任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載課題： 3.2.1任意角的三角函數(shù)（第一課時）一 教學(xué)目標(biāo)1. 把握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2. 懂得任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3. 已知角 終邊上一點(diǎn)，會求角 的各三角函數(shù)值.二 教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn) :任意角的正弦、余弦、正切的定義；難點(diǎn) :任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；已知角 終邊上一點(diǎn)， 會求角 的各三角函數(shù)值.三 復(fù)習(xí)回憶：復(fù)習(xí) 1： 用弧度制寫出終邊在以下位置的角的集合.（1）坐標(biāo)軸上；（2）其次、四象限.復(fù)習(xí) 2： 銳角的三角函數(shù)如何定義？ 在中學(xué)，我們假如要求一個銳角的三角函數(shù)值，常常把這個角放到一個直角三角形 中求其比值，從而得到銳角三角函數(shù)的值；

2、那么，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)更便利的去求一個銳角的三角函數(shù)值嗎？我們可以采納以下方法：如圖，設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)o 重合，始邊與x 軸的 非負(fù)半軸重合，那么它的終邊在第一象限. 在的終邊上任取ypa,bomx一點(diǎn) pa,b，它與原點(diǎn)的距離ra2b20 .過 p 作 x 軸的垂線， 垂足為 m ，就線段 om的長度為 a ，線段 mp 的長度為 b . 可得：sinmpb ； cos=， tanmp =.oprom四、新課學(xué)習(xí)：學(xué)問點(diǎn) 1：三角函數(shù)的定義仔細(xì)閱讀教材p11-p 12，領(lǐng)悟下面的內(nèi)容：ypa,bp'a',b'由相像三角形的學(xué)問，對于確定的角，這

3、三個比值不會隨點(diǎn) p 在的終邊上的位置的轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變，因此我們可以將點(diǎn)p 取在使線段op的長為 r=1 的特別位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的值為：sinmp ； cosom ； tanmp omm'xopopom問題： 上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)當(dāng)如何得到任意角的三角函數(shù)呢？明顯，我們只需在角的終邊上找到一個點(diǎn)，使這個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，然后就可以類似銳角三角函數(shù)求值的方法得到該角的三角函數(shù)值.注：單位圓：在直角坐標(biāo)系中, 我們稱以原點(diǎn)o 為圓心 , 以單位長度為半徑的圓為單位圓.上述的點(diǎn)p 就是的終

4、邊與單位圓的交點(diǎn)，這樣銳角三角函數(shù)就可以用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示；那么我們可以用同樣的方法得到任意角的三角函數(shù)值；如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)（1） y 叫做的正弦 sine，記做 sin；（2） x 叫做的余弦 cossine，記做 cos；（3） y 叫做的正切 tangent，記做 tan. xpx, y ，那么：即： siny ， cosx ， tany x x0 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí)： 角4與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 就 sin34=， cos34=，3tan4=.3注： 1 當(dāng)k kz 時， 的終邊在 y 軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 都等于 0，2所以 tany無

5、意義 .x2 三角函數(shù)的定義域：函數(shù)定義域ysin xrycosxytan x x | xrk, kz 2確定三角函數(shù)的定義域時，要抓住分母不為0 這一關(guān)鍵， 當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)上時，點(diǎn) p的坐標(biāo)中必有一個為0.3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，因而三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù) , 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)；探究：假如知道角終邊上一點(diǎn), 而這個點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn), 該如何求它的三角函數(shù)值呢.依據(jù)相像三角形的性質(zhì)，在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 是一個任意角， 終邊上任意一點(diǎn)p2222（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為x

