2021屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題Word版含答案

1、2021屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試(滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間120分鐘)一、填空題；本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.1. 已知集合 A=2, 0, 1, 3, B=l, 0, 1, 2,則AnB=.2. 已知X, yR,則“a=l”是''直線(xiàn)ax+y-l = 0與直線(xiàn)x+ay+l = 0平行”的條件.(填“充分不必要”“必要不充分” “充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函數(shù)y=3s彳2x+f J圖象兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離為3-1-4 /4. 設(shè)復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足=5幾其中，為虛數(shù)單位，則Z =Z5.已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2=-12X的焦點(diǎn)重合，則雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)

2、線(xiàn)方程為6. 已知正四棱錐的底而邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)6則該正四棱錐的體積為7. 設(shè)等比數(shù)列6的前n項(xiàng)和為S=,若弘=一2, Ss=9S3,則念的值為L(zhǎng)Sin()+ COS()8. 已知銳角0滿(mǎn)足tan =6cos ,則 =VSin U cos U9. 已知函數(shù)f(x)=x2x+4,對(duì)任意xl, 3,不等式f(x)20恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為10.函數(shù)y= cosxxFanx的立義域坯一.,則其值域?yàn)?已知圓C與圓x2+y2+10x+ IOy=O相切于原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A(0,-6),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.12.已知點(diǎn)P(b 0),直線(xiàn)1： y=x+t與函數(shù)y=的圖象交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)PA-S最小時(shí)，直

3、線(xiàn)1的方程為13.已知a, bR, a+b=4,則了±+j的最大值為.x÷2-,x0,14已知k為常數(shù)，函數(shù)f(x) =x+1若關(guān)于X的方程f(x) =kx+2有且只有四個(gè)不同解,x>0,.InX ,則實(shí)數(shù)k的取值構(gòu)成的集合為.二、解答題：本大題共6小題,共計(jì)90分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟15.(本小題滿(mǎn)分14分)在AABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為/ b, c,若bcosA+aoosB=-2ccosC(1) 求角C的大?。喝鬮=2且AABC的而積為23.求C的值.16(本小題滿(mǎn)分14分)如圖,在直三棱柱ABCAIBlCl中，D為BC的中點(diǎn),A

4、B=AC, BC1±BD求證:(1) A,C平面ADB1;(2) 平面 A1BCil 平面 ADBi.17. (本小題滿(mǎn)分14分)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點(diǎn)D把桿AC分成AD, CD兩段.其 中兩固泄點(diǎn)A，B間距離為1米，AB與桿AC的夾角為60° ,桿AC長(zhǎng)為1米.若制作AD段的成本為a元/ 米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD的成本是4a元/米設(shè)ZADB=S制作整個(gè)支架的總成本記為S元.(1) 求S關(guān)于U的函數(shù)表達(dá)式，并指岀的取值范圍;(2) 問(wèn)AD段多長(zhǎng)時(shí)，S最?。?8. (本小題滿(mǎn)分16分)如圖，在平而直角坐標(biāo)系XOy

5、中，已知橢圓E： +=l(a>b>0)的離心率為申，左焦點(diǎn)F(-2, 0), a bZ直線(xiàn)1： y=t與橢圓交于A, B兩點(diǎn)，M為橢圓E上異于A, B的點(diǎn).(1) 求橢圓E的方程；(2) 若M(-6, -1),以AB為直徑的圓P過(guò)點(diǎn)求圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程：(3) 設(shè)直線(xiàn)MA, MB與y軸分別相交于點(diǎn)C, D,證明：OC-OD為泄值.19. (本小題滿(mǎn)分16分)已知b>0,且bb函數(shù)f(x)=tfx÷b其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1) 如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值，并求此時(shí)函數(shù)f(x)的最小值： 對(duì)滿(mǎn)足b>0,且bHl的任意實(shí)數(shù)b,證明：函數(shù)y=f(x)的圖象

6、經(jīng)過(guò)唯一定點(diǎn):(3) 如果關(guān)于X的方程f(x)=2有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)b的取值范用.20. (本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列as的前n項(xiàng)和為S=,對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正數(shù)p, q, r,使得an=pn i, Sn=Lr恒成 立：數(shù)列仏的前n項(xiàng)和為陰 且對(duì)任意正整數(shù)n, 2L=nbn恒成立(1) 求常數(shù)P，q，:C的值;(2)證明:數(shù)列4為等差數(shù)列;(3)若 Ifc=2,記已=2n+b, 2n+2b: 2n+bs務(wù)+ 2比+ 4張*2n÷br.2n+b,是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意正整數(shù)n, PWk恒成立？若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)附加（本部分滿(mǎn)分40分，考

