近世代數(shù)復(fù)習(xí)

1、一、選擇題(每題2分,共16分)1.若則下列說法正確的是2.假定是與間的一一映射,則和分別為3.若是群,則4.指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算5.設(shè)和都是非空集合,而是到的一個(gè)映射,那么6.設(shè)是正整數(shù)集合上的二元運(yùn)算,其中,那么在中7.在群中,則方程和分別有唯一解為 8.設(shè)是群的子群,且有左陪集分類.如果,那么9.設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（ ）個(gè)元素。10.設(shè)ABR(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：xx2，xR，則是從A到B的11.設(shè)Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（ ）個(gè)。12、G是12階的有限群，H是G的子群，則H

2、的階可能是 13、下面的集合與運(yùn)算構(gòu)成群的是 14、關(guān)于整環(huán)的敘述，下列正確的是 15、關(guān)于理想的敘述，下列不正確的是 16.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是17. 設(shè)M2(R)= a,b,c,dR，R為實(shí)數(shù)域按矩陣的加法和乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán)，那么這個(gè)方陣環(huán)是18. 設(shè)Z是整數(shù)集，(a)= ，則是R的19、設(shè)A=所有實(shí)數(shù)x，A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集 的同態(tài)滿射的是(       ).20、設(shè)是正整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）21.設(shè)=（1），（1 2），（1 3），（2 3）

3、，（1 2 3），（1 3 2），則 中與元（1 2 3）不能交換的元的個(gè)數(shù)是(       )22、設(shè)為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）23、設(shè)是有限群的子群，且有左陪集分類。如果6,那么的階16.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是(      ).24、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（ ）25. 設(shè)A=所有非零實(shí)數(shù)x,A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集推薦精選的同態(tài)滿射的是( ).26. 在3次對(duì)稱群

4、S3中，階為3的元有( ).27剩余類環(huán)Z6的子環(huán)有( ).28、設(shè)和都是群中的元素且，那么（ ）二、填空題(每題2分,共22分）1.設(shè)是集合,則可共定義 個(gè)從到的映射,其中有 個(gè)單射,有 個(gè)滿射,有 個(gè)雙射.2.設(shè)群,若存在則 ,子群在中的指數(shù)是 .3.設(shè)且,則群的非平凡子群的個(gè)數(shù)為 .4.在模9的剩余類環(huán)中, , ,方程的所有根的集合為 .5.環(huán)的全部零因子為 .6.在5次對(duì)稱群中, , , .7.整數(shù)加群是一個(gè)循環(huán)群,它的生成元為 .8.設(shè)集合,則 . 9.如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則 .10.設(shè)集合有一個(gè)分類，其中與是的兩個(gè)類，如果，那么 .11.一個(gè)有限非交換群至少含有 個(gè)元

5、素.12.如果是集合的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,是兩個(gè)等價(jià)類,則的充要條件是 .11.設(shè)是階循環(huán)群(是素?cái)?shù)),則的生成元有 個(gè).12.群的元的階是,若是正整數(shù)和的最大公因子,則的階是 .13.在無零因子環(huán)中,如果對(duì)有,那么必有 . 14.某個(gè)非空集合上具有對(duì)稱性、傳遞性和 的一個(gè)二元關(guān)系是等價(jià)關(guān)系15.設(shè)5-循環(huán)置換那么 .16.設(shè)群中元素的階為,如果,那么與之間存在的關(guān)系為 . 17.設(shè)集合,則有 .18.設(shè)集合有一個(gè)分類,其中與是的兩個(gè)類,如果,那么 .19.環(huán)的全部零因子為 .推薦精選20.在模9的剩余類環(huán)中,方程的所有根的集合為 .21.一個(gè)有限非交換群至少含有 個(gè)元素.22.剩余類加群Z1

