“恒成立問題”與“有解問題”的區(qū)分及解題策略

1、“恒成立問題”與“有解問題”的區(qū)分及解題策略廈門一小邱春來1. 恒成立問題與有解問題的區(qū)分（1）兩者在“量詞”上有區(qū)別恒成立中使用的量詞是全稱量詞，如“0、任意、所有、全部、均、恒、總、都”等；而有解問題中使用的量詞是特稱量詞，如“入 存在、有、至少一個、有解”等。（2）兩者在在等價(jià)轉(zhuǎn)換上有區(qū)別a > fw恒成立 o a > /（x）max ； a < /（x）恒成立 o a < /（x）min6/ >/(x)min ； 6/ </(x)-<=>6/ </«ax ； 0 = /(兀)有解0&6廣(兀)值域2. “恒成立問題

2、”與“有解問題”的解題策略(1)“恒成立問題”的解題策“恒成立問題”中一般有2個以上字母,我們把待求范圍的那個字母定義為“參數(shù)”，把已知范圍的字母定義為“變量”。法1 （分離參數(shù)法），即先把參數(shù)（所求的那個字母）分離出來，然后利用下面原理 a > /(x)恒成立 o a > /(x)max ; a < 于(兀)恒成立 o a v /(x)min法2、（構(gòu)造函數(shù)法）即構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，利用函數(shù)知識和方法解決°例1、函數(shù).f （兀）=* + 2* + ",兀w 1,+00）對任意兀wl,+oo）, /（x） > 0恒成立，求d的取值范圍。解析：這題中“

3、d”是參數(shù)，“?！笔亲兞浚@然“d”很好分離，所以采取“分離參數(shù)法”對兀w l,+oo） , /（%） = “ + 2x + °°恒成、丫，只需° > 一兀2 一 2兀在兀丘l,+oo）時(shí)恒成立，考慮二次函數(shù) g（x） = -x2 - 2x 在"1,4-00）的最大值 gmaxo） = g（l） = - 3 ,得 d > - 3例2、若不等式2x-l>m（x2-l）對滿足|m| < 2的所有加都成立，求x的取值范圍。解析：這題小“兀”是參數(shù)，“加”是變量，顯然“?！辈缓梅蛛x，所以采取“構(gòu)造構(gòu)造函數(shù)法” 構(gòu)造關(guān)丁”的一次函數(shù)/（m）

4、 = m（x2 -1）-（2兀-1）,所以對滿足網(wǎng)52的加,/（/n）<0恒成立,屮（一2）<0 j-2（-l）-（2x-l）<0 解得:土近<乂<4/（2）<02（x2-1）-（2x-1）<0222.2 “有解問題”的解題策略“他）/（b） <0”是/（兀）在（a,可內(nèi)有零點(diǎn)的充分非必要條件,只有/（力在（“）上單調(diào)時(shí)是充要條件，所以在解“有解問題”時(shí)，首先看于在是否單調(diào)，若單調(diào)，則/（x）在?。﹥?nèi)有零 點(diǎn)可以得到f（a） /（6）<0,若不明確于（兀）在勸的單調(diào)性，則采用“分離參數(shù)法”，即先把參數(shù)（待求范圍的那個字母）分離出來，然后利用

5、下列原理。門兀）有解0。/（嘰 ；。5兀）有解0。</嘰 ；爪/（兀）有解0心（兀）值域例如3、已知方程-/+兀+。=0在(1,2)有解，求實(shí)數(shù)d的取值范圍解析：這題屮“ a ”是參數(shù)宀”是變量，顯然/(x) = -x2+x + c/ = o在(1,2)單調(diào)所以，方程-x2+x + a=0 在(1,2)有解 o/(l)j (2)v0 解得 aw (0,2)例如4、已知方程-x2 +x +a =0在-1,1有解有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍解析：這題中是參數(shù)，“兀”是變量，/(%) = -兀2+“心0在不單調(diào)，而“/很好分離，所以采取“分離參數(shù)法”，本題0。=兀2_兀有解范圍(/_兀)范圍是-1

