第十六章--選修4-1幾何證明

1、第十六章 幾何證明（選修4-1）基礎知識1 .相似三角形與平行線等分線段定理：2. 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。3. 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。4. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。5. 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 6. 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。推論

2、2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。7. 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。8射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，直角邊是這條直角邊在斜邊的射影和斜邊的比例中項。如圖：，9. 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）幾何語言：若弦交于點P，則（相交弦定理）證明： (圓周角定理)，(圓周角定理) PBCPDA (兩角對應相等,兩三角形相似) ,既10切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項幾何語言：若切于點A，是的割線，

3、則（切割線定理）推論 （切割線定理推論）(割線定理）證明：連接=(弦切角定理) =(公共角)PABPAC (兩角對應相等,兩三角形相似)則： 即： 典型例題題型一：三角形性質(zhì)FABCDEMl例1.如圖，是平行四邊形的邊的中點，直線過點分別與相交于點若，則 ABCDE練習1.如圖,在和中,若與的周長之差為,則的周長為_.題型二：弦切角，圓周角，射影定理例2（1）如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，與相切, 切點為，則 .（2）如圖，圓的直徑，直線與圓相切于點， 于D，若，設，則_練習2.如圖，是的高，是外接圓的直徑。若，則圖中與相等的角是 ， 題型三：相交弦定理和切割線定理例3（1）如圖,已知圓中兩條弦

4、與相交于點是延長線上一點,且,若與圓相切,則線段的長為 .（2）如圖，已知和是圓的兩條弦，過點作圓的切線與的延長線相交于.過點作的平行線與圓交于點,與相交于點,，則線段的長為 . 練習3.（1）如圖，切于點，交于、兩點，且與直徑交于點，則 （2）【2015高考天津理】如圖，在圓 中， 是弦 的三等分點，弦 分別經(jīng)過點 .若 ，則線段 的長為( )（A） （B）3 （C） （D） （3）【2015高考湖北理】如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且，則 . （4）【2015高考廣東文】如圖，為圓的直徑，為的延長線上一點，過作圓的切線，切點為，過作直線的垂線，垂足為若，則 來源:Z*xx*k.Co

5、m題型四：幾何證明綜合問題例4.（1）【2015江蘇高考】如圖，在中，的外接圓圓O的弦交于點D求證：ABCEDO（2）【2015高考新課標2理】 如圖，為等腰三角形內(nèi)一點，圓與的底邊交于、兩點與底邊上的高交于點，與、分別相切于、兩點GAEFONDBCM （）證明：；（） 若等于的半徑，且，求四邊形的面積練習4.（1）【2015高考陜西理】如圖，切于點，直線交于，兩點，垂足為（I）證明：；（II）若，求的直徑（2）【2015高考新課標1】如圖AB是O直徑，AC是O切線，BC交O與點E.（I）若D為AC中點，求證：DE是O切線；（II）若 ，求的大小.課后練習 1.如圖,為外接圓的切線,的延長線交直線于點,分別為弦與弦上的點,且,四點共圓.()證明:是外接圓的直徑;()若,求過四點的圓的面積與外接圓面積的比值.2.如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明:(I) (II)3.（2014新課標1理）如圖，四邊形ABCD是