隨機(jī)過程例題PPT課件

1、例例2 設(shè) X (t) 為信號過程，Y (t) 為噪聲過程，令W (t) = X (t) + Y (t)，則 W (t) 的均值函數(shù)為其相關(guān)函數(shù)為)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(),(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtWsWEtsRYYXXYXW 2隨機(jī)過程的基本概念第1頁/共27頁例例 求在求在0, 1區(qū)間均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)序列的區(qū)間均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)序列的均值向量、自相關(guān)陣和協(xié)方差陣，設(shè)均值向量、自相關(guān)陣和協(xié)方差陣，設(shè)N=3。解：其它 , 010 , 1)(xxf

2、iXXi 的一維概率密度函數(shù)為：的一維概率密度函數(shù)為：Xi 的均值：的均值：21dd)(10-xxxxfxXEmiiXiXjiXEXEjiXEXXErjiijiij , 4/1 , 3/12Xi 的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：均值向量均值向量2/12/12/1XM自相關(guān)陣自相關(guān)陣3/14/14/14/13/14/14/14/13/1XR協(xié)方差陣協(xié)方差陣12/100012/100012/1XC 2隨機(jī)過程的基本概念第2頁/共27頁例例3n設(shè)復(fù)隨機(jī)過程 ，其中A1, A2, , An 是相互獨(dú)立且服從 N(0, )的隨機(jī)變量， 1, 2, , n 為常數(shù)，求 Zt , t 0 的均值函數(shù) mZ (t

3、) 和相關(guān)函數(shù) RZ (s, t) 。0,e1jtAZnktktk2knktskZZktsRtm1)(j2e),(0)( 2隨機(jī)過程的基本概念第3頁/共27頁例例1 設(shè)有隨機(jī)相位過程 X (t) = a sin( t+ )，a, 為常數(shù)， 為(0, 2 )上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試討論隨機(jī)過程 X (t) 的平穩(wěn)性。解因此因此 X (t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。是平穩(wěn)隨機(jī)過程。0)sin(2)()sin()sin()(2020dtadftataEtXEcos2)(sin)sin(2)()(),(2202adttatXtXEttRX 3平穩(wěn)過程第4頁/共27頁例例2 2（白噪聲序列）（白噪聲序列） 設(shè)

4、 Xn , n = 0, 1, 2, 是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且 EXn = 0，DXn = 2 ，試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性 。解因?yàn)? (1) EXn = 00 , 00 ,),( ) 2(2nnXXXEnnR故故 隨機(jī)序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與隨機(jī)序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與 有關(guān)，有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機(jī)序列。因此它是平穩(wěn)隨機(jī)序列。3平穩(wěn)過程第5頁/共27頁例例3 3 設(shè)有隨機(jī)相位過程 X (t) = a cos( t+ )，a, 為常數(shù)， 為(0, 2 )上服從均勻分布的隨機(jī)變量，試問 X (t) 是否為各態(tài)歷經(jīng)過程。021)cos()(20dtatXE0)cos(21lim)(

5、TTTdttaTtX)()()cos(2)(2tXtXaRX故 X (t) 是為各態(tài)歷經(jīng)過程。 3平穩(wěn)過程第6頁/共27頁 例例44 設(shè)有兩個隨機(jī)過程X (t) = a cos( t+ ) 和Y (t) = b sin( t+ )，其中a, b, 為常數(shù)， 為(0, 2 )上服從均勻分布的隨機(jī)變量，分析X (t)和Y (t)是否聯(lián)合平穩(wěn)。解)(cos),(22XaXRttR故 X (t)和 Y (t)均是平穩(wěn)過程。0)()(tYEtXE)(sin2)(sin)cos( )()(),(XYXYRabtbtaEtYtXEttR)(cos),(22YbYRttR所以 X (t)和 Y (t) 是聯(lián)合

6、平穩(wěn)的。 3平穩(wěn)過程第7頁/共27頁解例1 設(shè)有隨機(jī)過程 X (t) = a cos( 0t + )， 其中 a, 0 為常數(shù)， 在下列情況下，求 X (t) 的平均功率：(1) 是在( 0, 2 ) 上服從均勻分布的隨機(jī)變量；(2) 是在( 0, /2 ) 上服從均勻分布的隨機(jī)變量。(1) 隨機(jī)過程 X (t) 是平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)：)cos(2)(02aRX平均功率：2)0(2aRPX(2)2sin(2)(cos)(0220222taataEtXE平均功率：X (t) 是非平穩(wěn)過程2d)(21lim22attXETPTTT 4譜分析第8頁/共27頁例例2解20220200000)()(d)

