第64講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

1、第64講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布知識(shí)梳理一、離散型隨機(jī)變量的均值1概念：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平2性質(zhì)：若YaXb，其中Y也是隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是E(X)，則E(Y)_二、離散型隨機(jī)變量的方差1概念：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則(xiE(X)2描述了xi(i1，2，3，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度而D(X)_為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度我們稱D(X

2、)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記(X)2性質(zhì)：D(aXb)_證明：E(aXb)aE(X)b，D(aXb)(ax1baE(X)b)2p1(ax2baE(X)b)2p2(axibaE(X)b)2pi(axnbaE(X)b)2pna2(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pna2D(X)三、兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的均值和方差1兩點(diǎn)分布的均值和方差：若X服從成功概率為p的兩點(diǎn)分布，則均值E(X)_，方差D(X)_2二項(xiàng)分布的均值和方差：若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_四、正態(tài)分布1正態(tài)密度曲線：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為

3、參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線其中函數(shù)，(x)稱為正態(tài)密度函數(shù)，其中的參數(shù)是正態(tài)總體的均值，參數(shù)是正態(tài)總體的標(biāo)準(zhǔn)差2正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱；(3)曲線在x處達(dá)到峰值；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散的程度3正態(tài)分布：若X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任給區(qū)間(a，b，P(a<xb)恰好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上(a，b上方

4、所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布，簡記為XN(，2)疑難辨析1均值的意義(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均，反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平()(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的，樣本的均值是隨機(jī)變量，這是樣本的均值和隨機(jī)變量的均值的差別()2方差的意義(1)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均值的平均程度越小()(2)隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本方差是隨機(jī)變量()3對(duì)正態(tài)分布的理解(1)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)a<b，隨

5、機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，不同的和對(duì)應(yīng)著不同的正態(tài)分布()(2)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)就是隨機(jī)變量X的均值，它可以用樣本的均值去估計(jì)；參數(shù)2就是隨機(jī)變量X的方差，它可以用樣本的方差去估計(jì)()(3)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的求法例1 2012·湖北卷 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900

6、X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率 思考流程 (1)條件：各取值范圍的概率；目標(biāo)：求均值與方差；方法：先求分布列(2)條件：已知降水量X至少是300；目標(biāo)：求條件概率；方法：應(yīng)用條件概率的公式解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X<700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P

7、(X900)1P(X900)10.90.1，所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是E(Y)0×0.32×0.46×0.210×0.13，D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8，故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8. (2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300的條件下，工期

8、延誤不超過6天的概率是. 點(diǎn)評(píng) 計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值和方差，首先理解X，Y的取值對(duì)應(yīng)的事件的意義，再求X，Y取每個(gè)值的概率，列成分布列的形式，最后根據(jù)均值與方差的定義計(jì)算 求解離散型隨機(jī)變量均值與方差的步驟是：求出隨機(jī)變量X的所有可能的取值計(jì)算隨機(jī)變量X取各個(gè)值的概率，列出概率分布列按照均值的定義計(jì)算，注意適當(dāng)使用性質(zhì)E(aXb)aE(X)b.按照方差的定義計(jì)算若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則可直接應(yīng)用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解變式題 2013·濟(jì)寧模擬 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，

9、這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，摸出3個(gè)白球的概率；獲獎(jiǎng)的概率；(2)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i0，1，2，3)，則P(A3)·.設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則BA2A3，A2，A3互斥，P(A2)··，所以P(B)P(A2)P(A3). (2)方法一：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.P(X0)，P(X1)C21，P(X2).所以X的分布列是X012PX的數(shù)學(xué)期望

10、E(X)0×1×2×.方法二：2次游戲，條件都相同，每次摸球獲獎(jiǎng)的概率都是，相當(dāng)于2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則隨機(jī)變量XB，于是可依次得出P(X0)，P(X1)C21，P(X2)，所以X的分布列是X012PX的數(shù)學(xué)期望E(X)2×.考點(diǎn)二均值與方差的實(shí)際應(yīng)用例22012·課程標(biāo)準(zhǔn)卷 某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表

11、：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由思考流程(1)條件：已知售價(jià)與銷量的關(guān)系；目標(biāo)：求函數(shù)解析式；方法：分段求解(2)條件：已知日需求量的頻率；目標(biāo)：求分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；方法：頻率估計(jì)概率，求出X的各取值的概率條件：可求出兩隨機(jī)變量的期望與方差；目標(biāo)：對(duì)兩種方案作出選擇；方法：比較數(shù)學(xué)期望與方差解：(1)當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤y80，

12、當(dāng)日需求量n<16時(shí)，利潤y10n80，所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN) (2)X可能的取值為60，70，80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)60×0.170×0.280×0.776.X的方差為D(X)(6076)2×0.1(7076)2×0.2(8076)2×0.744.答案一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.