7、試時(shí)間30分鐘）21. 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的前兩 小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A. 選修41：幾何證明選講（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，四邊形如?是圓的內(nèi)接四邊形，BC=BDt胡的延長(zhǎng)線(xiàn)交切的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E延長(zhǎng)以至點(diǎn)尸 求證：血是ZDAF的平分線(xiàn)B. 選修42：矩陣與變換（本小題滿(mǎn)分10分）'2 a '已知矩陣M=. ,其中a, b均為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A（3, 一 1）在矩陣M的變換 作用下得到點(diǎn)5（3, 5）,求矩陣M的特征值.C. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿(mǎn)分10分）X acos t在平而

8、直角坐標(biāo)系x0y中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為.（a>b>Q. 為參數(shù)），且曲線(xiàn)C上的點(diǎn)於（2,y= bsn 5）對(duì)應(yīng)的參數(shù)=y,以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線(xiàn)Q的普通方程：（2）若曲線(xiàn)Q上的兒萬(wàn)兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A（P1, “），4"，+*），求*+寺的值D. 選修45：不等式選講(本小題滿(mǎn)分10分)已知函數(shù)/(-¥)= I X a + x+a ,若對(duì)任意Rt不等式fCr)才一3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范弗【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步22. (本小題滿(mǎn)分10分)如圖，AC丄BC,

9、0為AB的中點(diǎn)，且De丄平而ABC, DCBE已知AC=BC=DC=BE=2. 求直線(xiàn)AD與CE所成角：(2) 求二而角OCEB的余弦值23. (本小題滿(mǎn)分10分)某學(xué)生參加4門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，每門(mén)得A等級(jí)的概率都是當(dāng)該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績(jī)彼此獨(dú)立規(guī)4定：有一門(mén)學(xué)科獲月等級(jí)加1分，有兩門(mén)學(xué)科獲月等級(jí)加2分，有三門(mén)學(xué)科獲月等級(jí)加3分，四門(mén)學(xué)科全 獲A等級(jí)則加5分.記J表示該生的加分?jǐn)?shù)， ：表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門(mén)數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門(mén)數(shù)的差 的絕對(duì)值.(1) 求J的數(shù)學(xué)期望：(2) 求的分布列.2021屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題1. 0, 12.充要 3.6. I 7. 328.

10、3÷22 9. 41：L (x+3)2÷(y+3)2=18 12. y=x÷-15解析：（1）由正弦左理CS2C,且 b<?QSA+aoosB= 2CgSC 得（2 分） si/iBoosA + SlnACOSB 2 SlnC CoSC, 所以 sZ（B+A） = -2srCcosC. （3 分） 因?yàn)锳, B, C為三角形的內(nèi)角，所以B+A= 一C, 所以 Si£=2SirQcOa （4 分） 因?yàn)镃（0,小，所以s%C>O. （5分） 所以 csC=-#, （6 分） 所以C=等.（7分）（2）因?yàn)锳ABC的面積為25,所以abSirC=

11、2y3. （8 分）2 由知C=,所以SiM=紡所以ab = 8. （9分）=28, （13 分）因?yàn)?b = 2at 所以 a=2, b=4, （11 分） 所以 cc=a:+b:-2abc<?sC=2c+4£-2×2×4X 所以c = 27（14分）16.解析：（1）設(shè) AiBQABi=E.因?yàn)锳BC-AIBICI為直三棱柱，所以AAbB為矩形，所以E為Ae的中點(diǎn)（1分） 因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DE為ABAl的中位線(xiàn)，（2分） 所以 DEA1C,且 DE=IAiC. （3 分） 因?yàn)樵鶦Q平而ADBa DEU平而ADB1, （5分）所以扎C平而ADB1

12、. （7分）（2）因?yàn)锳B=AC, D為BC的中點(diǎn)，所以AD丄BC. （8分）因?yàn)锳BCAIBIC為直三棱柱，所以BB平而ABC.因?yàn)锳DU平而ABC,所以BBi丄AD. （9分）因?yàn)?BCU 平而 BCGB“ BBC 平面 BCCb BCBBi=B,所以AD丄平而B(niǎo)CCb（10分）因?yàn)锽GU平而B(niǎo)CCiBU所以AD丄BG. （11分）因?yàn)?BG丄BJL ADU 平而 ADB" Bj）U 平 ADB1, XWnBID=D, 所以BG丄平而ADBi. （13分）因?yàn)锽C平而AiBC:,所以平面AiBG丄平面ADB1. （14分）17.解析：在AABD中，由正弦定理得僉BDSirrr（1