6、, y ，它與原點(diǎn)的距離為r r| x | y |xy0 ，就：siny ； cos= rx ；tan= y .rx留意： 一個角的三角函數(shù)值只與這個角的終邊的位置有關(guān)，而與點(diǎn)的選取無關(guān)；為運(yùn)算便利， 我們把半徑為1 的圓（單位圓） 與角的終邊的交點(diǎn)選為點(diǎn)的抱負(fù)位置；典型例題 ：例: 求3角的正弦、余弦和正切值4變式練習(xí)1 求 56角的正弦、余弦和正切值小結(jié)： 作角終邊求角終邊與單位圓的交點(diǎn)利用三角函數(shù)定義來求, 或在角的終邊上找一個簡單找到的點(diǎn)，利用siny ， cos=rx ，tan=ry 求三角函數(shù)值.x2、求5角的正弦、余弦和正切值3學(xué)習(xí)必備歡迎下載例: 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p4, 3

7、，求 sin、cos、 tan的值；練習(xí) ：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p-4, 2 ，求 sin、cos、 tan的值；方法總結(jié) ：第一判定角的終邊是否在單位圓上，再確定做題的方法；例：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p4a, 3aa 0 ，求 2sin+cos的值；例：已知角的終邊在直線y=-3x 上，求 sin,cos,tan的值；練習(xí)：已知角終邊上一點(diǎn)p x,3 x0，且cos10, 求 sin10, cos.例：求 ysin xcosx 的定義域；tan x練習(xí)：求函數(shù)ycosxsinx的定義域；當(dāng)堂檢測1. tan 4（） .a. 1b.1c.22d.222. sin 7 6a. 12（） .b. 12c

8、. 32d. 323. 假如角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 始邊在 x 軸的正半軸重合， 終邊在函數(shù)y那么 tan的值為（）.5x x0 的圖象上，a. 5b.5c.15d.154.cos 30 .5.已知點(diǎn)p3a,4a a0 在角 的終邊上，就tan=.學(xué)習(xí)必備歡迎下載課后作業(yè) ：（一）挑選題1、已知角 的終邊過點(diǎn)p（ 1,2 ） ,cos 的值為（）a5b5c 2555d522、 是其次象限角， p（ x,5 ） 為其終邊上一點(diǎn)， 且 cos =2 x，就 sin 的值為 （）4a10b46c42d1044二填空題3、角 的終邊上有一點(diǎn)p（ m， 5），且cosm , m 130 ，就 sin +co

9、s = 4、已知角 的終邊在直線y =3 x 上，就 sin =； tan=3三 解答題5、已知角求 2sin終邊上一點(diǎn)p 與 x 軸的距離和與y 軸的距離之比為+cos的值3 4（且均不為零） ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)問點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：由于 r0 ，所以任意角的三角函數(shù)的符號取決于點(diǎn)當(dāng)角的終邊在第一象限時， 點(diǎn) p 在第一象限， xp 所在的象限0, y0 ，所以 sin0,cos0,tan0 ；當(dāng)角的終邊在其次象限時，點(diǎn) p 在其次象限， x0, y0 ，所以 sin0,cos0,tan0 ；當(dāng)角的終邊在第三象限時，點(diǎn) p 在第三象限， x0, y0 ，所以 sin0

10、,cos0,tan0 ；當(dāng)角的終邊在第四象限時，點(diǎn) p 在第四象限， x0, y0 ，所以 sin0,cos0,tan0 任意角的三角函數(shù)符號的記憶方法：y正弦正全正典型例題：例： 判定以下各角的各三角函數(shù)符號：ox正切正余弦正（1） 4327（ 2 2753) cos544) tan 745) sin 105cos 2306) cos 6 sin 6分析關(guān)鍵是判定角所在的象限 練習(xí)： 判定以下三角函數(shù)值的符號；1) cos 2502) sin 43) tan672 4) tan 3例： 依據(jù)條件 sin0 且 tan0 , 確定是第幾象限的角.練習(xí)：sin0請你判定是第幾象限角？tan0練習(xí)

11、：書第15 頁練習(xí)練習(xí) ：請你求以下各角的三角函數(shù)值并背會：0,64, 2323, 3, 5,46, 7, 564, 4, 3, 4323, 7, 543, 11,26學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí) ：求以下三角函數(shù)的值：1) cos 942) tan116例: 求以下各式的值:1 5cos1803sin902tan 06sin 270 ；2 cos3sin6tan43sin3sin4cos. 4鞏固性練習(xí)1運(yùn)算： 5sin902cos03 tan180cos180 2運(yùn)算：costan1 tan2sin 3cos24332當(dāng)堂檢測：1、判別以下各三角函數(shù)值的符號：1） sin250 °2）