13、160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)<D(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花答案二：花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為

14、Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花點(diǎn)評(píng) 本題通過對(duì)生產(chǎn)生活問題的檢測，展示了數(shù)據(jù)的獲取、整理、分析過程，對(duì)于購進(jìn)方案的選擇，首先應(yīng)從利潤的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行比較，利潤的期望值高，購進(jìn)方案較好，再比較方差，方差小則獲得的利潤較穩(wěn)定 歸納總結(jié)解決此類題目的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，求得

15、該事件發(fā)生的概率；隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)生活實(shí)際中用于方案取舍的重要方法，一般先比較均值，再考慮方差變式題 現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目，投資A項(xiàng)目100萬元，一年后獲得的利潤為隨機(jī)變量X1(萬元)，根據(jù)市場分析，X1的分布列為X11211.811.7P投資B項(xiàng)目100萬元，一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整(價(jià)格上調(diào)或下調(diào))有關(guān)，已知B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，且在每次調(diào)整中價(jià)格下調(diào)的概率都是p(0p<1)經(jīng)專家測算評(píng)估B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的下調(diào)與一年后獲得相應(yīng)利潤的關(guān)系如下表：B

16、項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)下調(diào)次數(shù)X(次)012投資100萬元一年后獲得的利潤X2(萬元)1312.52(1)求X1的方差D(X1)；(2)求X2的分布列；(3)若p0.3，根據(jù)投資獲得利潤的差異，你愿意選擇投資哪個(gè)項(xiàng)目？(參考數(shù)據(jù)：1.22×0.490.72×0.429.82×0.099.555)解：(1)由X1的概率分布為X11211.811.7P則E(X1)12×11.8×11.7×11.8.D(X1)(1211.8)2×(11.811.8)2×(11.711.8)2×0.01.(2)方法一：由題設(shè)得XB(

17、2，p)，則X的概率分布為X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布為X21312.52P(1p)22p(1p)p2方法二：設(shè)A1表示事件“第i次調(diào)整，價(jià)格下調(diào)”(i1，2)，則P(X0)P(A1)P(A2)(1p)2；P(X1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)2p(1p)；P(X2)P(A1)P(A2)p2，故X2的概率分布為X21312.52P(1p)22p(1p)p2 (3)當(dāng)p0.3時(shí)，E(X2)E(X1)11.8，由于D(X1)0.01，D(X2)9.555.所以D(X2)>D(X1)，當(dāng)投資兩個(gè)項(xiàng)目的利潤均值相同的情況下，投資B項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)高于A項(xiàng)目，從獲得穩(wěn)

18、定收益考慮，當(dāng)p0.3時(shí)應(yīng)投資A項(xiàng)目考點(diǎn)三正態(tài)分布的問題例3 2012·課程標(biāo)準(zhǔn)卷 某一部件由三個(gè)電子元件按圖中方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000，502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為_思考流程 分析：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；推理：利用事件的獨(dú)立性求概率；結(jié)論：求出指定范圍的概率 解析 方法一：設(shè)該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為P(A)因?yàn)槿齻€(gè)元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1 000，502)，所以元件1，2，3的使用壽

19、命超過1 000小時(shí)的概率分別為P1，P2，P3.因?yàn)镻(A)P1 P2P3P3××，所以P(A)1P(A).方法二：設(shè)該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為P(A)因?yàn)槿齻€(gè)元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1 000，502)，所以元件1，2，3的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率分別為P1，P2，P3.故P(A)P1P2P3P1P2P3P1P2P3××××××.點(diǎn)評(píng) 求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上；解題時(shí)應(yīng)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，曲線

