高等數(shù)學(xué)課件：7-4向量的概念和運(yùn)算

1、三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的運(yùn)算二、向量的運(yùn)算 7.4 7.4 向量的概念和運(yùn)算向量的概念和運(yùn)算 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為起點，為起點，2M為終點的有向線段為終點的有向線段.模長為模長為1的向量的向量. .向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的概念零向量：零向量：模長為模長為0的向量的向量. . 0零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的向徑：向徑：起點在坐標(biāo)原點的向量起點在坐標(biāo)原點的向量. . 12aM M 或

2、或 1M2M12aM M 或或 自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. . 可以平行移動可以平行移動. .負(fù)向量：負(fù)向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a相等向量：相等向量：ab大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .平行向量：平行向量：方向相同或者相反的兩個向量（方向相同或者相反的兩個向量（共線共線）. .ba/向量共面：向量共面：零向量可認(rèn)為與任何向量平行零向量可認(rèn)為與任何向量平行. .(3).kkkk 設(shè)設(shè)有有 個個向向量量，當(dāng)當(dāng)把把它它們們的的起起點點放放在在同同一一點點時時，如如果果 個個終終點點和和公公共共起起點點

3、在在同同一一個個平平面面上上，則則稱稱這這 個個向向量量共共面面, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 空間兩向量的夾角空間兩向量的夾角OAB當(dāng)當(dāng) 時，稱時，稱 規(guī)定零向量與任意向量垂直規(guī)定零向量與任意向量垂直.2 非零向量與三條坐標(biāo)軸正方向的夾角稱為非零向量與三條坐標(biāo)軸正方向的夾角稱為方向角方向角. .方向角與方向余

4、弦方向角與方向余弦非零向量非零向量 的的方向角方向角：a方向角的余弦稱為向量的方向角的余弦稱為向量的方向余弦方向余弦. .方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. . 、 、xyzo 1M 2M 0 ，0 ，0. 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若abac分為同向和反向分為同向和反向ac（三角形法則）（三角形法則）二、向量的運(yùn)算二、向量的運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法abcbbcab cab 向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1) 交換律：交換律：.abba (2) 結(jié)合律：結(jié)合律：cbacba )(

5、).(cba (3) abcba cba bc (4) . 0)( aa0.aa 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2. 向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式.abab OAB對對空空間間中中任任意意三三點點 ， ， ，都都有有 ABOBOA ABAOOB OBAO OBOA , 0)1( , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，a2a21 3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法aaa aa 同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除

6、以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個一個與原向量同方向的單位向量與原向量同方向的單位向量.0aa a 0.aaa (1) 結(jié)合律：結(jié)合律：)()(aa a)( (2) 分配律：分配律：aaa )(baba )(0.ababa 設(shè)設(shè)向向量量，則則向向量量 平平行行 的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù) ，使使定定理理兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：證證明明 (1) 充充分分性性：00b 當(dāng)當(dāng)時時，；0baa 當(dāng)當(dāng)時時，與與 同同向向；0baa 當(dāng)當(dāng)時時，與與 反反向向. .(2)

7、 必必要要性性：00b 當(dāng)當(dāng)時時，令令；ba 如如果果 與與 同同向向，00ba 則則0bb b 因因此此 0b a 0abaa baa ba 令令 = =；00baba 如如果果 與與 反反向向，則則0bb b 因因此此 0b a 0abaa baa .ba 令令 = =- -(3) 唯唯一一性性：baba 設(shè)設(shè)，且且，0aa 則則 ()a 0a 0aa 由由于于 為為非非零零向向量量， 0 ，. 即即 例例1解解.252ba 135().25baabb 化化簡簡 135()25baabb 5(13)( 11)2ab 例例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分

8、的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.AD與與 平行且相等，平行且相等，BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab證明證明 AMMC BMMD AD AMMD MCBM BMMC BC 例例3 試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形邊中點的連線構(gòu)成平行四邊形.ABCDEFGH證明證明EFHG 只只須須證證 EF EBBF 1122ABBC 12AC HG HDDG 1122ADDC 12AC 與與 平行且相等，平行且相等，結(jié)論得證結(jié)論得證.EF HG 思考題思考題ABCDMab已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的對角線的對角線試用試用