6、2有_個(gè)生成元.23、設(shè)群G的元a的階是n，則ak的階是_.24. 6階循環(huán)群有_個(gè)子群.25、設(shè)為群，若，則_。26. 模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有_個(gè).27. 設(shè)A=a,b,c，則A到A的一一映射共有_個(gè).28、n次對(duì)稱群Sn的階是。29、9-置換分解為互不相交的循環(huán)之積是。30.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S=0,2,4，則S的單位元是_.31.中的所有可逆元是：_.32、凱萊定理的內(nèi)容是：任一個(gè)子群都同一個(gè)_同構(gòu)。33. 設(shè)為循環(huán)群，那么（1）若的階為無限，則同構(gòu)于_，（2）若的階為n，則同構(gòu)于_。34. 在整數(shù)環(huán)中，=_； 35. 設(shè)為群的子群，則是群的子群的充分必要條件為_。36、除環(huán)的理想共

7、有_個(gè)。37. 剩余類環(huán)Z5的零因子個(gè)數(shù)等于_.38、已知為上的元素，則_。31. 每一個(gè)有限群都與一個(gè)_群同構(gòu)。39. 整數(shù)加群Z有_個(gè)生成元.40、設(shè)Z11是整數(shù)模11的剩余類環(huán)，則Z11的特征是_.41. 設(shè)群G=e，a1，a2，an-1，運(yùn)算為乘法，e為G的單位元，則a1n =_.42. 剩余類環(huán)Zn是域n是_.43、設(shè)Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整數(shù)模7的剩余類環(huán)，在Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.三、判斷題(每空2分,共12分)1.群中的元的階都有限的群一定是有限群. 2.如果是群的一個(gè)非空子集,則是群的子群的充分必要條件是. 3.設(shè)是群的不變子群,則. 4.設(shè)

8、是有限群的子群,則的左陪集個(gè)數(shù)與右陪集個(gè)數(shù)相等. 5.如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律和交換律,那么在里,元的次序可以掉換. 6.域的每一個(gè)元素皆有逆元.7.任意集合與其真子集之間皆不能有一一映射存在. 8.若都是群的子群,則也是群的子群. 推薦精選9.整除關(guān)系是整環(huán)的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.10. 是的子域.11.循環(huán)群有且僅有一個(gè)生成元.12.無限群中存在階是有限的元素.13.如果非空集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律和交換律,則在里,元的次序可以掉換. 14.設(shè)環(huán)的加群是循環(huán)群,那么環(huán)必是交換環(huán). 15.設(shè)是有限群的子群,則的左陪集個(gè)數(shù)與右陪集個(gè)數(shù)相等.16、設(shè)、都是非空集合，則到的每個(gè)映射

9、都叫作二元運(yùn)算。17、除環(huán)中的每一個(gè)元都有逆元。18、如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。19、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。20、域是交換的除環(huán)。21、在環(huán)同態(tài)下，零因子的象可能不是零因子。22、設(shè)f：是群到群的同態(tài)滿射，a，則a與f (a)的階相同。23、一個(gè)集合上的全體一一變換作成一個(gè)變換群。24、循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。25、整數(shù)環(huán)是無零因子環(huán)，但它不是除環(huán)。26、一個(gè)環(huán)若沒有左零因子，則它也沒有右零因子。27、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。28、如果環(huán)的階，那么的單位元。29、指數(shù)為2的子群不是不變子群。（ ）30、有限群中每個(gè)元素的階都整除群的階。

10、31、對(duì)于環(huán)R,若是的左零因子,則必同時(shí)是的右零因子. 32、剩余類是無零因子環(huán)的充分必要條件是為素?cái)?shù). 四、證明題（共20分) 1.設(shè),證明:(1)對(duì)普通乘法做成群.(2),但不是的正規(guī)子群. 2.3.4.5.證明關(guān)于通常的數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)沒有單位元的交換環(huán).6在群 中, 對(duì)任意 , 方程 與 都有唯一解. 7全體可逆的  階方陣的集合 ()關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)非交換群. 這個(gè)群的單位元是單位矩陣推薦精選.每個(gè)元素(即可逆矩陣) 的逆元是 的逆矩陣 . 8  ，。那么H是的一個(gè)子群。9一個(gè)群G的一個(gè)不空有限子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是： 1