7、cos()cos(ed)cos()cos(e2)(aaaaGaaX)cos(e)(0aXR 已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為 ，其中 a 0, 0 為常數(shù)，求譜密度 GX ( ) . 4譜分析第9頁/共27頁0)1()()()(nWnWEnXEnmX解)1() 1()(2)1()()1()()()()(2mmmnWnWmnWmnWEnXmnXEmRX例3 設(shè)隨機(jī)序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯隨機(jī)序列，mW=0, RW(m)= 2 (m)，求X(n)的均值、自相關(guān)函數(shù)和譜密度 GX ( ) .)cos1 (2)ee2(e)()(jj2jmmXXmRG 4譜分析第10頁/共

8、27頁 例例44 如圖所示X (t) 是平穩(wěn)過程，過程Y (t)= X (t)+ X (t T)也是平穩(wěn)的，求Y (t) 的功率譜。解)()()(2)()()()( )()(),(TRTRRTtXtXTtXtXEtYtYEttRXXXY)cos(1)(2e)(e)()(2de)()()(2de)()(jjjjTGGGGTRTRRRGXTXTXXXXXYY X (t)Y (t)延遲T 4譜分析第11頁/共27頁例例1 （h(t) 的估計） 設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程 X (t)，其自相關(guān)函數(shù)為 RX ( ) = N0 ( ) ，則)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh

9、通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。)()(1)(0tXtYNh假定過程 X (t) 和 Y (t) 是各態(tài)歷經(jīng)的， 5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析第12頁/共27頁例例2 如圖如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓電路，若輸入白噪聲電壓 X (t) ，其相關(guān)函數(shù)，其相關(guān)函數(shù)為為 RX ( ) = N0 ( ) ，求輸出電壓，求輸出電壓 Y (t) 的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)和平均功率。和平均功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IFT)(02)0(0N

10、RPYX (t)Y (t)RC 5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析第13頁/共27頁例例3 如圖有兩個如圖有兩個LTI系統(tǒng)系統(tǒng)H1( )和和H2( )，若輸入同一個均若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程值為零的平穩(wěn)過程 X(t) ，它們的輸出分別為，它們的輸出分別為 Y1(t) 和和Y2(t)。如何設(shè)計。如何設(shè)計H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互互不相關(guān)？不相關(guān)？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相關(guān) 協(xié)方差為零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(2121212

11、1 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY, 0)( 21時當(dāng)YYG0)(21YYR0)(21YYC當(dāng)兩個當(dāng)兩個LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性互不重疊時互不重疊時，則，則它們的輸出它們的輸出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相關(guān)?；ゲ幌嚓P(guān)。 5隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析第14頁/共27頁 例例1 1 已知儀器在 0 , t 內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù) X(t) 是具有參數(shù) 的泊松過程。若儀器振動k (k 1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時刻 t0 正常工作的概率。解0 , 00 ,)!1()()(1ttktetfktWk故儀器在時刻 t0 正常工作的概率為:0d

12、)!1()()(10tktktktetWPP故障時刻就是儀器發(fā)生第k振動的時刻Wk ，服從 分布:1000!)()(0knntntektXP 6泊松過程第15頁/共27頁)()(ntXksXPknkkntstsC1參數(shù)為 n 和 s/t 的二項(xiàng)分布例例2 2 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生 n 次，且0 s t，對于0 k n ，求在 0 , s 內(nèi)事件A發(fā)生 k 次的概率。)()(,)(ntXPntXksXP)()()(,)(ntXPknsXtXksXP!)()!()(!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!( ! 6泊松過程第16頁/共27頁)(

13、)(nsftXWk 例例3 3 設(shè)在 0 , t 內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生 n 次，求第k次(k n) 事件A發(fā)生的時間Wk 的條件概率密度函數(shù)。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布)(ntXhsWsPk)()(,ntXPntXhsWsPk)()()(,ntXPknhsXtXhsWsPk)()()(ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh)(lim0)()()()(ntXPknsXtXPsfkW 6泊松過程第17頁/共27頁24380321325)3(4)2(45445CXXP例例4 4 某電話交換臺在 0, t 時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X(t)是一個泊松過程，平均每