9、表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量.ba, ACa BDb ，解解DCAB 1().2ab AMMB AMBM BCAD 1().2ab AMMD 4. 兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積實例實例cosWF s (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示 兩向量作這樣的運(yùn)算，兩向量作這樣的運(yùn)算， 結(jié)果是一個數(shù)結(jié)果是一個數(shù).定義定義cosa ba b ab 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：2(1).a aa 證明證明0 ，cosa aa a 2.a (2)0a b .ab 證明證明0cos0a ba b 00cos0

10、ab 或或或或.ab (3) ( , )arccos( ,0)a ba ba ba b 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1) 交換律交換律：(2) 分配律分配律：;)(cbcacba (3) 結(jié)合律：結(jié)合律：;abba ()()(),ababa b () ()().aba b 向量在軸上的投影向量在軸上的投影 uOe.Oeu 設(shè)設(shè)點點 及及單單位位向向量量 確確定定 軸軸rOMrMuuMMMu 任任給給向向量量 ，作作，在在過過點點作作與與 軸軸垂垂直直的的平平面面，交交 軸軸于于點點 （點點稱稱為為點點在在 軸軸上上的的投投影影點點），OMru 則則向向量量稱稱為為向向量量

11、 在在 軸軸上上的的分分向向量量（或或投投影影向向量量），r MM OMeru 設(shè)設(shè)，則則稱稱數(shù)數(shù) 為為向向量量在在 軸軸上上的的投投影影，Pr.uj r 記記作作 向量投影的性質(zhì)向量投影的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 0Praaa baj b 若若，則則 性質(zhì)性質(zhì)2 .PrPr)(Prbjajbajuuu 性質(zhì)性質(zhì)3 性質(zhì)性質(zhì)4Prcos.uj aaau ，其其中中 為為向向量量 與與 軸軸的的夾夾角角Pr()Pr.uujaj a 0Prbba bbj a 若若，則則Prba bj ab ；Pr.aa bj ba 證明證明例例4()() a c bb c ac ()()a c b cb c a c ()(

12、)()()a c b cb c a c 0 ()() a c bb c ac 解解例例523321( , )PrPr.3BAAabBababa bA Bj Bj A 設(shè)設(shè)， 求求，(23 ) (3)A Babab 232333aaa bbab b 22673aa bb cos( , )a ba ba b1 28 PrAj B A BB A BA A 2837 PrBj A A BA A BB B 2831 實例實例5. 兩向量的向量積兩向量的向量積LFPQO MOQ F sinOP F .MOPF 的的方方向向垂垂直直于于與與 所所決決定定的的平平面面，指指向向符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則定義定義

13、向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.abc sinca b 關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0 ba(1)0.a a abc 證明證明0 ，sina aa a 0. ba)2(/證明證明000ab 或或或或或或a b /0.ab sin0a b 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1) 反交換律：反交換律：(2) 分配律：分配律：.)(cbcacba (3) 結(jié)合律：結(jié)合律：).()()(bababa abbac 向量積的幾何意義：向量積的幾何意義：.a bb a abab 表表示示以以 和和 為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. .例例6

14、設(shè)以向量設(shè)以向量 和和 為邊做平行四邊形，求平行為邊做平行四邊形，求平行四邊形中垂直于四邊形中垂直于 邊的高線向量邊的高線向量.abaabu解解u 設(shè)設(shè)高高線線為為 ，則則a bau uba ua 垂垂直直于于 ，0u a ()baa 即即 0b aa a 2a ba 2.b aubaa 解解sin( , )m nm nm n 4 2 18 ，(,)0m n p ()cosm npm np 8 324. 6. 向量的混合積向量的混合積定義定義關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：(1) 混合積的幾何意義：混合積的幾何意義：acbba )2(cbacba )(acb )(.)(bac (輪換對稱性

15、輪換對稱性). 0 cba 已知已知2 cba， 計算計算)()()(accbba .ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例8解解() () ()abbcca ()a ba cb bb cca x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點O空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示.ijk 在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，沿沿三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸方方向向各各取取一一個個單單位位向向量量， 以以 ， ，表表示示，稱稱為為

16、基基本本單單位位向向量量i j k ),(zyxM xyzorMOMr 任任給給向向量量 ，對對應(yīng)應(yīng)有有點點，使使，r )0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxCrOM OPPAAM OPOQOR ，OPxiOQyjORzk 設(shè)設(shè)， ， ，則則. kzj yi xOMr OAAM .kzj yi xOMr .rxiyjzkr 上上式式稱稱為為向向量量 的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分解解式式，、 、稱稱為為向向量量 沿沿三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸方方向向的的分分向向量量Mrxyz 點點、向向量量 與與三三個個有有序序數(shù)數(shù) 、 、 之之間間有有一

