高等流體力學(xué)習(xí)題

1、-作者xxxx-日期xxxx高等流體力學(xué)習(xí)題【精品文檔】第一講 緒論習(xí)題：1.綜述流體力學(xué)研究方法及其優(yōu)缺點(diǎn)。2.試證明下列各式：  (1)grad(±)=grad()±grad()  (2) grad()= grad()+ grad()  (3)設(shè)r = xi +yj+ zk，則 =   (4) 設(shè)r = xi +yj+ zk，求div(r)=？  (5) 設(shè)r = xi +yj+ zk，則div(r4r)= ?3.給定平面標(biāo)量場(chǎng)f及M點(diǎn)處上已知兩個(gè)方向上的方向?qū)?shù) 和 ，求該點(diǎn)處的gradf第二講 應(yīng)力張量及應(yīng)變張量例2

2、-1試分析下板不動(dòng)上板做勻速運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)無(wú)限大平板間的簡(jiǎn)單剪切流動(dòng)， ， 式中k為常數(shù)，且k=u0/b。解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得再由式(2-18)可得所以II=k=u0/b。  流動(dòng)的旋轉(zhuǎn)張量R的分量不全為零說(shuō)明流動(dòng)是有旋流動(dòng)，I=trA=0表明流動(dòng)為不可壓縮流動(dòng)，II=k表明了流場(chǎng)的剪切速率為常數(shù)。第三講 流體的微分方程習(xí)題：試由純粘流體的本構(gòu)方程和柯西方程推導(dǎo)納維爾-斯托克斯方程（N-S方程）。第四講 流動(dòng)的積分方程【例31】 在均勻來(lái)流速度為V的流場(chǎng)中放置一個(gè)垂直于來(lái)流的圓柱體，經(jīng)過(guò)若干距離后測(cè)得的速度分布如圖所示，假設(shè)圖示的控制體邊界上的壓力是均勻的，設(shè)流

3、體為不可壓縮的，其密度為，試求:   (1)流線(xiàn)1-2的偏移量C的表達(dá)式；(2)單位長(zhǎng)度圓柱體的受力F的表達(dá)式。解：(1)無(wú)圓柱體時(shí)流管進(jìn)出口一樣大（即流線(xiàn)都是直線(xiàn)，無(wú)偏移），進(jìn)出口的流速分布也是相同的，而放入圓柱體之后出口處的流速分布變成圖示的那樣，即靠近中心線(xiàn)部分的流速變小，由于已經(jīng)假定流體是不可壓縮的流體，若想滿(mǎn)足進(jìn)出口流量相同連續(xù)性方程，必然會(huì)導(dǎo)致流管邊界會(huì)向外偏移，也就是說(shuō)出口處流管的截面會(huì)增大。因此，求解時(shí)可由進(jìn)出口流量相等入手，設(shè)入口處平均流速為V，取寬度為L(zhǎng)，所得的連續(xù)性方程應(yīng)為：求得 C=a/2(2)在流管的進(jìn)出口截面1-1與2-2之間使用動(dòng)量方程，即圓柱體的阻力應(yīng)

4、等于單位時(shí)間內(nèi)流出2-2面的流體的動(dòng)量與流入1-1面的流體的動(dòng)量差，列x方向的動(dòng)量方程可表示為則，F(xiàn)=-R【例32】 試求如圖所示的射流對(duì)曲面的作用力。解：假設(shè)水平射流的流量為Q，因曲面對(duì)稱(chēng)且正迎著射流，則兩股流量可以認(rèn)為相等，等于Q/2。x方向動(dòng)量方程為。所以，射流對(duì)壁面的作用力為。射流沖擊力的分析是沖擊式水輪機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)。從上式可知：當(dāng)=90°時(shí)，R=Qv；當(dāng)=180°時(shí)，R=2Qv，曲面所受沖擊力最大。 【例33】       某渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，空氣進(jìn)入壓氣機(jī)時(shí)的溫度Tl=290K，經(jīng)