12、cos （）3） tan 666° 3644） tan 1135） sin 1746） cos1020 °2、依據(jù)以下已知，判別 所在象限：1） sin >0 且 tan <0 、tan× cos <03、求以下各角的三角函數(shù)的值（正弦、余弦、正切）.1） 750°2） 1743） 1164） 1020°4、求函數(shù)ycos x cos xtan x tan x的值域 .變式：求ysin x sin xcos x cos x| tan x |的值域 .tan x學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)問點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一依據(jù)三角函數(shù)的定義知，角的三角函

13、數(shù)值是由角的終邊位置確定的，所以終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即：sink360 sinsin2ksincosk360 cos其中 kzcos2kcos其中 kz ；tank360 tantan2ktan注：作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0 到 2（0° 360°）角的三角函數(shù)值；典型例題：例： 判定以下各式的符號：1) cos250例：求值：2) sin 43) tan34) tan672 5) sin 4tan2341) cos 942) sin 763) tan1544 tan314例：運(yùn)算1) tan 4052) m tan 0sin 450n cos

14、52cos 750p sin 3q cos112當(dāng)堂檢測：1、已知 f xcos611xtan9 x, 就f 42、 tan600 o的值是 . da .33b. 3 3c. 3d. .33、 如 sincos 0,就在 .ba . 第一、二象限b. 第一、三象限c. 第一、四象限d. 其次、四象限學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)問點(diǎn)四：三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)o ，始邊與x 軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于p x, y ， 過 p 作 x 軸的垂線，垂足為m , 依據(jù)三角函數(shù)的定義，我們有：ympysin; omxcosp探究： 為了去掉上述等式中的肯定值號，我們可以給線段規(guī)定一個適當(dāng)?shù)姆较?，使?/p>

15、們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)一樣，由于直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)，因此一個自然的想法是以坐標(biāo)軸的方一直規(guī)定線段的方向，以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，以o為始點(diǎn)， m為終點(diǎn)，規(guī)定：omx當(dāng)線段 om與 x 軸同向時， om的方向為正，且有正值x；當(dāng)線段om與 x 軸反向時， om的方向為負(fù)，且有負(fù)值x，其中 x 為點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)，這樣無論哪一種情形都有om=x=cos同理，當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，以m為始點(diǎn)， p 為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段 mp與 y 軸同向時， mp的方向為正，且有正值y；當(dāng)線段mp與 y 軸反向時， mp的方向為負(fù)，且有負(fù)值y，其中 y 為點(diǎn)

16、 p 的橫坐標(biāo)，這樣無論哪一種情形都有mp=y=sin注： 有向線段 ：帶有方向的線段叫做有向線段；y探究： 那么如何用有向線段來表示角的正切呢？t我們可以過點(diǎn)a1,0 作單位圓的切線，這條切線p必定平行于y 軸，設(shè)它與角的終邊或其反向延長線交與點(diǎn) t . 就 tanaty x, 我們就分別稱有向線段o maxmp ,om , at 為正弦線、余弦線、正切線, 統(tǒng)稱為三角函數(shù)線；yytppamoxaomxt（）（）ytymamaoxoxppt（） 總結(jié)： 三角函數(shù)線的作法（）設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)o ，始邊與x 軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與p x, y ,過 p 作 x 軸的垂線，垂足為m

17、 ；過點(diǎn)延長線交與點(diǎn)t . 由四個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段a1,0 作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向omx, mpy ，于是有sinyyymp，cosx xxom， tany mpatatr1r1xomoa注： （ 1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余學(xué)習(xí)必備歡迎下載弦在 x 軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外；（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)；（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x 軸或

