波的幅值是不等的，頻率愈高，則幅值愈小。說明傅里葉級數(shù)具有收斂頻率愈高，則幅值愈小。說明傅里葉級數(shù)具有收斂性；其中性；其中恒定分量恒定分量（如果有的話）、（如果有的話）、基波及接近基基波及接近基波的高次諧波是非正弦周期量的主要組成部分波的高次諧波是非正弦周期量的主要組成部分。上。上圖中，我們圖中，我們只取到五次諧波，只取到五次諧波，若諧波的項(xiàng)數(shù)取得愈若諧波的項(xiàng)數(shù)取得愈多，則合成的曲線愈接近原來的波形。多，則合成的

8、曲線愈接近原來的波形。 用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低把它們依次排列起來。稱為按頻率的高低把它們依次排列起來。稱為頻譜圖。頻譜圖。設(shè)：設(shè)：Um=10V)sin551ttt(UUusin331sin22mm5 20 320 520 3 5 u(V)O2200sind()0 cosd()0kttktt9.3 非正弦周期量的有效值和平均功率非正弦周期量的有效值和平均功率1. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)正弦、余弦信號一個(gè)周期內(nèi)的積分為正弦、余弦信號一個(gè)周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)整數(shù) sin2、cos2 在一個(gè)周期內(nèi)的積分為在一個(gè)周期內(nèi)的積分為。

9、222200sind() cosd()k ttk tt202020cossind()0coscosd()0 sinsind()0 ktp ttktp ttktp ttkp三角函數(shù)的三角函數(shù)的正交性正交性2. 非正弦周期函數(shù)的有效值非正弦周期函數(shù)的有效值01( )sin()kmkki tIIk t若若則有效值則有效值: :2020011d( )1sind( )TTkmkkIittTIIk ttT20011sind( )TkmkkIIIk ttT2221011sin ()d 2TkmkkmIkttIT220001d TItIT0012sin()d0 TkIkttT012sin()sin()d0 T

10、kmkqmqIktIq ttTkq22220011 = 2kmkkkIIIII 非正弦周期函數(shù)的有效值為直流分量及非正弦周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的算數(shù)平方根。各次諧波分量有效值平方和的算數(shù)平方根。 222120 IIII結(jié)論222012VVVV例例1: 求圖示波形的有效值和平均值求圖示波形的有效值和平均值5A25100d10140402TTtTtTI2.5A4100TTI解：解：ti(A)104TTO例例2:求兩表讀數(shù)。)3cos(240)30cos(230)(111tttv)5cos(240)(12ttv)5cos(210)cos(235)(113tttv)3co

11、s(21510)(14ttv解：)5cos(240)3cos(240)30cos(23010)()(10)(11121ttttvtvtvA8 .64404030102222AVttttvtvtvtvB1114325cos2303cos215cos23510)()()()(49301535102222BV3. 非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率01dTPu i tT01( )sin()kmukku tUUkt01( )sin()kmikki tIIkt利用三角函數(shù)的正交性，得：利用三角函數(shù)的正交性，得：001012cos (). kkkkukikkPU IU IPPP平均功

12、率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 結(jié)論001 11222coscosPU IU IU I 9.4 非正弦周期電路非正弦周期電路的計(jì)算的計(jì)算諧波分析法諧波分析法2. 利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對各次諧波分利用正弦交流電路的計(jì)算方法，對各次諧波分量分別計(jì)算。（量分別計(jì)算。（注意注意:對交流各次諧波的對交流各次諧波的XL、XC不不同，對直流同，對直流C相當(dāng)于開路、相當(dāng)于開路、L相當(dāng)于短路。相當(dāng)于短路。）1. 利用傅里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)分解為恒利用傅里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)分解為恒定分量和各次正弦諧波分量相加的結(jié)果；定分量和各次正弦諧波分量相加的結(jié)果

