數(shù)列與不等式交匯題型

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查 .主要考查知識重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.此類題型主要考查學(xué)生對知識的靈活變通、融合與遷移， 考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能如考查數(shù)列與不等式恒成立條件下的參數(shù)問題、考查數(shù)列與不等式交匯的探索性問題等等.雜在近年高考中,比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn).數(shù)列解答題的命題熱點(diǎn)是

2、與不等式交匯,呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.其中 ,以函數(shù)與數(shù)列、 不等式為命題載體,有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應(yīng)用性解答題.要掌握考試動(dòng)態(tài)必先了解考試要求，知己知彼方能百戰(zhàn)不殆：1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)2理解等差數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。4理解不等式的性質(zhì)及其證明5掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不

3、小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用6掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式7掌握簡單不等式的解法及理解不等式 a b a+b a + b近年數(shù)列與不等式交匯題考察點(diǎn)：1以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯.2以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對較大 .3將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想 .學(xué)習(xí)必備歡迎

4、下載典例分析題型一求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù) f(x)在定義域?yàn)?D，則當(dāng) x D 時(shí)，有 f(x) M恒成立f(x)min M； f(x)M恒成立f(x)maxM； (2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.【例 1】等比數(shù)列 an的公比 q 1，第 17項(xiàng)的平方等于第24 項(xiàng)，求使 a1 a2 1 1 1 恒成立的正整數(shù)n 的取值范圍 .an a1a2an【分析】利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1 與公比 q 之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡不等式，

5、進(jìn)而通過估算求得正整數(shù)n 的取值范圍 .【解】由題意得： (a1q16)2 a1q23， a1q9 1.由等比數(shù)列的性質(zhì)知： 數(shù)列 1 是以1 為首項(xiàng)，以 1為公比的等比數(shù)列， 要使不等式成立，aaqn1n11 n11( ) 1)1q，把 a12 q18 代入上式并整理，得q 18(qn 1) q(11n )，則須 a (q aq 11q1qqn q19， q 1， n 19，故所求正整數(shù)n 的取值范圍是 n20.【點(diǎn)評】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡，用不等式知識求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【例 2】設(shè)數(shù)列 an 的前

6、 n 項(xiàng)和為 Sn已知 a1 a， an+1 Sn 3n ， n N* ( )設(shè) b nSn 3n，求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；（）若 an+1 an， n N* ，求 a 的取值范圍【分析】第（）小題利用Sn 與 an 的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（）小題將條件 an+1 nmina轉(zhuǎn)化為關(guān)于 n 與 a 的關(guān)系，再利用a f(n)恒成立等價(jià)于 a f(n) 求解【解】( )依題意， Sn+1nn+1nn，即 Sn+1nn， S aS 32S3由此得 Sn+1 2(Snn+13n 3 )因此，所求通項(xiàng)公式為bnSn 3n (a 3)2 n 1， n N*,( )由知 Sn 3n (a 3)2

7、n 1， n N* ，于是，當(dāng) n2時(shí)， an Sn Sn 1 3n (a 3)2 n 1 3n 1 (a3)2 n 2 2×3n1 (a 3)2 n 2，n1 (a 3)2n 2 2n 23 n 2an+1 an 4×3·12 (·) a 3，23 n 23 n 2 a 30， a9，當(dāng) n2時(shí)， an+1an，即 2 n 2·12 (·) a 3 0， 12·( )22綜上，所求的 a 的取值范圍是 9， 【點(diǎn)評】一般地，如果求條件與前n 項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn 與 an的關(guān)系求解 .本題求參數(shù)取值范圍的

8、方法也一種常用的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視.題型二數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2) 分學(xué)習(xí)必備歡迎下載析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例 3】已知數(shù)列 an是等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn， a3 7， S4 24 ( )求數(shù)列 an1的通項(xiàng)公式； ( )設(shè) p、 q 都是正整數(shù)，且 pq，證明： Sp+q (S2p S2q)2【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)公式和建立方程組即可解決第 ( )小題；第