20、與x軸之間的面積為1. 正態(tài)分布是連續(xù)型的概率分布，主要是根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決一些概率和實(shí)際問題服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)P(x1)P(x2)時(shí)必然有，這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論變式題 (1)關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述：曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，這個(gè)曲線在x軸上方；曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，這個(gè)曲線只有當(dāng)x(3，3)時(shí)才在x軸上方；曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)榍€對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；曲線在x時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；曲線的對(duì)稱軸由確定，曲線的形狀由確定；越大，曲線越

21、“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”上述說法正確的是()A B C D(2)2012·保定模擬 設(shè)隨機(jī)變量XN(1，52)，且P(X0)P(X>a2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A4 B6 C8 D10解析 (1)參照正態(tài)曲線的性質(zhì)當(dāng)x(，)時(shí)，正態(tài)曲線全在x軸上方，且只有當(dāng)0時(shí)，正態(tài)曲線才關(guān)于y軸對(duì)稱，因此知A選項(xiàng)正確(2)由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，52)，則其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x1對(duì)稱P(X0)P(X>a2)，在x軸上數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與a2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線x1對(duì)稱，1，解得a4，故選A.習(xí)題1.2012·湖南卷 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨

22、機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率(注：將頻率視為概率)解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.2分該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)

23、間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3).6分X的分布列為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)1×1.5×2×2.5×3×1.9.(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，Xi(i1，2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，則P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)P(X11)×P(X21)P(X11)×

24、;P(X21.5)P(X11.5)×P(X21)×××.11分故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.12分方法解讀 離散型隨機(jī)變量及其分布、數(shù)字特征等都離不開概率的計(jì)算，在計(jì)算概率時(shí)要善于根據(jù)問題的實(shí)際情況把概率歸結(jié)事件的分析和基本的概率模型(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%知，購物量超過8件的有55人，購物量不超過8件的有45人，再用頻率估計(jì)概率，計(jì)算隨機(jī)變量每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而求得分布列和期望；(2)通過分析各結(jié)算相互獨(dú)立，判斷事件之間相互獨(dú)立，化歸為獨(dú)立事件的概率求解2.2012·豫北六校

25、聯(lián)考 當(dāng)前人們普遍認(rèn)為拓展訓(xùn)練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓(xùn)練，某大學(xué)生拓展訓(xùn)練中心著眼于大學(xué)生的實(shí)際情況，精心設(shè)計(jì)了三個(gè)相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)極限項(xiàng)目，并設(shè)置如下計(jì)分辦法：項(xiàng)目甲乙丙挑戰(zhàn)成功得分103060挑戰(zhàn)失敗得分000據(jù)調(diào)查，大學(xué)生挑戰(zhàn)甲項(xiàng)目的成功概率為，挑戰(zhàn)乙項(xiàng)目的成功概率為，挑戰(zhàn)丙項(xiàng)目的成功概率為.(1)求某同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率；(2)記該同學(xué)挑戰(zhàn)三個(gè)項(xiàng)目后所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列并預(yù)測該同學(xué)所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望解：(1)甲乙丙這三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率P11.(2)由題意，X的可能取值為0，10，30，40，60，70，90，100.P(X0)××，

26、P(X10)××，P(X30)××，P(X40)××，P(X60)××，P(X70)××，P(X90)××，P(X100)××.所以X的分布列為X0103040607090100PE(X)0×10×30×40×60×70×90×100×60.5(分)所以該同學(xué)所得分的數(shù)學(xué)期望為60.5分3. 2012·北京東城區(qū)二模 某公園設(shè)有自行車租車點(diǎn)，租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元

27、(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時(shí)還車的概率分別為，；一小時(shí)以上且不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過三小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為2，4，6元都付2元的概率為P1×，都付4元的概率為P2×，都付6元的概率為P3×，故所付費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3. (2)依題意，X的可能取值為4，6，8，10，12.P(X4)，P(X6)××，P(X8)

28、5;××，P(X10)××，P(X12)×.故X的分布列為X4681012P所求數(shù)學(xué)期望E(X)4×6×8×10×12×.4.某單位為了提高員工素質(zhì)，舉辦了一場跳繩比賽，其中男員工12人，女員工18人，其成績編成如圖所示的莖葉圖(單位：分)，分?jǐn)?shù)在175分以上(含175分)者定為“運(yùn)動(dòng)健將”，并給予特別獎(jiǎng)勵(lì)，其他人員則給予“運(yùn)動(dòng)積極分子”稱號(hào)(1)若用分層抽樣的方法從“運(yùn)動(dòng)健將”和“運(yùn)動(dòng)積極分子”中抽取10人，然后再從這10人中選4人，求至少有1人是“運(yùn)動(dòng)健將”的概率；(2)若從所有“運(yùn)動(dòng)健將”

