2020年河南省鄭州市高考數(shù)學一模試卷答案解析

1、2020年河南省鄭州市高考數(shù)學一模試卷答案解析（理科）一.選擇題（共12題，每題5分）1 .（ 2020?關(guān) B 州一模）設(shè)集合 A=xCN|x|w 2 ,B=y|y=1-x2,則 APB 的子集個數(shù)為（）A. 2B .4C. 8D. 16【解答】 解：. A=xCN| -2W xW2 = 0, 1, 2, B=y|y< 1,，AnB=0, 1,. A n B的子集個數(shù)為22=4個.故選：B.2. （2020?鄭州一模）若復數(shù) z滿足z=13 （其中i為虛數(shù)單位），則z在復平面的對應點 1在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解答】 解：z=4=（L",尸）,

2、 .z在復平面的對應點的坐標為（1, -1）,在第四象限.故選：D .3. （2017?新課標出）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了 2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.0 I 2 3 1 3 6 7 S 9 1011 12 1 1 3 4 5 5 7 3 9 1011 1Z 1 2 3 4 3 6 7 3 9 10 11 12264年現(xiàn)15年2016年根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對

3、于 7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)可得:月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤;年接待游客量逐年增加，故 B正確;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正確;各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故 D正確;4. （2020?關(guān)B州一模）定義在 R上的函數(shù)f（K）=（占JJ£-Jl-2為偶函數(shù)，&=儀1口g2），），c= f (m),則()B . a< c< bC. avbvcD. bvav c【解答】解：定義在R上的函數(shù)£

4、;（工）=則 f ( x) = f (x),即i IT合)-2;所以m= 0,所以f (x)=-2,且在0, +8）上是單調(diào)減函數(shù);又 lOg2-= -1,0Vm= 0;所以f （lvf (尸)Vf (0),即 av bv c.5. （2020?咸陽二模）“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣，為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點，已知恰有800個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積是（185C. 10D.325【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)陰影部分的面積為S,則正方形的面積為 9,向正方形內(nèi)隨機

5、投擲 2000個點，已知恰有800個點落在陰影部分內(nèi)，則向正方形內(nèi)隨機投擲一點，其落到陰影部分的概率P=型L=；2000 5而P=二，則=，99 5解可得，S=回； 舊故選：B.6. （2020?鄭州一模）已知向量，E的夾角為多，且而=1, |£-E|=右，則而=（）A. 1B. V2C. V3D. 2【解答】解：由|21-石=6,得摩4|2 =（2；4）2=鼐|2-委卻后產(chǎn)=&又向量我，b的夾角為60° ,且|a|= 1,4X12 4X IX |b|eos60Q H-lb |2，整理得：E | 2-2 |1|+1=0，解得 |b|= 1 故選：A.7. （2020

6、?鄭州一模）宋元時期數(shù)學名著算學啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問題，松長 三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程 序框圖，若輸入的a, b分別為3, 1,則輸出的n等于（）D. 2【解答】解：模擬程序的運行，可得a= 3, b= 1n= 1/b=2故選：B.2十18. （2020?關(guān)B州一模）函數(shù) 七口叁戈的圖象大致是（2X-1A .B.不滿足條件a<b,執(zhí)行循環(huán)體,此時，滿足條件a<b,退出循環(huán)，輸出n的值為4.A . 5B. 4C.3n= 2,27 .a=, b = 44不滿足條件a<b,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件a<b,執(zhí)行循環(huán)體,n

7、= 3,Q1 a=, b=8 8n= 4,b= 16a243a =a-a制="1b=2b結(jié)束y一工【解答】解：由題意，f ( - x) =Z_iL?cos ( - x) = -f (x),函數(shù)是奇函數(shù)，排除 A,r -IB；x-0+, f (x) 一+8,排除 d.9. (2020?關(guān)B州一模)第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會在河南鄭州舉行，某項目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項工作，每人至少完成一項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有多少種()A. 60B. 90C. 120D. 150【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析A2D.【解答】解:拋物線C: y2=2x的焦點為