9、 ( )小題利用差值比較法就可順利解決.【解】（ ）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差是 d，依題意得，a1 2d 7，解得a1 3，4a1 6d 24d 2 數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an a1 (n 1)d 2n 1.（ ）證明： an 2n 1， Sn n(a1 an) n2 2n 22Sp+q (S2p S2q)2(p q)2 2(p q) (4p2 4p) (4q2 4q) 2(p q)2，1 pq， 2Sp+q (S2p S2q) 0， Sp+q 2(S2p S2q)【點(diǎn)評】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（ 2）化平方和的形式； （ 3）如果

10、涉及分式，則利用通分；（ 4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化 .【例 4】設(shè)數(shù)列 an1n+1n3 1 c， c N* ，其中 c 為實(shí)數(shù) .( )證明：滿足 a 0， a caan 0，1對任意 n N* 成立的充分必要條件是c 0，1；()設(shè) 0 c1，證明：a(3c)n 1，3n11，證明： a 2a 2 a 2 n 12， n N*.n N* ；（ ）設(shè) 0 c 312n13c【分析】第（ 1）小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（ 3）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前n 項(xiàng)和求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮 .【解】（ ）必要性： a10

11、， a2 1 c，又 a2 0， 1， 01 c1，即 c 0， 1.充分性：設(shè) c 0， 1，對 n N* 用數(shù)學(xué)歸納法證明an 0， 1.(1)當(dāng) n 1 時(shí)， a 0， 1.1(2)假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)， a 0， 1(k成1)立，則kak 1 cak3 1 cc1 c 1，且 ak 1 cak3 1 c1 c0， ak 1 0，1，這就是說 n k 1 時(shí)， an 0， 1.由（ 1）、（ 2）知，當(dāng) c 0， 1時(shí)，知 an 0， 1對所胡 n N* 成立 .綜上所述， an 0， 1對任意 n N* 成立的充分必要條件是c0， 1.（ ）設(shè) 0 c1，當(dāng) n 1 時(shí)， a1 0，結(jié)論

12、成立 .3當(dāng) n2時(shí)，由 ann13 1 c， 1 ann1n1n12) cac(1 a)(1 a a學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 0 c 3，由 ( )知 an 1 0，1，所以 1 an 1 an 12 3，且 1 an 10， 1an 3c(1 an 1)，2n 1n 1， an1(3c)n 1 1 an 3c(1 an 1) (3c)(1 an 2 ) (3c)(1 a1)(3c)， n N*.12( )設(shè) 0 c3，當(dāng) n 1時(shí)， a12 0 21 3c，結(jié)論成立 .當(dāng) n2時(shí)，由（ ）知 ann 10，1(3c) an2 (1 (3c)n 1) 21 2(3c)n 1 (3c)(n 1) 1

13、2(3c) n 1，a12 a22 an2 a22 an2 n 123c (3c)2 (3c)n 1 n 1 21 3c (3c)2 (3c)n 1 1 n 121 (3c)n n 121 3c1 3c.【點(diǎn)評】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點(diǎn)占有一席之地，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意 .本題的第 ( )小題實(shí)質(zhì)也是不等式的證明，題型三 求數(shù)列中的最大值問題求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.

14、【例 5】(08 ·四川高考 )設(shè)等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S4 10， S5 15，則 a4 的最大值為 _.【分析】根據(jù)條件將前4 項(xiàng)與前5 項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1 與公差 d 的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4 的最大值 .【解】 等差數(shù)列 ann45的前 n 項(xiàng)和為 S ，且S 10，S 15，4×35 3d3d 53dS4 4a1 2 d 10a1 3d5415×4 ，即1 2d， a a 3d 22 ，S5 5a1 2 d 15a3a4 a1 3d (a1 2d) d3 d5 3d a43d，則 5