18、 y 軸同向的為正值，與x 軸或 y 軸反向的為負(fù)值；（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面；練習(xí)： 書第 17 頁第 2 題；典型例題：例： 作出以下各角的正弦線、余弦線、正切線；12 3343 764116例： 比較大?。?) sin 150和sin 8302) sin 76和 sin 433) cos 76和 cos 434) tan 76和 tan 43例： 利用單位圓寫出符合以下條件的角x 的范疇：1） sin x= 1 ；2 ） tan x23 ； 3 ） cos x132練習(xí)：在 0,2上滿意 sin1 的x的取值范疇是（2），除去 0,2y呢？摸索：

19、已知： 0,求證：sin2bptanomax學(xué)習(xí)必備歡迎下載例：解不等式：sinx>cosx呢？當(dāng)堂檢測：1、作出以下各角的正弦線、余弦線、正切線；（ 1）；（ 2） 5 36；（ 3）2313；（ 4）62、比較大小：(1) sin 23與 sin 45(2)cos 23與 cos 45(3)tan 23與tan 453、 利用單位圓寫出符合以下條件的角x 的范疇1sin x1 ; 2 2cos x1 . 24、在0，2上滿意sin x1 的x的取值范疇是 2a .0,65b. ，662c. ，63d. 5，65、求滿意以下條件的角x 的范疇：（ 1） sin xtan x0 ；（2）

20、 |cos x |cos x 6、求證 ：1sincos；2學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)問點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系推導(dǎo)： 以正弦線、余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形，而且，由勾股定理有：om 2mp 2op2 即 sin 2cos 21，依據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)k, kz 2時，有sin costan,爭論幾個問題：a. 上述兩個關(guān)系式，在一些什么情形下成立？b. “ sin 2 cos 2 1”對嗎？c.同角三角函數(shù)關(guān)系式可以解決哪些問題？（求值：已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)的值；化簡；證明）d.從上面兩個公式，你仍能推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的其它關(guān)系嗎？注：同角三角函數(shù)的幾種關(guān)系：1

21、、平方關(guān)系：sin 2cos21; tan21sec2;cot 21csc2.sincos21sin2sincos cos; cos21;1tan22、商數(shù)關(guān)系：costan;sincot.3、倒數(shù)關(guān)系：sincsc1; cossec1; tancot14、“1”的妙用：1sincsccossectancottan4sin 2cos2留意：（ 1）、角要使上述各種式子有意義；（2）、sin 2sinsinsin2sin 2（3）、角的變換： sin 23cos231; tan 2cot 21同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值； 在運(yùn)用平方關(guān)系解

22、題時，要依據(jù)已知角的范疇和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范疇， 以便進(jìn)行定號； 在詳細(xì)求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先依據(jù)角的范疇確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的肯定 值；典型例題：例： 已知 cos 35，求 sin ， tan 的值 .練習(xí)： 已知 sin 513，求 cos ， tan 的值 .小結(jié)： 留意符號（象限確定） ；同角三基本式的運(yùn)用（分析聯(lián)系）；知一求二 .練習(xí)：已知 tan m（ m 0），求 sin ， cos 的值 .（分象限爭論）學(xué)習(xí)必備歡迎下載 化簡 cos tan .（化簡方法：切化弦） 化簡以下各式：1cos

23、2 1100例： 1）已知 0<,sincos60169, 求sincos的值；2已知 0<,sincos1 ,求sin5cos的值；3）已知sincosm,求sin 3cos3的值；例：1）、已知sin4, 求 cos5, tan.2）、已知cos8 , 求 sin17, cot；小結(jié) ：給值求值：已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值 . 化簡的要求（化簡后的式子，三角函數(shù)的種類最少；分母不含根式；項數(shù)最少；能求出值的求出值）例：化簡：例：已知1tan2 sin 4 cos 42，求值1sin 3coscos 4 sin2 2sin 23sincos3 cos2練習(xí)：已知3sin2cos, 求 coscossin sincos cossin- sin的值.例：用多種方法證明：1sin x cos xcos x1sin x學(xué)習(xí)必備歡迎下載小結(jié)方法：由其它等式而轉(zhuǎn)化（先