8、F , 0),準線為 l: x=-,設(shè) M ( x1, y1 ),則將5項工作分成3組，有10+15 = 25種分組方法;、將分好的三組全排列，對應 3名志愿者，有 A33=6種情況;所以不同的安排方式則有 25X 6 = 150種,10. (2020?關(guān)B州一模)已知拋物線 y2=2x的焦點為F,準線為l, P是l上一點，直線 PF與拋物線交于M, N兩點，若FF=WMF,則|MN|=()C. 2N (x2, y2), M, N到準線的距離分別為 dM, dN,由拋物線的定義可知 |MF|=dM = xi+-L, |NF|= dN=X2+，于是 |MN|= |MF|+|NF|= X1+X2+

9、I .直線MN的斜率為土 V3,，0),，直線PF的方程為y=±(x-將y=士煦(x-),代入方程y2=2x,并化簡得12x2- 20x+3= 0, X1+ X2 =,于是 |MN|= |MF|+|NF|=xi+X2+1 =三+1 =故選：B.11. (2020?鄭州一模)已知三棱錐 P-ABC內(nèi)接于球 O, PAL平面ABC, ABC為等邊三角形，且邊長為右球O的表面積為16兀，則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為dH10【解答】解：設(shè)三棱錐外接球的球心為O,半徑為 R,則S球=4#2=16兀，故R=2,3, MC=1, 2設(shè)M為 ABC的中心，N為AB的中點，則 OM，平面

10、ABC,且OC = 2,由 ABC為等邊三角形，且邊長為 心，求得NC =. PA，平面 ABC,故 PA = 2OM = 273,且 PAXCN, PN = 等, 又 CNXAB, ABA PA = A,.CNL平面 PAB,則 PC = h/15,3_sin/ NPC =皿1=二PC 715 10故選：D.12. (2020?關(guān)B州一模)f (x)=J2x+l|, x<l1口g2(工-1),工1=f (g (x) - m有9個零點，則m的取值范圍是()A. (0, AB. (0, 3)C. (1, y)D,得，3)【解答解：令 t= g (x) ,g(x) =S+m+2,g '

11、;(x) =-=-4442415 ,、=式其-2)，當xC (- 8, 0) , ( 2, +8)時，函數(shù)g (x)遞增，當xC (0, 2)時，函數(shù)g (x)遞減,函數(shù)g (x)有極大值g (0) = m+2,極小值g (2) = m- 3,若y = f (g (x) - m有9個零點，畫出圖象如下：觀察函數(shù) y=f (t)與y=m的交點，3個交點，故不成立,當 m=。時，ti= -y, t2=2, g (0) = 2, g (2) = - 3, g (x) = ti,有三個解，g (x)=2有2個解，共5個解不成立;當m>3時，顯然不成立；故要使函數(shù)有9個零點，0V mv3,根據(jù)圖象

12、，每個 y = t最多與y=g (x)有三個交點, 要有9個交點，只能每個t都要有3個交點，當 0vmv3, y=f (t)與 y=m 的交點，一2<七,<2，<1, 2Vt3<9, 1222g (0) = m+2c (2, 5), g =m-3C(- 3, 0),當 2Vt3<m+2 時，由 1口呂2 (t 3Thm t 產(chǎn)即 2v2m+1 vm+2 時，得 0vmv1 時，2Vt3<3 時(x) = t3,有三個解，g (x) =t2,要有三個解 m3v一/，即 m<y,g (x) = ti 有三個解 m3v 2,即 mvl,綜上，m (0, 1)

13、,故選：A.二.填空題(共4題，每題5分)13. (2020?關(guān)B州一模)曲線 y=xex- 2x2+1在點(0, 1)處的切線方程為y=x+1 .【解答】解：求導函數(shù)可得，v' = ( 1+x) ex- 4x當 x=0 時，y' = 1，曲線y=xex- 2x2+1在點(0, 1)處的切線方程為 y- 1 = x,即y=x+1.故答案為：y=x+1.g14. （2019?新課標出）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若ai w 0, a2= 3ai,貝=【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則d= 2ai,故答案為：4.15. （2020?關(guān)B州一模）已知雙曲線C:=1 （a&g

