數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維靈活性培養(yǎng)的實(shí)踐與體會(huì)

1、數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維靈活性培養(yǎng)的實(shí)踐與體會(huì)上海市奉賢中學(xué) 金紅衛(wèi) 我校是一所縣重點(diǎn)高級(jí)中學(xué)，生源較好。然而總有較多學(xué)生進(jìn)入高中之后，不能適應(yīng)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在思維要求上有較大差距，成績(jī)顯下降趨勢(shì)。究其原因：由于初中數(shù)學(xué)教學(xué)受升學(xué)考試指揮棒的影響，在教學(xué)過(guò)程中注重了知識(shí)的傳授，而忽視了思維品質(zhì)的培養(yǎng)。 現(xiàn)代教育強(qiáng)調(diào)“知識(shí)結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)過(guò)程”，目的在于發(fā)展學(xué)生的思維能力，而把知識(shí)作為思維過(guò)程的材料和媒介。只有把掌握知識(shí)、技能作為中介來(lái)發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求。數(shù)學(xué)知識(shí)可能在將來(lái)會(huì)遺忘，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)會(huì)影響學(xué)生的一生，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值得以真正實(shí)現(xiàn)的理想途徑。 高中

2、學(xué)生一般年齡為1518歲，處于青年初期。他們的身心急劇發(fā)展、變化和成熟，學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加復(fù)雜、深刻，生活更加豐富多采。這種巨大的變化對(duì)高中學(xué)生的思維發(fā)展提出了更高的要求。研究表明，從初中二年級(jí)開(kāi)始，學(xué)生的思維由經(jīng)驗(yàn)型水平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到高中一、二年級(jí)，逐步趨向成熟。作為高中教學(xué)教師，應(yīng)抓住學(xué)生思維發(fā)展的飛躍時(shí)期，利用成熟期前可塑性大的特點(diǎn)，做好思維品質(zhì)的培養(yǎng)工作，使學(xué)生的思維得到更好的發(fā)展。 教育心理學(xué)理論認(rèn)為：思維是人腦對(duì)事物本質(zhì)和事物之間規(guī)律性關(guān)系概括的間接的反映。思維是認(rèn)知的核心成分，思維的發(fā)展水平?jīng)Q定著整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能。因此，開(kāi)發(fā)高中學(xué)生的思維潛能，提高思維品質(zhì)，具有十分重大

3、的意義。 思維品質(zhì)主要包括思維的靈活性、廣闊性、敏捷供、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性等幾個(gè)方面。思維的靈活性是建立在思維廣闊性和深刻性的基礎(chǔ)上，并為思維敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性提供保證的良好品質(zhì)。在人們的工作、生活中，照章辦事易，開(kāi)拓創(chuàng)新難，難就難在缺乏靈活的思維。所以，思維靈活性的培養(yǎng)顯得尤為重要。 思維的靈活性指思維活動(dòng)的靈活程度，指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時(shí)地用新的觀點(diǎn)看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實(shí)際的解決問(wèn)題的新設(shè)想、新方案和新方法。學(xué)生思維的靈活性主要表現(xiàn)于：(1)思維起點(diǎn)的靈活：能從不同角度、不同層次、不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問(wèn)題的方向。(2)思維過(guò)程的靈活：能靈活運(yùn)用各種法

4、則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑。(3)思維遷移的靈活：能舉一反三，觸類(lèi)旁通。 如何使更多的學(xué)生思維具有靈活特點(diǎn)呢？我在教學(xué)實(shí)踐中作了一些探索： 一、以“發(fā)散思維”的培養(yǎng)提高思維靈活性。 美國(guó)心理學(xué)家吉爾福特（J·P·Guilford）提出的“發(fā)散思維”(divergent thinking)的培養(yǎng)就是思維靈活性的培養(yǎng)?！鞍l(fā)散思維”指“從給定義的信息中產(chǎn)生信息，其著重點(diǎn)是從同一的來(lái)源中產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的輸出，很可能會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)換作用?！?在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，普遍存在著比較重視集中思維的訓(xùn)練，而相對(duì)忽視了發(fā)散思維的培養(yǎng)。發(fā)散思維是理解教材、靈活運(yùn)用知識(shí)

5、所必須的，也是迎接信息時(shí)代、適應(yīng)未來(lái)生活所應(yīng)具備的能力。 l、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解法進(jìn)行發(fā)散。 在教學(xué)過(guò)程中，用多種方法，從各個(gè)不同角度和不同途徑去尋求問(wèn)題的答案，用一題多解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思維過(guò)程的靈活性。 <例>求證： 證法1：（運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度） 證法2：（逆用半角公式統(tǒng)一角度） 證法3：（運(yùn)用萬(wàn)能公式統(tǒng)一函數(shù)種類(lèi)）設(shè) 證明4：(構(gòu)法分母并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一。) 證法5：可用變更論證法。只要證下式即可。 證法6：由正切半角公式，利用合分比性質(zhì)，則命題得證。 通過(guò)一題多解引導(dǎo)學(xué)生歸納證明三角恒等式的基本方法：(1)統(tǒng)一函數(shù)種類(lèi)；(2)統(tǒng)一角度；(3)統(tǒng)一運(yùn)算。