11、0 設(shè) 是所有 階可逆矩陣關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成的群. 是所有行列式等于1的 階矩陣所組成的集合. 則 是 的子群.11群 的任何兩個(gè)子群的交集也是 的子群. 12 設(shè) 為 的子群. 則 在 中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同.13有限群 的任一元素的階都是群 的階數(shù)的因子.14 設(shè) 與 為群, 是 與 的同構(gòu)映射, 則    (1) 如果 為 的單位元, 則 為 的單位元;    (2) 任給 , 為 的逆元, 即 15如果 是交換群, 則 的每個(gè)子群 都是 的正規(guī)子群.  16 設(shè) 為群

12、 的子群. 若 , 那么 .17 設(shè) , , 則 .    18群 的任何兩個(gè)正規(guī)子群的交還是 的正規(guī)子群.19設(shè)為環(huán). 證明 的中心是 的子環(huán).20設(shè)與是群, 是 到 的滿同態(tài).如果是 的正規(guī)子群, 則是 的正規(guī)子群.21設(shè)，的階為，證明的階是，其中。22設(shè)是循環(huán)群，G與同態(tài)，證明是循環(huán)群。23 證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。24 假定和是一個(gè)群G的兩個(gè)元，并且，又假定的階是，的階是，證明：的階是。25假定H是G的子群，N是G的不變子群，證明HN是G的子群。26設(shè)是一個(gè)環(huán), 如果 有單位元, 則 的單位元是唯一的. 的單位元常記作.  

13、;    27、設(shè)為實(shí)數(shù)集，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，作成一個(gè)群。28全體偶數(shù) 關(guān)于通常的數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)沒有單位元的交換環(huán).29、設(shè)群G的每個(gè)元素x都適合方程x2= e，這里e是G的單位元，求證：G是交換群。30 證明數(shù)集 關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)有單位元的交換環(huán).31 在一個(gè)無零因子環(huán)中, 兩個(gè)消去律成立. 即設(shè) , , 如果 , 或 , 則 .32、群G的兩個(gè)子群的交集還是G的子群。33 證明 為域.34、設(shè)R是階大于1的交換環(huán)。證明：當(dāng)R不含零因子時(shí)，Rx亦然。 35 在一個(gè)沒有零

14、因子的環(huán)里所有不等于零的元對(duì)于加法來說的階都是一樣的。    36、若R環(huán)的特征為素?cái)?shù),且R可交換,則有 .37 如果無零因子環(huán)的特征是有限整數(shù)，那么是一個(gè)素?cái)?shù)。推薦精選38、求證：若a生成一個(gè)n階循環(huán)群G，k與n互素，則ak也生成G。39 設(shè) 為 的非空子集. 證明: 為 的子環(huán)的充分必要條件時(shí), 存在非負(fù)整數(shù) , 使得40、求證：一個(gè)至少有兩個(gè)元而且沒有零因子的有限環(huán)是一個(gè)除環(huán) 。 五、計(jì)算題(共20分) 1.2設(shè)按順序排列的13張紅心紙牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K經(jīng)一次洗牌后牌的順序變?yōu)?,K,8,A,4,10,Q,J,7,5,6,2,9問:再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的?3設(shè) 為整數(shù)加群, ,求 4、找出，的所有子群。5試舉例說明，環(huán)中的m次與n次多項(xiàng)式的乘積可能不是一個(gè)m+n次多項(xiàng)式.6 將 表為對(duì)換的乘積.7.設(shè)是實(shí)數(shù)集,規(guī)定的元間的一個(gè)關(guān)系如下:.問是的元間的等價(jià)關(guān)系？8.設(shè)是模6的剩余類環(huán),且.如果,計(jì)算以及它們的次數(shù).9 在 中, 計(jì)算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .10 試求中的所有零因子與可逆元, 并確定每個(gè)可逆元的逆元素.11、舉例說明，非零因子的象