14、t;0, b>0）的右頂點為 A,以A為圓心，b為半徑做圓，圓A與雙曲線C的一條漸近線相交于 M , N兩點，若而旦而（O為坐標原點）,則雙曲線C的離心率為叱型一 5 一【解答】解:22雙曲線c： £_匚2 ,2 a b=1 (a>0, b>0)的右頂點為 A (a, 0),以A為圓心,b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于 M、N兩點.則點A到漸近線bx - ay = 0的距離為|AB|= . |OB|=5|BN| =. r= b, . |BN|=5 b2c |OA|=a,a225 b 4c.,a2c2=25b4+a2b2,a2 (c2 - b2) = 2

15、5b4, .a2=5b2=5c2-5a2, 即 6a2 = 5c2,即,r,a= . 7c, d0一、屈故答案為：返L5、，一.，、一一、,* TZj、，、16. (2020?鄭州一模)已知數(shù)列an滿足：對任意nCN均有an+1 = pan+2P - 2 (p為常數(shù)，pW0 且 pwi),若 a2, 33, a4, a5C-18, -6, -2,6, 11, 30,則 ai 的所有可能取值 的集合是 - 2, 0, - 66.【解答】解：由題意，對任意 nCN*,均有an+1+2=p (an+2),當 an+2= 0,即 a1+2 = 0,即 a1 = 2 時，a2 = a3= a4= a5=

16、 2.當 an+2W0 時，構(gòu)造數(shù)列bn:令 bn=an+2,則 bn+1=pbn.故數(shù)列bn是一個以p為公比的等比數(shù)列. a2, a3, a4, a5C T8, - 6, -2, 6, 11, 30, .b2, b3, b4, b5CT6, -4, 0, 8, 13, 32.當 b2= 4, b3=8, b4= - 16, b5= 32 時，p = - 2.此時， b1 = 2, a1 = b1 2 = 2 2= 0;p -2當 b2 = 32, b3= - 16, b4 = 8, b5=-4 時，p=一卷.32_._此時，b1 = i =64, a1=b1 2= 642= - 66.P 2

17、a1的所有可能取值的集合是 - 2, 0, - 66.故答案為：-2, 0, - 66.三.解答題(17-21必考題，共計60分，22-23選考題，共計10分)17. (2020?關(guān)B州一模)已知 ABC外接圓半徑為 R,其內(nèi)角A, B, C的對邊長分別為a, b, c,設(shè) 2R (sin2A sin2B) = ( a-c) sinC.(I )求角B;(n )若 b= 12, c= 8,求 sinA 的值.【解答】 解：(I) .1 2R (sin2A sin2B) = ( a c) sinC, .2R?2R (sin2A-sin2B) = (a c) sinC?2R,即：a2+c2-b2=a

18、c,因為 0V B v Tt,所以&義,(II)若 b= 12, c= 8,由正弦定理,由b>c,故/ C為銳角，,web©如母6亭44有國產(chǎn)5&$ S O18. (2020?關(guān)B州一模)已知三棱錐 M ABC 中，MA=MB = MC = AC = 2V, AB=BC=2,。為AC的中點，點N在線BC上，且麗筋.(1)證明：BOL平面AMC;(2)求二面角 N - AM - C的正弦值.【解答】解：(1)如圖所示:連接OM, AC, OM相交于O,在 abc 中：AB=BC=2f 叱4叵 則/ABC=g（T ,obxac.在 amac 中：KA=HC=AC=2

19、V2,。為 AC 的中點，則 omac,且 OH*.在MOB 中：演二技 OH三在,MB=2加,滿足:BO2+OM2=MB2根據(jù)勾股定理逆定理得到 OB，OM ,故OBL平面AMC ;（2）因為OB, OC, OM兩兩垂直，建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示.因為 HA=HB=HC =AC=2/, ab=bc = 2則0），o,% c。瓜 ©J3 o,近），由瓦所以,nN*,o）設(shè) 平 面 MAN 的 法 向 量 為 三=（右V，z） ， 則阿二除孚0）3,2多率=0,am 片（Ch V2 »）（心 力令尸右，得靛（-5右，西，-1），因為BO,平面AMC,所以幣區(qū)。，Q