5、壓氣機(jī)壓縮后，出口溫度上升至T2=450K，如圖所示。假設(shè)壓氣機(jī)迸出口的空氣流速近似相等，如果通過(guò)壓氣機(jī)的空氣流量為，求帶動(dòng)壓氣機(jī)所需的功率(設(shè)空氣比熱容為常數(shù))。解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計(jì)，故空氣通過(guò)壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過(guò)程，即q=0。又因v1v2，故由式(316)，有。將已知數(shù)據(jù)代入上式，得，即壓氣機(jī)每壓縮1kg空氣需授功，負(fù)號(hào)表示外界對(duì)氣體作功。帶動(dòng)壓氣機(jī)所需功率為 。積分方程的綜合應(yīng)用【作業(yè)】?jī)晒刹煌魉佟⒚芏染鶠榍覊毫ο嗤牟豢蓧嚎s流體流入一段水平圓管，混合后速度、壓力均勻分布，如下圖所示。一股流速為V、面積為A/2，另一股流速為2

6、V、面積為A/2，若不計(jì)摩擦，流動(dòng)定常且絕熱。試求水頭損失及局部阻力系數(shù)，并證明單位時(shí)間內(nèi)機(jī)械能損失為3AV3/16。解： 由質(zhì)量守恒知，管道進(jìn)出口流量相等： ，知：得到出口流速在進(jìn)出口截面上應(yīng)用動(dòng)量定理，解出進(jìn)出口壓力差值 進(jìn)出口處單位重量液體所具有的機(jī)械能分別為 水頭損失則為：局部阻力系數(shù)則為： 第五講 流體靜力學(xué)三、 靜壓流場(chǎng)的質(zhì)量力條件對(duì)于所有的靜止流體，（3-4）式均成立，現(xiàn)對(duì)其兩端同時(shí)取旋度可得上式中應(yīng)用了標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度為0這一結(jié)論，現(xiàn)證明之  = = =0（矢量）將上式與（3-4）式進(jìn)行點(diǎn)乘則有上式右端為矢量的混合積，由混合積的定義可知

7、由于三個(gè)矢量中有兩個(gè)同名，所以其值為0，可得（3-6）由此可以得出結(jié)論：流體靜止的必要條件是質(zhì)量力必須滿(mǎn)足 。（此式自然成立啊，為什么還要證明呢？）  對(duì)于不可壓縮流體，由于密度為常數(shù)，則平衡方程（3-4）式可寫(xiě)成（3-7）對(duì)上式兩端取旋度則有=0 （3-8）這是不可壓縮流體靜止時(shí)對(duì)質(zhì)量力所附加的限制條件，即質(zhì)量力必須無(wú)旋。（矢量場(chǎng)的四等價(jià)定理：無(wú)旋必有勢(shì)；有勢(shì)必?zé)o旋；環(huán)量為零；線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)。）【證明】設(shè)質(zhì)量力f=Xi+Yj+Zk所代表的質(zhì)量力場(chǎng)中，若存在標(biāo)量函數(shù)U滿(mǎn)足或 則稱(chēng)之為質(zhì)量的勢(shì)函數(shù)，其中的負(fù)號(hào)表示質(zhì)量力做正功時(shí)質(zhì)量力的是函數(shù)減小。在靜止流場(chǎng)中任取一個(gè)微元矢量力dr=d

8、xi+dyj+dzk，由于dr是任意的微元矢量，所以有將其代入（3-4）式可得上式表明等壓面方程 =0與等勢(shì)面 =0等價(jià)?！咀C畢】 習(xí)題：1. 試證明等壓面是不相容流體間的分界面。2. 試證明等壓面是等密度面。第6講 實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)基礎(chǔ)例51 假設(shè)聲速與氣流的壓力、密度和粘度有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)聲速公式。解：分析物理現(xiàn)象，找出相關(guān)的物理量。設(shè)聲速c與氣體的壓力p，密度和粘度有關(guān)，先假定，式中k為無(wú)量綱系數(shù)。寫(xiě)出量綱方程。上式的量綱方程為或，利用量綱和諧原理建立關(guān)于指數(shù)的代數(shù)方程組，解出指數(shù)。由量綱和諧原理可知，上式兩端同名基本量綱的指數(shù)應(yīng)相同，所以有  。解之可得 x=1/2