14、分鐘2次。 (1) 求 3分鐘內(nèi)接到5次呼叫概率；(2) 若3分鐘內(nèi)已接到5次，求前2分鐘收到4次呼叫的概率，以及第2次呼叫發(fā)生在第1分鐘內(nèi)的概率。2)( )()(ttmttXEtmXX243131d31920d)5(5)3(1010310)3(22sssssfXWPXW16. 0e! 5)3(5)3( e!)()(35XPktktXPtk 6泊松過程第18頁/共27頁馬爾可夫鏈的幾個簡單例子馬爾可夫鏈的幾個簡單例子例1 二進(jìn)制對稱信道模型是常用于表征通信系是常用于表征通信系統(tǒng)的錯誤產(chǎn)生機(jī)制的離散無記憶信道模型。假設(shè)統(tǒng)的錯誤產(chǎn)生機(jī)制的離散無記憶信道模型。假設(shè)某級信道輸入某級信道輸入0, 1數(shù)字

15、信號后，其輸出正確的概數(shù)字信號后，其輸出正確的概率為率為p，產(chǎn)生錯誤的概率為，產(chǎn)生錯誤的概率為q，則該級信道輸入狀，則該級信道輸入狀態(tài)和輸出狀態(tài)構(gòu)成一個兩狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈。態(tài)和輸出狀態(tài)構(gòu)成一個兩狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈。0011ppqq一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：) 1 , 0,( , ,jijiqjippijpqqpP二步轉(zhuǎn)移概率矩陣：22222)2(22qppqpqqpPP 7馬爾可夫鏈第19頁/共27頁 例例22 具有吸收壁和反射壁的隨機(jī)游動具有吸收壁和反射壁的隨機(jī)游動設(shè)質(zhì)點(diǎn)在線段設(shè)質(zhì)點(diǎn)在線段1,4上作隨機(jī)游動。假設(shè)它只能在時刻上作隨機(jī)游動。假設(shè)它只能在時刻 n T 發(fā)生移動，且只發(fā)生移動，且只能

16、停留在能停留在1,2,3,4點(diǎn)上。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到點(diǎn)上。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到2,3點(diǎn)時，它以點(diǎn)時，它以1/3的概率向左或向的概率向左或向右移動一格，或停留在原處。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)右移動一格，或停留在原處。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)1時，它以概率時，它以概率1停留在原停留在原處。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)處。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)4時，它以概率時，它以概率1移動到點(diǎn)移動到點(diǎn)3。若以。若以Xn 表示質(zhì)點(diǎn)在時表示質(zhì)點(diǎn)在時刻刻 n 所處的位置，則所處的位置，則 Xn , n T 是一個齊次馬爾可夫鏈。是一個齊次馬爾可夫鏈。 7馬爾可夫鏈第20頁/共27頁例3 設(shè)設(shè) Xn , n T 是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間空間 I =

17、 a, b, c，轉(zhuǎn)移矩陣為，轉(zhuǎn)移矩陣為05/25/33/103/24/14/12/1P求： )2(;, ) 1 (204321bXcXPcXcXaXcXbXPnn 7馬爾可夫鏈第21頁/共27頁, ) 1 (04321cXcXaXcXbXP/ 0001122334cXPcXPcXbXPbXcXPcXaXPaXcXPcbbccaacPPPP50152315341/,043210cXPcXaXcXbXcXP05/25/33/103/24/14/12/1P解： )2(2bXcXPnn二步轉(zhuǎn)移概率矩陣：901720330176110315824540930172)2(PP61)2(bcP 7馬爾可夫

18、鏈第22頁/共27頁例4 設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I = 0, 1, 2, ，其轉(zhuǎn)移概率為，其轉(zhuǎn)移概率為分析各狀態(tài)的類型。, 1)0(00p解：解：Iipppiii ,21 ,21 ,2101,00先考查狀態(tài)先考查狀態(tài)0，,21)1(00p,210)(00npnn可見狀態(tài)可見狀態(tài)0是非周期的，因而狀態(tài)是非周期的，因而狀態(tài)0也是遍歷的。也是遍歷的。,21)(00np021)(00limnnp由歸納法可知，由歸納法可知，(根據(jù)根據(jù)pij(n)來判斷來判斷),21)2(00p 狀態(tài)狀態(tài)0 0為常返態(tài)為常返態(tài) 狀態(tài)狀態(tài)0 0為正常返態(tài)為正常返態(tài)因?yàn)橐驗(yàn)?其它其它i 0 ，故所有，故所有 i 也是遍歷的。也是遍歷的。 7馬爾可夫鏈第23頁/共27頁例5 設(shè)馬氏鏈 Xn 的狀態(tài)空間 I = 1, 2