13、分）所以BD=-. AD=雪瓷 +#, (3分)2sn2 sin2弊卩+扣+4js=4÷4)÷2aEI-C_(4書(shū)擊COSU 3 A 2sin +2J( 2 兀 由題意得 y> J(2) 令 S' =ya -=0, 設(shè) CoSa 0=Y SIn «4> (6 分)(7分)（1(T GO)(I 0( 2* r- 3)COS14.5, 5s,<00>0S單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增(11 分)所以當(dāng)CoSa呂時(shí)，S最小,此時(shí)Sina =J星,4AD=ycos2sin 18.解析：（1）因?yàn)閑=2=半且c=2,a Z所以 a=22, b=2. （

14、2 分） 所以橢圓方程為-+=l. （4分） (2)設(shè) A(s, t),則 B(-s, t)且 s3+2t3=8. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓P過(guò)M點(diǎn).所以MA丄MB,所以MA MB=O, (5分) 因?yàn)镸A=(S+6, t + l), =(-s+6, t + l)>所以 6-S=÷(t÷l)s=0.(6 分)由®解得t=壬或t = -l(舍)，所以Sii=罟.(7分) 因?yàn)閳AP的圓心為AB的中點(diǎn)（0, t）,半徑為罟=Is , （8分） 所以圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為+卜一守=罟.（9分） 設(shè)M（X0，yo） t則IA的方程為yy。= （-x°）,若k不存在，顯

15、然不符合條件. S Xo令X=O得yc=-tx0÷sy0S-X0同理比=5 一匹,(11分)-SXo所以 OC OD=IyC y =-1 xo+syoSXo一 txosyosXoLxL s WXo-S=(13 分)t Xos Yot2 (8 2yo) (82f) yo8t£8yox5-S282y： (82t:)2t3-2yo=4為宦值.(16 分)19解析：(I)由f=f(-)We÷b=l÷A解得b= (舍),或b=£ (1分)e經(jīng)檢驗(yàn)f(x)W+*為偶函數(shù)，所以b(2分)因?yàn)閒(x) = ex÷¼2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)

16、，(3分)e所以f(x)的最小值為2. (4分)(2) 假設(shè)y=f(x)過(guò)建點(diǎn)(x。，y。)，則y0=ex0÷bxo對(duì)任意滿(mǎn)足b>0,且bHl恒成立.(5分)令 b=2 得 yo=tfxo÷2x0;令 b=3 得 y0=ex0+3x0, (6 分)所以2x°=3x°,即(Ij =1，解得唯一解xo=0,所以y0=2, (7分)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=2,所以函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)唯一定點(diǎn)(0, 2). (8分)(3) 令g(x)=f(x)-2=e=+bx-2為R上的連續(xù)函數(shù)，且g(0)=0,則方程¢3= 0存在一個(gè)解.(9 分)(

17、i) 當(dāng)b>0時(shí)，g(x)為增函數(shù)，此時(shí)g3= 0只有一解.(10分)(ii) 當(dāng) 0<從1 時(shí)，令 V (jv) =ex+yin=ex(l+ (I) VInZ>) =0,解得閔=IOgI 另(Tnb) (11 分)因?yàn)?丁>0, 0<f<l, InKO,令 ACY)=(I+力G)為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)x(-8,關(guān))時(shí)，A(a)<0,所以0 30, g(x)為單調(diào)減函數(shù)； 當(dāng). U, +8)時(shí)，ACy)>0,所以g' Cr)>0, g(x)為單調(diào)增函數(shù)， 所以S剛、3=g(x°).因?yàn)間3定義域?yàn)镽，所以eY)=U). (1

18、3分) 若-Vo>0,在(一8, XO)上為單調(diào)減函數(shù)，g(xo)<g(O) =0,而 g(ln2) =2+bln2-2=bln2>0,所以當(dāng)x(x°, ln2)時(shí)，g(x)至少存在另外一個(gè)零點(diǎn)，矛盾.(14分) 若 <0, g(x)在(及,+8)上為單調(diào)增函數(shù),g(xo)<廳(O)=0,而 (IOg2)= elog42+2-2=elogi2>0, 所以g(x)在(IOgi2, .Yb)上存在另外一個(gè)解，矛盾.(15分) 當(dāng)-YO=IOg(-ln) = 0,則一Inb=I,解得 £>=|,此時(shí)方程為 g(x)=e'+占一2=