6、,2,所以a2443. “多變量恒成立問題”與“多變量有解問題”的解題策略：可以對變量逐一考慮，即先考慮 把一個變量當(dāng)作主元，把另外變量當(dāng)作參數(shù)，在分析完一個變量后再考慮剩下的變量。例如5、“2004 福建卷”已知f (x)二孕工(xgr)在區(qū)間1, 1上是增函數(shù),實(shí)數(shù)a的值組成 x2 +2的集合a；設(shè)關(guān)于x的方程f(x)二丄的兩個非零實(shí)根為xi、&試問：是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等 式 m2+tm+l m xi x2i 對任意 aea 及 t w 1, 1恒成立?解析：本題中“ m ”是參數(shù)，“?！迸c“/ ”均是變量，先把“ t ”當(dāng)作參數(shù)，則n?+tm+l為參數(shù), 所以 m2+tm+l

7、 |xi x2|對任意 aa 恒成立+ -|niax，容易求 a二a| lwawl 而 xi x21 二 j(兀+ 七)2 4兀尤2 二 jd彳 + 8 . * 1 wa.w1,xix2 = yl+ 8 w3.所以m2+tm+13對任意te-l, 1恒成立,此時(shí) 變量只剩“嚴(yán)，考察“嚴(yán) 的函數(shù)設(shè)g (t) =m2+tm2=mt+ (m2 2)是關(guān)于t的一次函數(shù)，觀察一次函數(shù)圖形知道g(l)=m2m20, g(l)=m24-m20 解得 mm2 或 mw2。4. 一些較為隱蔽的“恒成立問題、有解問題”(1) 一些較為隱蔽的“恒成立問題”%1 出現(xiàn)類似“在區(qū)間d上單調(diào)遞增(遞減)”的有關(guān)問題，其求

8、解策略利用以卞結(jié)論：/(%)在d上單調(diào)遞增，則.廠(x)2 0在d上恒成立于(兀)在d上單調(diào)遞減，則fx)<0在d上恒成立%1 定值問題，其求解策略利用以下結(jié)論：f(x) = anxn+ + 絢+ + a。為定值 o an = an_ =. = % = 0例如6、在半面直角坐標(biāo)系xoy中,過定點(diǎn)c(0, p)作直線與拋物線f =2p.y(p>0)和交于a、b兩點(diǎn)，是否存在垂直于y軸的直線/,使得/被以ac為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求 出/的方程;若不存在，說明理由.解析：假設(shè)滿足條件的直線/存在，其方程為)=0，人(坷,x)利用垂徑定理可以求出弦長為i pq = 他一彳

9、）+4a（"一a）令 q-彳=° ,得。=£，此吋pq = p為定值，故滿足條件的直線/存在，其方程切咄函數(shù)對稱問題，其求解策略利用以下結(jié)論:/(x)關(guān)于(a,b)對稱 o /o) + /(2d-兀)=2b恒成立/(兀)關(guān)于x = a對稱 o f(x) = f(2a-x)例如7、設(shè)函數(shù)/(x) = ax + !(a, bwz),曲線y = f(x)在點(diǎn)(2, /(2)處的切線方程為y二3函x + b°°數(shù)y = f(q的圖像是一個中心對稱圖形，求其對稱中心；解析：容易求 /(x) = x + , /(x) = x +一關(guān)于(a,b)對稱 o f

10、(x)- f(2a -x) = 2b恒成立x-x-/(x) + f(2a -x) = 2b恒成 '/1 <=> x +2a-x +j= 2/?恒成、'/：x 12a x u> (2b - 2a)x2 + 2(2b 一 2a)ax + (2ci 一 2b)(2a 一 1) + 2a - 2 = 0恒成立o (2b 一 2a) = 0,2(2b - 2a)a = 0, (2a 一 2b)(2a-l) + 2a-2 = 0 恒成立解得a=b = ,所以/(x) = x + !關(guān)于(1,1)對稱x-1函數(shù)單調(diào)性的逆運(yùn)用問題，其求解策略利用以下結(jié)論：x < x2,