17、一一一對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系( , , ).MrOMxiyjzkx y z 有序數(shù)有序數(shù) x 、y 、z 稱為稱為向量向量 r 的坐標(biāo)的坐標(biāo),( , , )rx y z 記記作作；.rOMM 向向徑徑的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式與與其其終終點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)一一致致),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2. 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示)(kajaiazyx zzyyxxba

18、bababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k 設(shè)設(shè) ，a b ()xyzb ib jb kijk ，0ijj kk i ，1ijk ，1.i ijjk k ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k 設(shè)設(shè) ，0iijjkk，ijk， jki，kij，jik ，kji ，.ikj 向量積還可用三階行列式表

19、示向量積還可用三階行列式表示( 行列式計算見行列式計算見 P305P306 ) xyzxyzijkabaaabbb kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式xyzxyzxyzaa ia ja kbb ib jb kcc ic jc k 設(shè)設(shè) ， ，()abcabc yzxyxzxyzxzyzxyaaaaaacccbbbbbbxyzxyzxyzaaabbbccc 3. 其它坐標(biāo)表示其它坐標(biāo)表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ab 0a .xxyyzzababab，000.xyzaaa，aa a 222xyzaaa( ,

20、)arccosa ba ba b 222222arccos.xxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 2220 xyzaaa 當(dāng)當(dāng) 時時，coscos( , )a i a ia i 222xxyzaaaa ，222coscos( , )yxyzaa ja ja jaaa ，222coscos( , )zxyzaa ka ka kaaa ，特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為0aaa (cos ,cos ,cos ) /ab yzxxyzbbbaaa ab 0 xxyyzza ba ba

21、 b (,).yzxaaaaaa , ,a b c 共共面面0 xyzxyzxyzaaabbbccc M1M2oxyz起點不在原點的起點不在原點的向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)等于等于終點終點坐標(biāo)減去坐標(biāo)減去起點起點坐標(biāo)坐標(biāo)例例9解解1111222212(,)(,).Mxy zMxy zM M 設(shè)設(shè)已已知知，求求的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表達(dá)達(dá)式式1212OMOMM M 作作三三個個向向量量，如如圖圖11112222(,)(,)OMxy zOMxy z ，1221M MOMOM 212121(,).xxyy zz例例10解解(2, 1,7)(8,9, 12)34.AaABABB 從從點點沿沿向向量量的的方方向向取取

22、線線段段，使使，求求 點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)( , , )B x y z設(shè)設(shè)點點，ABka ，(2,1,7)ABxyz 則則34ABk a ，222891217a 而而，2(2,1,7)2(8,9, 12)kxyz， ，(18,17, 17).B點點坐坐標(biāo)標(biāo)為為ABMxyzo例例11解解111222(,)(,)(1).A xy zB xy zABMAMMB 設(shè)設(shè)已已知知兩兩點點和和以以及及實實數(shù)數(shù)，在在直直線線上上求求一一點點，使使得得( , , )M x y zAB設(shè)設(shè)為為直直線線上上的的點點，111(,)AMxxyyzz ，222(,)MBxxyyzz ，由題意知：由題意知：AMMB 11122

23、2(,)(,)xxyyzzxxyyzz 12()xxxx 121xxx ，12()yyyy 121yyy ，12()zzzz 121zzz ，121212.222xxyyzzxyz，解解cab xyzxyzijkaaabbb 324112ijk 105jk，221055 5c ，0ccc 21()55jk 21(0,).55 解解ABCD三角形三角形ABC的面積為的面積為(0,4, 3)AC ，(4, 5,0)AB ，12SABAC 14502043ijk 22211512162252 ，12SACBD 2214( 3)2BD 52BD 5.BD內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(,)(,)(,)xyzxyzxyzaaaabb b bccc c 設(shè)設(shè) ，1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減：加減：(,)xxyyzzabababab 數(shù)乘：數(shù)乘：(,)xyzaaaa 點積：點積：xxyyzza ba ba ba b 叉積：叉積：xyzxyzijkabaaabbb 混合積：混合積：()abcabc xyzxyzxyzaaabbbccc 2. 向量關(guān)系向量關(guān)系/ab yzxxyzbbbaaa 0ab ab 0 xxyyzza ba ba b 0a b , ,a b c 共共面面0 xyzxyzxyzaaabbbccc0abc 思考與練習(xí)