19、0,由(1)得，只有唯一解-Vb=O,滿(mǎn)足條件.綜上所述，當(dāng)QI或E=丄時(shí)，方程KY)= 2有且只有一個(gè)解.(16分)e20. 解析： 因?yàn)镾a=Qn-r,所以 Sa-I=Q= 1-r» (n>2)Sn-Sn-X = Qb-Q3'1,即 as=q一一，(n>2), (1 分)因?yàn)?a=pL,所以 Pn I=Qn-qn 1, (n2),當(dāng) n=2 時(shí)，p=q2-q:當(dāng) n = 3 時(shí)，p2 = q3q2因?yàn)镻，q為正數(shù)，所以P = q = 2. (3分)因?yàn)?a1=b S=q-r, al=Si,所以 r = l. (4 分)(2)因?yàn)?2Ta=nbn,當(dāng) nM2 時(shí)

20、，2Ta-i=(n-l)bn-i,一得 2ba=nba- (nl)ba-1> 即(n2)ba= (nl)bn i> (6 分) 方法一:由(nl)bn÷=nba,+得(2n2)bn= (nl)bn-i+ (nl)ba+1, (7 分)即2ba=bt-1+baH,所以bn為等差數(shù)列.(8分)方法二：由(n2)bn= (-Dbn-Mn1n-2'bnbnlBe當(dāng)n$3時(shí),ZZZz =n1 n21所以 ba=b（n-1）,所以 ba-b-i=b. （6 分）因?yàn)?n=l 時(shí)，由 2T=nbn得 2Tl=b1,所以 b.=0,則 b3-b1=b5, （7 分）所以ba-bc

21、-1=bc對(duì)n22恒成立，所以bn為等差數(shù)列.（8分）（3）因?yàn)閎l=0, b:=2,由（2）知b11為等差數(shù)列，所以ba=2n-2. （9分） 又由知an=2a"1,所以Pn = 2n+22n "F4-44n 2C2n + 2 IPnfl= 9n-4n4 4n2 4n 4n÷2I PZn-S I 2 22"一p-，所以Pnr-Pn =吉二4n+2 2n 12n+24n2 (12 5»2 紜2c"14n令 PnU-Pn>0 得 12n+2-4n 2a>0,所以 2a<=3+<4,解得 n=l,所以當(dāng) n=l 時(shí)

22、,PnI I-PH>0,即 P2>Pu (13 分)當(dāng) nM2 時(shí)，因?yàn)?2n4, 3+-<4即 12n+2-4n 2tt<0,此時(shí) Pa÷<Pn,即 P2>P8>Pi>-, (14 分)所以P:I的最大值為P=警+2第+2=£ (15分)7 若存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意正整數(shù)n, PWk恒成立，貝IJkP.,= -.所以正整數(shù)k的最小值為4. （16分）21. A.解析：因?yàn)樗倪呅稳?是圓的內(nèi)接四邊形，所以ZDAE=乙BCD, AFAE=ABAC= BDC.（4 分）戻為BC=BD,所以乙BCD=乙BDC、（6分）所以ZDAE

23、=乙FAE, （8分）所以M是四邊形馭P的外角ZW的平分線(xiàn).（10分）B.解析：由題意得6a=3,%十5,（3分）3J. （5 分）令 r（） = （-2）（4-l）-6=0, （7 分）解得久=一1或久=4, （9分）所以矩陣M的特征值為一1和4. （10分）所以M=.2C解析：（1）將M（2, 5）及對(duì)應(yīng)的參數(shù)=y,代入x=acos >,.A （a>b>0, e為參數(shù)）,y= 6sn 2 = acos9所以 y3 = bsina=4,b=2、所以曲線(xiàn)G的普通方程為÷=1. （5分）164P cos" 0（2）曲線(xiàn)G的極坐標(biāo)方程為一花一PISin:. P

24、：sin: “ I PZCOSZ 0P=1'P "sin" 0（ AP7cos-"r=1,將 Ap, & Q" "+了|代入得主V11 s所 W+= （10 分） Pl PZ 16D.解析：因?yàn)閷?duì)任意xR,不等式f（x）>3恒成立，所以經(jīng)n（x）>3. （2分）因?yàn)?xa + Jr-I-a xa （.r+ a） = 12a ,所以2a>a'-3,（4分）方法一：即 a 2-2a 3<0.解得一1< a<3, （8 分）所以一3<a3. （10 分）方法二：式等價(jià)于2a>a：3,或 2a< a+3,（6 分）由得一la3： （7分）由得一3<a<l, （8分）所以一3<a3. （10 分）22.解析： 因?yàn)锳C丄CB,且DC丄平而ABC,則以C為原點(diǎn)，CB為X軸正方向，CA為y軸正方向，C