第三章空間問題的有限元方法

1、第三章 空間問題的有限元方法3.1 引言 許多工程實際問題，屬于空間問題，由于結構形狀或受力的復雜性，用經典彈性理論去求解它們的解析解是不可能的。而有限元法處理此類問題，原則上不存在什么困難，本章將介紹一般空間問題的四面體單元。3.2 一般空間問題的有限元列式3.2.1 單元位移模式及插值函數(shù)空間問題中，每個單元有四個結點，編碼為i,j,m,p。每個結點有3個位移分量。每個結點的位移可用位移矢量表示，即 單元結點的位移向量可表示為為單元結點位移列陣。假設單元內的位移模式選取一次多項式 （3.2.1）由于四個結點也在單元內，滿足位移模式，于是得 （3.2.2）上式是關于的線性方程組。是待定常數(shù)，

2、也稱為廣義坐標。它可由（3.2.2）式求出。上式的系數(shù)行列式是 （3.2.3）上式中當i,j,m,p的編號順序滿足右手法則，V值為正，其大小為四面體體積，因此為了方便單元的編號一般滿足右手法則。求得后,回代入位移模式得 (3.2.4)式中 (3.2.5) （3.2.6） 上式下標輪換，可得,及。同理,也可得到其它兩式,于是得 （3.2.7）其中 (3.2.8)稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，這里它是的一次函數(shù)，其中，,及是常數(shù)，由表達式可知，它完全由單元的大小和方位確定，一旦單元確定了，這些常數(shù)也完全確定。 （3.2.7）式的矩陣形式是 （3.2.9）稱為插值函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。3.2.2應變矩

3、陣和應力矩陣 應變確定了單元位移后，可以很方便地利用幾何方程和物理方程求得單元的應變和應力。在（1.4.21）式的幾何方程中，位移用（2.2.11）式代入，得到單元應變?yōu)?（3.2.10）B稱為應變矩陣。應變矩陣的分塊矩陣是 （3.2.11）可以看出，應變矩陣B中的元素都是常量，從而單元中的應變都是常量，所以三維線性位移模式的四面體單元是常應變單元。 應力單元應力可以根據(jù)物理方程求得， 其應力應變關系如下：或于是應力向量可表示為 （3.2.12）式中D為彈性矩陣，而 （3.2.13） 從而可以到，三大物理參量，都可以用單元結點位移向量表示：由于N，B，S都是已知的矩陣，只要求得，則單元內的位移

4、、應變和應力就可以就得，問題是：如何求結點位移向量3 單元剛度矩陣和結點載荷向量 對于三維單元，單元剛度矩陣也具有上章所討論的單元剛度矩陣的一般形式，即 （3.2.15）寫成分塊矩陣的形式 （3.2.16）每個子矩陣為等效結點載荷 （3.2.17）是單元等效結點載荷（體力和面力引起的等效結點力）， 是其他單元對該單元的作用力，則單元結點力為與和。體積力的等效結點載荷： 面積力的等效結點載荷： 這里給出兩種常見的載荷的等效結點力：）均質單元的自重分配到四個結點的等效結點力，其數(shù)值都等于；）設單元的某一邊界面上，例如，受有線性分布載荷，它在三個結點處的強度分別為，則分配到結點i上的等效結點力的數(shù)值為 為受力面三角形面積。方向與原方向平行。3.2.4結構剛度矩陣和結構載荷列陣的集成由單元分析可得有限元列