6、 一題多解可以拓寬思路，增強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系，學(xué)會(huì)多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。 2、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行發(fā)散。 對(duì)結(jié)論的發(fā)散是指確定了已知條件后沒(méi)有現(xiàn)成的結(jié)論讓學(xué)生自己盡可能多地探究尋找有關(guān)結(jié)論，并進(jìn)行求解。 <例>已知： (1)， (2)，由此可得到哪些結(jié)論？ 讓學(xué)生進(jìn)行探素，然后相互討論研究，各抒己見(jiàn)。 8【3 想法一：(1)2(2)2可得（兩角差的余弦公式）。 想法二：(1)×(2)，再和差化積： 結(jié)合想法一可知：想法三：(1)2-(2)2再和差化積：結(jié)合想法一可知：可得 想法四；，再和差化積約去公因式可得：，進(jìn)而用萬(wàn)能公式可求：、。 想法五：由消去得： 消

7、去可得（消參思想） 想法六：(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式： (1)-(2)并逆用兩角差的正弦公式。 想法七：(1)×3-(2)×4： 即 則、均可求。 開(kāi)放型題目的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來(lái)思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關(guān)系。要根據(jù)條件運(yùn)用各種綜合變換手段來(lái)處理信息、探索結(jié)論，有利于思維起點(diǎn)靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。 3、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行發(fā)散。 對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行發(fā)散是指問(wèn)題的結(jié)構(gòu)確定以后，盡可能變化已知條件，進(jìn)而從不同角度和用不同知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。 對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，顯然，四個(gè)變量中知

8、道三個(gè)即可求另一個(gè)（解方程）。如“an為等差數(shù)列，a1，d2問(wèn)9為第幾項(xiàng)”等等。然后，放手讓學(xué)生自己編寫(xiě)題目。編題過(guò)程中學(xué)生要對(duì)公式中變量的取值范圍、變量之間的內(nèi)在關(guān)系、公式的適用范圍等有全面的掌握。否則，信手拈來(lái)會(huì)鬧出笑話。上題中，若改d3，則9為第項(xiàng)，顯然荒謬。如此，學(xué)生對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的掌握會(huì)比較全面，而且能站在較高層次來(lái)看待問(wèn)題，提高思維遷移的靈活性。 二、以思維靈活性的提高帶動(dòng)思維其他品質(zhì)的提高，以思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)來(lái)促進(jìn)思維靈活性的培養(yǎng)。 由于思維的各種品質(zhì)是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機(jī)的統(tǒng)一體中，所以，思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)能有力地促進(jìn)思維靈活性的提高。 1、思維的

9、深刻性指思維過(guò)程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，是否善于從事物之間的關(guān)系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。 <例>方程sinxlgx的解有（ ）個(gè)。（A）1（B）2（C）3（D）4 學(xué)生習(xí)慣于通過(guò)解方程求解，而此方程無(wú)法求解常令學(xué)生手足無(wú)進(jìn)。若能運(yùn)用靈活的思維換一個(gè)角度思考：此題的本質(zhì)為求方程組的公共解。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖家交點(diǎn)問(wèn)題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)知識(shí)串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，在思維深刻性的基礎(chǔ)上，思維靈活性才有了用武之地。 2、思維的廣闊性是指善于抓住問(wèn)題的各個(gè)方面，又不忽視其重要細(xì)節(jié)的思維品質(zhì)。要求學(xué)生能認(rèn)真分析題意，調(diào)動(dòng)和選擇與之

10、相應(yīng)的知識(shí)，尋找解答關(guān)鍵。 <例>已知拋物線在y軸上的截距為3，對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，在x軸上截得線段長(zhǎng)為4，求拋物線方程。 解法一：截距為3，可選擇一般式方程： 顯然有c3，利用其他條件可列方程組求a，b值。 解法二：由對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，可選擇頂點(diǎn)式方程：顯然有m1，利用其他條件可列方程組求a，k的值。 另外，由圖象對(duì)稱(chēng)性可知x軸上交點(diǎn)為(l，0)和(3，0)。 解法三：由截距為3，即過(guò)三點(diǎn)(0，3)、(l，0)和(3，0), 可選擇一般式方程： 代人點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求a，b，c值。解法四：由一元二次方程與一元二次函數(shù)關(guān)系可選擇兩根式（必須與x軸有交點(diǎn)） 顯然；x13，x21。由截距