13、；3. 將以上計(jì)算結(jié)果，用將以上計(jì)算結(jié)果，用瞬時(shí)值疊加瞬時(shí)值疊加。注意：不同。注意：不同頻率的頻率的正弦量相加，不能用相量計(jì)算，也不能將正弦量相加，不能用相量計(jì)算，也不能將各分量的有效值直接相加。各分量的有效值直接相加。0.02S80VF22.50.05H10m TUC L R、求電流求電流 。i+RCui-L解：解：2d1d)(1m0/20m0UtUTttuTUTT 直流分量：直流分量：T/2 TtumUO諧波分量：諧波分量：(k為偶數(shù)為偶數(shù)) 20m)d(sin1tt kuBk(k為奇數(shù)為奇數(shù)) kUt kkUm0m40)cos1(2 20m)d(cos1tt kuCk0)sin1(20m

14、t kkUkUBCBAkkkkmm2m2mm2（k為奇數(shù)）為奇數(shù)）0arctanmmkkkBC)sin(1m0kkkt kAUu 所所以以)sin551tttUUsin331(sin22mm等效電源等效電源1u0U3u5u+-+-+-+-T/2 TtumUO直流分量直流分量40V2082m0 UUV513.140822m1m UU基波最大值基波最大值S0.02V08m T,U 代入已知數(shù)據(jù)：代入已知數(shù)據(jù)：得得10.2V511m5mUU三次諧波最大值三次諧波最大值五次諧波最大值五次諧波最大值17V311m3m UUrad/s3140.023.1422T角頻率角頻率Vsin314511tu V31

15、4sin33513tu40V0UV314sin55515tu(1) 直流分量直流分量 U0 作用：作用：40V0U00I 對直流，電容相當(dāng)于斷路；對直流，電容相當(dāng)于斷路；電感相當(dāng)于短路。所以輸出的電感相當(dāng)于短路。所以輸出的直流分量為：直流分量為：U0I0+-(2) 基波作用基波作用15.70.05314141 1022.5314116LC)1-j(1CLRZfCL 22.5 0.05H s /314rad+RC1ui-L0.4A12651Z11m1mUIVsin314511tu 85.3-126141)j(15.710+RC3ui-L1.7A1017Z33m3mUIV314sin33513tu

16、001)314115.7j(310)31j(33 C-LRZ+RC5ui-L0.2A51.210.2Z55m5mUIV314sin55515tu78.851.2)514115.7j(510)51j(55 C-LRZA)78.80.2sin(51.7sin3)85.30.4sin(5310tttiiiIi 00IA01.73m IA78.82 .05m IA85.34 . 01m I :30 120cos100060cos(2000) V.4utt已已知知求電路中各表讀數(shù)求電路中各表讀數(shù)( (有效值有效值) ) 。V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A

17、1a解解(1)u0=30V作用于電路，作用于電路，L1、L2短路，短路，C1、C2開路。開路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaiC10iL20L1C1C2L2+_30bcdu0i0(2) u1=120cos1000t V作用作用33126121000 40 1040 1000 10 1010111401000 25 10LLCC1120 0 VU 121cb100LIIU1111120 0j3 90 Aj40CICU ad11120 0 V

18、UU1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30bcd并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用331261222000 40 1080 , 22000 10 102011120222000 25 10LLCC260 45 VU 122260 45345 Aj2j20LUIL 2120CIIad2cb22 0 60 45 VUUU2I12CI22LIj80j20j20j202Ua+_30bcd并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振i=i0+ i1 + i2 =1A 所求電壓、電流的瞬時(shí)值為：所求電壓、電流的瞬時(shí)值為：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(

19、1000t+90) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V1 AI 表表A1的讀數(shù)：的讀數(shù)：3/2 2.12A表表A2的讀數(shù)：的讀數(shù)：221(3/2)2.35A表表A3的讀數(shù)：的讀數(shù)：2230(120/2)90V表表V1的讀數(shù)：的讀數(shù)：2230(60/2)52.0V表表V2的讀數(shù)：的讀數(shù)：例例3已知已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2 mH，C=125/ F，求理想變壓器原邊電流求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸及輸出電壓出電壓u2的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解32 /2 10 rad/sT( )12 12cos( )u tt112/81.5Ai 當(dāng)當(dāng)u=12V作用時(shí)，電容作用時(shí)，電容開路、電感短路，有：開路、電感短路，有：20u o*C1i2i+2u+2 : 18Lu* 12cos( )ut當(dāng)時(shí)作作用用36