20、）為平面AMC的法向量,所以/（-5口如，T）與而，（五,。，。）所成角的余弦為已知橢圓E:"匕,且過點219. (2020?關(guān)B州一模)=1 （a>b>0）的離心率為C (1,（1）求橢圓E的方程;（2）若過點（-二，0）的任意直線與橢圓 E相交于A, B兩點，線段 AB的中點為M, 3求證，恒有|AB|=2|CM|.【解答】解：（I）由題意知b=1, & JJL, a 21(D)勺十意,二1又因為a2=b2+c2解得，*叵得(9+18t2) y2- 12ty- 16=0,且4> 0.,（1）直線為工=上y一'，設(shè) A（x1, y1），B （x2,

21、 y2） 412t十y廣9+18 t16又 因 為 承“町T, *1）* h4 . .4 ,分4 16。卜比二（町-1）（工2-1）十¥了2 =（工¥二）豆了2二）十了/2二（1十七）t（ypy2 ）-y八 2、 -164t 12t16 K=(1 + t )n,9+lgd 3 9+18- g所以,：工 因為線段AB的中點為M,所以|AB|=2|CM|.20. （2020?鄭州一模）水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深人貫徹科學發(fā)展觀,努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水（A級水）達到環(huán)保標準（簡稱達標）的概率為p （0

22、< p<1）.經(jīng)化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進行B系統(tǒng)處理后直接排放.某廠現(xiàn)有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測，多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有樣本不達標，則混合樣本的化驗結(jié)果必不達標，若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水直接排放.現(xiàn)有以下四種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組化驗；方案三；三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗；方案四：四個樣本混在一起化驗.化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)（1）若/” 求2個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達標的概率；

23、H 3（2）若圖2,現(xiàn)有4個A級水樣本需要化驗， 請問：方案一、二、四中哪個最“優(yōu) 3 |若“方案三”比“方案四"更“優(yōu)”，求p的取值范圍.【解答】解：（1）該混合樣本達標的概率是 （2事）2弓，所以根據(jù)對立事件原理，不達標的概率為1-二二.1 9 9（2）方案一：逐個檢測，檢測次數(shù)為4.方案二：由知，每組兩個樣本檢測時，若達標則檢測次數(shù)為1,概率為二；若不達標3則檢測次數(shù)為3,概率為蔣.故方案二的檢測次數(shù)記為 法的可能取值為2, 4, 6.其分布列如下，2246p G可求得方案二的期望為e（ &。=2/獸十4><黑十6><白書等 ci 131o JL

24、 s 1 y方案四：混在一起檢測，記檢測次數(shù)為4, 4可取1, 5.其分布列如下，415p_8181可求得方案四的期望為罄5父普知 ' 1 oL o1比較可得E (卬v E ( 2) < 4,故選擇方案四最“優(yōu)".方案三：設(shè)化驗次數(shù)為r3,用可取2, 5.甲25PP31-p3氏 T /二2p45(l-p*)=5-3p*；方案四：設(shè)化驗次數(shù)為 陰，用可取1, 5P P41 - P4Et T J二p"+5(l-p4)二5-4p"；由題意得口 m)<E( T 4> -5-3p3<5-4p4故當(Xp V時,方案三比方案四更“優(yōu)”21. (

25、2020?關(guān)B州一模)已知函數(shù) f (x) =xlnx.(1)求f (x)的最大值;(2)若f + e* bx> 1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.【解答】解：(1) f (k) =xln,x,定義域(0, +°°),由 ex>x+1 >x, f (x)在(0, 1增，在(1 , +8)減，f (x) max= f ( 1) = 1 - e.(2) f (k) +(x J)-b£)l ? - lnx+x+xex- bx- 1 rxx> 0>b o (d 即詈士工),令一-，6, G)=2 jx e +lnxx令 h (x) = x2ex+inx, h (x)在(0,I+ 8）單調(diào)遞增,x一0, h (x) -8, h(1)= e>0h (x)在(0, 1)存在零點 x0,即h町）三£口"十1口K 0二0，2克0口-*口- _ 1 n- 0_1 1 <'二1、x口 9x ae -（In JieJ,K0 町由于y=xex在（0, +8）單調(diào)遞增，故 其產(chǎn)lrr=TnH力，即Jd=-L° z0