9、，y=-1/2，z=0。將其回代到假設(shè)的物理方程中，整理可得或 。對(duì)完全氣體有p=RT ，所以聲速公式為。 例52有一直徑為D的圓盤(pán)，沉沒(méi)在密度為的液池中，圓盤(pán)正好沉于深度為H的池底，用瑞利法建立液體作用于圓盤(pán)面上的總壓力P=kghD2，式中k為無(wú)量綱數(shù)。 例53已知流體在圓管中流動(dòng)時(shí)的壓差p與下列因素有關(guān)：管道長(zhǎng)度l，管道直徑d，動(dòng)力粘度系數(shù)，液體密度，流速v，管壁粗糙度。試用定理建立水頭損失hw的計(jì)算公式。解：這一流動(dòng)現(xiàn)象所涉及的各物理量可寫(xiě)成如下的函數(shù)形式。選取流體的密度，流速v和管徑d為基本量，它們的量綱公式為， ，及 ，它們量綱指數(shù)行列式為說(shuō)明這三個(gè)量的量綱是獨(dú)立

10、的，可以作為基本量?，F(xiàn)在便可以用其它的4個(gè)量與這三個(gè)基本量組成四個(gè)無(wú)量綱量了。，由于1為無(wú)量綱量，則有或，量綱指數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程為?？山獾脁=1，y=2，z=0，所以，同理可得， ， 。無(wú)量綱關(guān)系式為或 或 則。實(shí)驗(yàn)表明，圓管的水頭損失與l/d成正比，上式可寫(xiě)成。引入雷諾數(shù)Re=vd/和相對(duì)粗糙度=/d，則有。上式又可表示為  ， （54）這就是著名的達(dá)西公式。式中= f(1/Re, )稱(chēng)為阻力系數(shù)，其值可用經(jīng)驗(yàn)公式算得，也可通過(guò)查閱相關(guān)的圖表得到，或者由實(shí)驗(yàn)確定。 需要初學(xué)者注意，在上述推導(dǎo)過(guò)程中，始終使用的函數(shù)符號(hào)f并不表示明確的函數(shù)關(guān)系，而只是表示以其后括號(hào)里的物理量

11、或無(wú)量綱量決定的一個(gè)量。比如3sin(1/x)=sinx不一定成立，而f (1/Re)=2f (Re)則成立，因?yàn)?是一個(gè)具有明確含義的函數(shù)，而f不是確定函數(shù)，比如f(1/Re)和2f(Re)僅僅表示兩者都是Re的函數(shù)而已，下面的例題中依然如此。例54有一直徑為D的圓盤(pán)，沉沒(méi)在密度為的液池中，圓盤(pán)正好沉于深度為H的池底，用定理建立液體作用于圓盤(pán)面上的總壓力P=kghD2，式中k為無(wú)量綱數(shù)。習(xí)題：1 假設(shè)泵的輸出功率N是液體密度，重力加速度g，流量Q，和揚(yáng)程H的函數(shù)，試用量綱分析法建立其關(guān)系。2 實(shí)驗(yàn)分析表明飛機(jī)的飛行阻力F與空氣的密度、空氣的粘度、飛行速度v、飛機(jī)的特征長(zhǎng)度L、飛機(jī)的外表面面積

12、A等因素有關(guān)，試用量綱分析方法建立飛機(jī)飛行阻力公式F=CD(Re)v2A，其中Re =vL/ 第七講 氣體流動(dòng)的基本方程       例41       某渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，空氣進(jìn)入壓氣機(jī)時(shí)的溫度Tl=290K，經(jīng)壓氣機(jī)壓縮后，出口溫度上升至T2=450K，如圖所示。假設(shè)壓氣機(jī)迸出口的空氣流速近似相等，如果通過(guò)壓氣機(jī)的空氣流量為，求帶動(dòng)壓氣機(jī)所需的功率(設(shè)空氣比熱容為常數(shù))。解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計(jì)