11、/(xj) < /(x2) <=> /(兀)為增函數(shù) o fx)>0 恒成立兀1 < x2,/(xj) > /(x2) «> /(x)為減函數(shù)o .廠5 0恒成立例如8、“2011 福建省質(zhì)檢”已知函數(shù)/(x) = x + -+ln,令g(x) = /z(x),問是否存在實(shí)數(shù)k, 使得函數(shù)gd)的圖彖上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于k,若存在，求k的取值范圍；若不存 在，說明理由.>k解析：在函數(shù)g(兀)任取兩點(diǎn)a(xliy1b(x2,y2xl <x2 函數(shù)g(q的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于koo y2 一 開 >

12、kx2-kxx <=> y2 - kx2 > y - kx o g(x2)-kx2 > goj-hq構(gòu)造 h(x) = g(x)-kx 9 則 h(x2) > fi(xj <=> 方(兀)為增函數(shù) o fi'(x) > 0恒成立函數(shù)最值的逆運(yùn)用，其求解策略利用以下結(jié)論：/(%)最大值為m u> /(x) < m恒成立/(%)最小值為加o /(x) > m忙(成立 例如，9、設(shè) agr,函數(shù) f(x) = ax3-3x2,若函數(shù) g(x) = /(x) + /z(x), xg 0, 2,在 x二0 處取得最犬 值，求a的取

13、值范圍.解析：這題若從函數(shù)g(x)單調(diào)性入手非常麻煩，涉及到字母討論，但若轉(zhuǎn)化為恒成立問題就很簡 單，避免了字母討論,即如下轉(zhuǎn)化：等價(jià)于g(x)wg(o)=o在0,2上恒成立,然后采取分離參數(shù)法容易求出。的取值范圍是1 o0(2) 一些較為隱蔽的“有解問題”%1 出現(xiàn)類似“/(兀)在區(qū)間d上存在增區(qū)間(減區(qū)間)”冇關(guān)問題，英求解策略利用以下結(jié)論：/(x)在區(qū)間d上存在增區(qū)間，則> 0在d上有解于(兀)在區(qū)間d上存在減區(qū)間，則兀)<0在d上有解例如12、/(x) = x2-l-alnx在1,2存在增區(qū)間，求a范圍解析：本題o廣=2兀+纟>0在(1,2)有解%1 “兩函數(shù)圖形至少

14、有一個交點(diǎn)(有交點(diǎn))”問題，其求解策略利用以下結(jié)論：y = /(兀)圖象與y = g(o圖象有交點(diǎn)o /(%) = g(x)有解o f(x)-g(x)=0有解例如 13> 已知函數(shù) f (x) =2cos2x+cos x 1, g(x) =cos2x+a(cos x +1) cos x 3.若 y = f (x) 與y = g(x)的圖象在(0, ji)內(nèi)至少有一個公共點(diǎn)試求a的取值范圍解析： 本題o fo)= g(x)在(0,兀)有解 oq = w x + 2二cos無+ 1 + 1在(0,龍)冇解cos x + 1cos x 4-1%1 存在性、探究性問題，“是否存在”可以轉(zhuǎn)化為“是否有解”3x,a = f(x) o a = f (兀)有解o a w f (兀)值域不存在兀,a = /(x) <=> a = f (兀)無解o a e /(x)值域例如10、“2011 福建卷”已知a, b為常數(shù)，且aho,函數(shù)f(x) = -x + b + axinx,/(e) = 2 ,是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和m(m<m),使得對每一個t e m, m,直線y二t與曲線y=f(x)(x g -,e )都有 _e _公共點(diǎn)，若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由