《定積分的概念》-文檔資料

1、1.5.3 1.5.3 定積分的概念定積分的概念.2定積分的概念內(nèi)容：應(yīng)用求定積分利用定積分求不規(guī)則圖形的面積定積分的幾何意義( )baSf x dx.3用 “以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程：分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近.4求由連續(xù)曲線yf(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法: (2)以直代曲:任取xixi-1, xi，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi), 寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲邊梯形的面積S為 (3) 作和:取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixix10,( )()niixfxSnx

2、 1( )niiSfxx(1)分割:在區(qū)間a,b上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度x x ban 11211,iina xxxxxxb.511( )( )nnniiiibaSf xxf xn 小矩形面積和如果當(dāng)n+時(shí)，Sn 就無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作： baf (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四個(gè)步驟”: 分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近. .6 1.曲邊梯形面積問題; 2.變力作功問題; 3.變速運(yùn)動(dòng)的距離問題.我們把這些問題從具體的問題中

3、抽象出來，作為一個(gè)我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義以給定積分的定義 它們都?xì)w結(jié)為:分割、近似求和、取逼近值問題情境問題情境: .7定積分的定義定積分的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有定義,將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)的長(zhǎng)度為 ,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為x1,x2,.xi,.xn,作和如果 無限趨近于0時(shí),Sn無限趨近于常數(shù)S,那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作: .)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(

4、x)dxf(x)dxx.8定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式， f(x) 叫做被積函數(shù), x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。( )baSf x dx被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限( )baSf x dx.9 Sbaf (x)dx； 按定積分的定義，有：按定積分的定義，有： (1)由連續(xù)曲線yf(x) (f(x)0) ，直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為( );baSv t dt

5、(3)設(shè)物體在變力FF(r)的方向上有位移，則F在位移區(qū)間a, b內(nèi)所做的功W為( ).baWF r dr.10注注 ：定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間區(qū)間 a, b 有關(guān)有關(guān), 與積分變量記號(hào)無關(guān)與積分變量記號(hào)無關(guān)bababaduufdttfdxxf)()()(.11函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分能否為上的定積分能否為負(fù)負(fù)的的?定積分._121)dx1)dx(x(x 定積分 = .211)dx1)dx(x(x.12定積分的幾何意義定積分的幾何意義當(dāng) f (x) 0，定積分的幾何意義就是 badxxf)(bAoxyay=f (x)S曲線曲線 y = f (x)

6、，直線，直線 x = a、 x = b、 y = 0 所圍成的曲邊梯所圍成的曲邊梯形的面積形的面積b ba aS Sf(x)dxf(x)dx: :即即.13當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， x a, b 時(shí) 定積分 幾何意義badxxf)(Sdxxfba)(即即就是位于就是位于 x 軸下方的曲邊梯軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)形面積的相反數(shù). oxyaby=f (x)S.14用定積分表示下列陰影部分面積：用定積分表示下列陰影部分面積： S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5S=_;XOy223y=cosx.153 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x

7、) )d dx x即即OXS2S1yS3.16定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： 在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上曲線與上曲線與x x軸所圍成圖形面積的代數(shù)和軸所圍成圖形面積的代數(shù)和( (即即x x軸上方的面積減去軸上方的面積減去x x軸下方的面積軸下方的面積).).50(24)xdx計(jì)算定積分-465OxyAB50(24)945xdx.17 例例1：計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分. 21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxx dxxdxx dx21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(

8、1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxx dxxdxx dx求定積分，只求定積分，只要理解被積函要理解被積函數(shù)和定積分的數(shù)和定積分的意義，并作出意義，并作出圖形，即可解圖形，即可解決決.18 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badxxkf)( badxxfk)(.19 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (

9、x).20例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1.21積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.22積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函

10、數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.23可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.24成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3.解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1.25定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的逼近值2定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取逼近取逼近精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取逼近取逼近3.定積分的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用.261.利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分值的正、負(fù)號(hào).20sinxdx212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式.成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.試用定