13、，故空氣通過(guò)壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過(guò)程，即q=0。又因v1v2，故由式(1015)，有。將已知數(shù)據(jù)代入上式，得，即壓氣機(jī)每壓縮1kg空氣需授功，負(fù)號(hào)表示外界對(duì)氣體作功。帶動(dòng)壓氣機(jī)所需功率為 。       例42 某噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，在尾噴管出口處，燃?xì)馑俣葹?60m/s，溫度為873K，燃?xì)獾慕^熱指數(shù)k，氣體常數(shù)R=287.4J/(kg·K)，求出口處燃?xì)饬鞯穆曀偌癕a數(shù)。       解： ，  第八講 氣動(dòng)函數(shù)及壓力波 &#

14、160;     例53 用風(fēng)速管測(cè)得空氣流中一點(diǎn)的總壓p*=9.81×104Pa，靜壓p=8.44×104Pa，用熱電偶測(cè)得該點(diǎn)空氣流的總溫T*=400K，試求該點(diǎn)氣流的速度v。解：由式（822）可得。由氣動(dòng)函數(shù)表（k）查得，則氣流速度為         例 82 有一擴(kuò)壓器(見(jiàn)圖8-7)，設(shè)出口截面積和進(jìn)口截面積之比A2/A，己知進(jìn)口截面上空氣流的，求出口截面積上空氣流的2。     

15、0; 解：因?yàn)榱鲃?dòng)是絕能等熵的，故T*1=T*2及p*1=p*2。由式（829）可得。故由氣動(dòng)函數(shù)表(k=1.4)查得，當(dāng)1時(shí)，q(。代入上式，則得由圖8-5a可以看出，由q()值找數(shù)時(shí)，一個(gè)q()值可以找到兩個(gè)數(shù)，一個(gè)小于1，一個(gè)大小1，究竟取哪一個(gè)要由其它條件決定，根據(jù)上面的q(2)值，從表上可以查出兩個(gè)2值為或。因?yàn)椋f(shuō)明擴(kuò)壓器進(jìn)口為亞聲速氣流，如前所述，對(duì)于亞聲速氣流，流管截面積增大的流速減小，故擴(kuò)壓器出口1>2，因此，應(yīng)取。例83 燃?xì)?k=1.33)在直管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，進(jìn)口參數(shù)T*=750K，p*1=2.25×105Pa，。已知在管內(nèi)加入燃?xì)獾臒崃繛閝=1.1

16、7×103J/kg。不考慮燃?xì)馀c管壁間的摩擦力，設(shè)燃?xì)獾谋葻醕p=1.16J/(kg·K)，求出口氣流的參數(shù)：T*2、2、p*2。解：氣流的能量方程為，故。再利用動(dòng)量方程式，因?yàn)楣鼙谑瞧街钡模植豢紤]氣流與管壁間的摩擦力，故管壁作用于控制體上的力沿軸向的分量為零。由式（832），得，故。由氣功函數(shù)表（k）查得2，盡管也可以滿(mǎn)足z(，但實(shí)際上不能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閱渭兗訜岵豢赡苁箒喡曀贇饬髯優(yōu)槌曀贇饬?。由連續(xù)方程，得。對(duì)于所取的控制體，A1=A2，故由氣動(dòng)函數(shù)表查得q(1)，q(。故。則p*2=0.882×2.55×1052.25×105Pa。由此可見(jiàn)，盡管略去了氣流與管壁間的摩擦，但給氣流加熱也會(huì)造成總壓的下降。 【習(xí)題】在人頭上400m上空有一架飛機(jī)，飛機(jī)前進(jìn)了800m時(shí)，此人才聽(tīng)到的飛機(jī)的聲音。大氣的溫度為288K。試求該飛機(jī)的飛行馬赫數(shù)、速度及聽(tīng)到飛機(jī)的聲音時(shí)飛機(jī)已飛行過(guò)其頭頂多少時(shí)間。第九講 變截面、摩擦及換熱氣流91 試寫(xiě)出各種形式的連續(xù)方程式，并說(shuō)明其物理意義和適用條件。92 試說(shuō)明能量方程式的物理意義。93 引入滯止參數(shù)的意義何在？94 何謂聲速、臨界聲速？區(qū)別何在？95 何謂氣流極限速度？96 氣流的Ma 數(shù)與氣流的壓縮性有何關(guān)系？97 何謂馬赫錐、馬赫角？98 試說(shuō)明如何來(lái)判斷一