15、3d6 2d，即 d 1.2 a43 d31 4，故 a4 的最大值為 4.【點(diǎn)評】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來求最值的，其中確定數(shù)列的公差 d 是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.【例 6】等比數(shù)列 an11 ( )設(shè) f(n)表示該數(shù)列的前 n的首項(xiàng)為 a2002 ，公比 q 2項(xiàng)的積，求 f(n) 的表達(dá)式； ()當(dāng) n 取何值時(shí)， f(n)有最大值【分析】第( )小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列an的通項(xiàng)，再求得 f(n)的表達(dá)式；第 ( )小題通過商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過比較求得最值.( )an 2002 ·(1)n 1， f(n)

16、1 n(n 1)【解】22002 n·( ) 22( )由 ( )，得 |f(n 1)| 2002n ，則|f(n)|2學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) n10時(shí)，|f(n 1)|20021， |f(11)| |f(10)| |f(1)| ，|f(n)|2n當(dāng) n11時(shí)， |f(n 1)| 2002n1， |f(11)| |f(12)| |f(13)| ，|f(n)|2 f(11) 0， f(10) 0， f(9) 0， f(12) 0， f(n) 的最大值為f(9) 或 f(12) 中的最大者121)66f(12)2002 ·(120022)30 (f(9)1 20023·(

17、210 )3 1，220029·( )362當(dāng) n 12時(shí)， f(n)有最大值為12166f(12) 2002 ·( )2【點(diǎn)評】本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12) 與 f(9)的大小 .整個(gè)解答過程還須注意f(n)中各項(xiàng)的符號變化情況 .題型四求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略： 先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立， 以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾， 則假設(shè)不成立，從而得到 “否定 ”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得

18、到存在的結(jié)果.【例 7】已知 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 an Sn 4.( )求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列； ( )S 2k+1是否存在正整數(shù)k，使 Sk 22成立.【分析】第 ( )小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an +1n的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列n與 aa 為等比數(shù)列；而第 ( )小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性 .【解】()由題意， Sn an 4，Sn+1 an+1 4，由兩式相減，得 (Sn+1n+1)nn) 0，即n+1nn+1 1n a(S a2a a 0，a 2a ，又 2a1111 2，數(shù)列n11的等比數(shù)列 . S a 4， a a 是以

19、首項(xiàng)a 2，公比為 q2121 (2)n2n( )由 ( )，得 Sn.14212k+12 2，得 421 k22 211 3，又由 Sk2 k2 2，整理，得k 1，即 1 2 k4 232S 2 k N* ， 2k1 N* ，這與2k 1 (1，3)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立 .2【點(diǎn)評】本題解答的整個(gè)過程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k N* ”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個(gè)陷阱.2【例 8】已知數(shù)列 an和bn 滿足： a1 ， an+1 3an n 4， bn ( 1)n(an 3n 21)，其中 為實(shí)數(shù)， n 為正整數(shù) .（ ）對任意實(shí)數(shù) ，證明數(shù)列 an

20、不是等比數(shù)列； （ ）試判斷數(shù)列 b n是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （ ）設(shè) 0 ab,Sn 為數(shù)列 b n的前 n 項(xiàng)和 .是否學(xué)習(xí)必備歡迎下載存在實(shí)數(shù) ，使得對任意正整數(shù)n，都有 a Sn b?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由 .【分析】第 ( )小題利用反證法證明；第( )小題利用等比數(shù)列的定義證明；第( )小題屬于存在型問題，解答時(shí)就假設(shè)a Sn b 成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù).【解】（ ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 an是等比數(shù)列，則有22 a13aa ，即244424 9 0，矛盾，所以 a(3 3)2 (2 49n不是等比數(shù)列 .9 4)99( )解：因?yàn)?bn+1(1)n+1an+11) 21 3(nn+1222(1)(3a n 2n14) 3(a n3n21) 3b n，又 b1 ( 18)，所以當(dāng) 18 時(shí)