29、中選3名代表，用X表示所選代表中女“運(yùn)動(dòng)健將”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望解：(1)根據(jù)莖葉圖，有“運(yùn)動(dòng)健將”12人，“運(yùn)動(dòng)積極分子”18人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率為，所以選中的運(yùn)動(dòng)健將有12×4人，運(yùn)動(dòng)積極分子有18×6人，設(shè)事件A：至少有1名“運(yùn)動(dòng)健將”被選中，則P(A)11. (2)由莖葉圖知，男“運(yùn)動(dòng)健將”有8人，女“運(yùn)動(dòng)健將”有4人，故X的取值為0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×1.課后習(xí)題（離散型隨機(jī)變量的均值與方差、

30、正態(tài)分布）12013·漳州模擬 已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 網(wǎng)C1 D12設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則P(X2)等于()A. B. C. D.32013·蚌埠質(zhì)檢 若N(2，2)，且P(4<<2)0.3，則P(>0)的值為()A0.2 B0.3 C0.7 D0.842013·鄭州檢測 馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？?。空?qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了

31、正確答案E_52013·西安遠(yuǎn)東一中月考 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200 C300 D4006某個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有女同學(xué)3名，男同學(xué)2名，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組中任選3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，記X為參加數(shù)學(xué)競賽的男同學(xué)與女同學(xué)的人數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望為()A B. C. D72013·臨沂二模 某校在模塊考試中約有1 000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績N(90，a2)(a>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)?/p>

32、數(shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A200 B300 C400 D60082013·贛州質(zhì)檢 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0，1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為()A. B. C. D.9有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是()A7.8 B8 C16 D15.610某高校進(jìn)行自主招生面試時(shí)的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對(duì)給10分、答錯(cuò)倒扣5分(每道題都必須回答，但相互不影響)設(shè)某學(xué)

33、生對(duì)每道題答對(duì)的概率都為，則該學(xué)生在面試時(shí)得分的期望值為_分11袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，每次摸取一個(gè)球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)_12已知某隨機(jī)變量的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，隨機(jī)變量的方差D，則xy_.123Pxyx13.某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為_元14某校從高二年級(jí)4個(gè)班中選出18名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，學(xué)生來源人數(shù)如下表：班別高二(1)班高二(2)班高二(3)班高二

34、(4)班人數(shù)4635(1)從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名，求兩人來自同一個(gè)班的概率；(2)若要求從18位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)其中來自高二(1)班的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)15某公司準(zhǔn)備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù)，現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目可供選擇(i)投資A項(xiàng)目一年后獲得的利潤X1(萬元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)12；(ii)投資B項(xiàng)目一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且在4月和8月進(jìn)行價(jià)格調(diào)整的概率分別為p(0&

35、lt;p<1)和1p.經(jīng)專家測算評(píng)估：B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與X2的關(guān)系如下表所示：X(次)012X2(萬元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)<E(X2)，則選擇投資B項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍16(12分)2013·江蘇卷 設(shè)為隨機(jī)變量從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E.課后習(xí)題答案（離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布）1A解析 E(X)，E(Y)E(2X3)2

36、E(X)33，故選A.2D解析 XB，E(X)2，即n6，P(X2)C，故選D.3A解析 由隨機(jī)變量N(2，2)，則其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x2對(duì)稱P(4<<2)0.3，P(2<<0)P(4<<2)0.3，P(>0)1P(2<<0)P(4<<2)0.2，故選A.42解析 設(shè)“？”處數(shù)值為t，則“！”處的數(shù)值為12t，所以Et2(12t)3t2.【能力提升】5B解析 記“不發(fā)芽的種子數(shù)為”，則B(1 000，0.1)，所以E1 000×0.1100，而X2，則E(X)E(2)2E200，故選B.6A解析 X的可能取值為3，1，1，P(X3)，P(X1)，P(X1)，所以