11、3，可求a值。 在把握整體的前提下，側(cè)重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性的基礎(chǔ)上，充分運(yùn)用思維靈活性調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)、技能尋找解題途徑。 3、思維的敏捷性指思維活動(dòng)的速度。它的指標(biāo)有二個(gè)：一是速度，二是正確率。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過(guò)程。思維靈活性對(duì)于思維速度和準(zhǔn)確率的提高起著決定性作用。 <例>相鄰邊長(zhǎng)為a和b的平行四邊形，分別繞兩邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體體積為Va（繞a邊）和Vb（繞b邊），則Va：Vb（ ） （A）a：b （B）b：a （C）a2：b2 （D）b2：a2 用直接法求解：以一般平行四邊形為例。如圖，可求:，aba則Va：Vbb：a，由于要引入兩邊夾角來(lái)求

12、解，學(xué)生常無(wú)法入手。若以特殊的平行四邊形 矩形來(lái)處理，則相當(dāng)簡(jiǎn)便。 此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性，以簡(jiǎn)馭繁，用特殊化思想求解，解題迅速、正確。 4、思維的獨(dú)創(chuàng)性指思維活動(dòng)的獨(dú)創(chuàng)程度，具有新穎善于應(yīng)變的特點(diǎn)。思維的靈活性為思維的獨(dú)創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的閃現(xiàn)提供了燃料。 在教學(xué)實(shí)線中，我常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出富有個(gè)性的見(jiàn)解的時(shí)候,往往是“思維火花”閃爍的時(shí)候 <例>求值：一般解法： 獨(dú)特靈活的解法1：令 則， 即，則原式 構(gòu)造對(duì)偶式求解，思維靈活頗有獨(dú)創(chuàng)牲。 解法2：構(gòu)造1為直徑的圓內(nèi)接三角形，三個(gè)角為， 則可構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)。 逆用余弦定理： 則原式靈活的構(gòu)想獨(dú)特巧妙，數(shù)形

13、結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。我在教學(xué)中比較注重學(xué)生解題思路的獨(dú)特征、新穎性的肯定和提倡，充分給予嘗試、探索的機(jī)會(huì)，以活躍思維、發(fā)展個(gè)性。 5、思維的批判性指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析的程度，是否善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和仔細(xì)地檢查思維過(guò)程。我在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的甚至懷疑的意見(jiàn)，注意引導(dǎo)和啟發(fā)，提倡獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。 <例>ABC中，求大部分學(xué)生如此解：由可得；由可得，進(jìn)而可求或。有學(xué)生提出異議：由可知：，同理可知。由知：不可能！即取不到。 故只有一解 學(xué)生對(duì)結(jié)論的可靠程度進(jìn)行懷疑，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴(yán)密論證了三角函數(shù)值取值的可能性

14、。 三、靈活新穎的教法探求和靈活扎實(shí)的學(xué)法指導(dǎo)。 教師的教法常常影響到學(xué)生的學(xué)法。靈活多變的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，而富有新意的學(xué)法指導(dǎo)能及時(shí)為學(xué)生注人靈活思維的活力。 “導(dǎo)入出新”良好的開(kāi)端是成功的一半。引人入勝的教學(xué)導(dǎo)入可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和熱情。以“創(chuàng)設(shè)情境”，“敘述故事”、“利用矛盾”、“設(shè)置懸念”、“引用名句”、“巧用道具”等新穎多變的教學(xué)手段，使學(xué)生及早進(jìn)入積極思維狀態(tài)。 “錯(cuò)解剖析”提供給學(xué)生題解過(guò)程，但其中有錯(cuò)誤的地方。讓學(xué)生反串角色，扮演教師批改作業(yè)。換一個(gè)角度來(lái)考察學(xué)生的知識(shí)掌握情況，尋找錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，以求更好的加深對(duì)知識(shí)的掌握。 “例題變式”從例題

15、入手，變換條件尋求結(jié)論的不同之處；變換結(jié)論尋求條件的不同之處；變換提出問(wèn)題的背景，尋求多題一解；變換問(wèn)題的思考角度，尋求一題多解；以變來(lái)培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。 “編制試卷”列出考查知識(shí)點(diǎn)、考查重點(diǎn)、試題類(lèi)型，讓學(xué)生自己編制一份測(cè)驗(yàn)試卷并給出解答。使學(xué)生站在老師的角度體驗(yàn)出題心理，更好的掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維方式。 “撰寫(xiě)小論文”根據(jù)學(xué)習(xí)體會(huì)、解題經(jīng)驗(yàn)、考試心得等等，撰寫(xiě)學(xué)科研究性小論文。選擇比較好的指導(dǎo)修改并編輯出版，激勵(lì)學(xué)生善于進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。以上只是我在培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性方面的一些實(shí)踐和體會(huì)。幾年來(lái)，所教學(xué)生在經(jīng)過(guò)有目的的培養(yǎng)后，思維品質(zhì)都有了很大的提高。相應(yīng)的，學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量也有了很大提高。許多學(xué)生進(jìn)入大學(xué)、甚至走上工作崗位后，常常來(lái)