第三章3.1《不等關(guān)系與不等式》20141229

1、斗斗奮奮拼拼 博博凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 “橫看成嶺側(cè)成峰橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同遠(yuǎn)近高低各不同”，你肯定能你肯定能體會(huì)其中蘊(yùn)涵的不等關(guān)系體會(huì)其中蘊(yùn)涵的不等關(guān)系. 與等量關(guān)系一樣與等量關(guān)系一樣，不等關(guān)系也是自然界中存在著不等關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系，它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量的基本數(shù)量關(guān)系，它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在存在，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)用中也起著重要的作在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)用中也起著重要的作用用.一、本章概述：一、本章概述： 在本章中在本章中，我們將學(xué)習(xí)一些關(guān)于不等式的基本知我們將學(xué)習(xí)一些關(guān)于不等式的基本知識(shí)，通過(guò)不等式豐富的實(shí)際

2、背景識(shí)，通過(guò)不等式豐富的實(shí)際背景理解理解不等式不等式(組組)，體體會(huì)會(huì)不等關(guān)系與不等式的意義與價(jià)值；不等關(guān)系與不等式的意義與價(jià)值；理解理解二元一次不二元一次不等式等式(組組)與平面區(qū)域的關(guān)系；借助幾何直觀與平面區(qū)域的關(guān)系；借助幾何直觀解決解決簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題；的線性規(guī)劃問(wèn)題；遠(yuǎn)近高低遠(yuǎn)近高低凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 通過(guò)基本不等式通過(guò)基本不等式了解了解不等式的證明不等式的證明，解決解決一些簡(jiǎn)一些簡(jiǎn)單的最大單的最大(小小)值問(wèn)題；通過(guò)不等式與函數(shù)、方程的聯(lián)系值問(wèn)題；通過(guò)不等式與函數(shù)、方程的聯(lián)系，提高對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)部分內(nèi)容之間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，提高對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)部分內(nèi)容之間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)

3、.3.1不等式關(guān)系與不等式不等式關(guān)系與不等式3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式二元一次不等式(組組)與簡(jiǎn)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題單的線性規(guī)劃問(wèn)題 3.4基本不等式：基本不等式：a +bab2目目 錄錄3.1不等式關(guān)系與不等式不等式關(guān)系與不等式凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 不等關(guān)系不等關(guān)系不等式不等式二元一次不等式二元一次不等式(組組)不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用基本不等式基本不等式一元一次不等式一元一次不等式一、新課引入：一、新課引入： 現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，既有相等關(guān)系，又存在著大量不等關(guān)系又存在著大量不等關(guān)系.

4、如：如：兩點(diǎn)之間線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；長(zhǎng)與短、大與小、高與矮、輕與重、不超過(guò)或少于等長(zhǎng)與短、大與小、高與矮、輕與重、不超過(guò)或少于等，來(lái)描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系，來(lái)描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系. .不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式1、想一想不等關(guān)系與不等式有何區(qū)別？想一想不等關(guān)系與不等式有何區(qū)別？提示提示：不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的關(guān)系關(guān)系，而不等而不等式則來(lái)表示不等關(guān)系的式則來(lái)表示不等關(guān)系的式子式子. .不等關(guān)系是通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的不等關(guān)系是通

5、過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的. .2、不等式中文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換不等式中文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換大于大于小于小于大于大于等于等于小于小于等于等于至多至多至少至少不少不少于于不多不多于于3、ab或或ab分別有什么含義？分別有什么含義？不等式不等式ab讀作讀作“a小于或者等于小于或者等于b”，其含義是指其含義是指“或者或者ab或者或者a=b ”等價(jià)于等價(jià)于“a不大于不大于b”若若“ab或或a=b ”之中有一個(gè)正確，之中有一個(gè)正確，ab正確正確. . abFF40實(shí)例實(shí)例2 某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量

6、，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于應(yīng)不少于2.3% . 在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示這樣的不等在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示這樣的不等關(guān)系關(guān)系.實(shí)例實(shí)例1 限速限速40km/h，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)不超過(guò)40km/h的路標(biāo)的路標(biāo).思考：思考： 以上兩個(gè)不等式關(guān)系中的不等詞？以上兩個(gè)不等式關(guān)系中的不等詞？將上兩個(gè)不等式關(guān)系用不等式將上兩個(gè)不等式關(guān)系用不等式(組組)表示？表示？V40.2.52.3fp不超過(guò)不超過(guò)不少于不少于不少于不少于二、問(wèn)題情境二、問(wèn)題情境：?jiǎn)栴}問(wèn)題1：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A與平面與平面的距離為的距離為d，B為平面為平面上的任意上的

7、任意一點(diǎn)，則一點(diǎn)，則d|A B|.問(wèn)題問(wèn)題2：某種雜志原以每本某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售元的價(jià)格銷售，可以售出出8萬(wàn)本萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)提高若單價(jià)提高0.1元，銷售量相元，銷售量相應(yīng)減少應(yīng)減少2000本本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元元，怎怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？萬(wàn)元呢？分析分析：若雜志的定價(jià)為若雜志的定價(jià)為x元，則銷售總收入為：元，則銷售總收入為：2.5(80.2)0.1xx萬(wàn)元，那么不等關(guān)系那么不等關(guān)系“銷售的總銷售的總收入仍不低于收入仍不低于20萬(wàn)元萬(wàn)元”，可以表示為不等式：

8、可以表示為不等式：2.5(80.2)20.0.1xx問(wèn)題問(wèn)題3：某鋼廠要把長(zhǎng)度為某鋼廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成的鋼管截成500mm和和600mm兩種兩種，按照生產(chǎn)的要求按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量鋼管的數(shù)量不能超過(guò)不能超過(guò)500mm鋼管的鋼管的3倍倍，怎樣寫(xiě)出滿足上述所有不怎樣寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？等關(guān)系的不等式呢？分析分析：假設(shè)截得假設(shè)截得500mm的鋼管的鋼管x根，截得根，截得600mm的鋼管的鋼管y根根，根據(jù)題意根據(jù)題意，應(yīng)用如下的不等式關(guān)系：應(yīng)用如下的不等式關(guān)系：截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm；截得截得600mm的數(shù)量

9、不能超過(guò)的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的鋼管數(shù)量的3倍；倍；截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)的整數(shù)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)的整數(shù).要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：組來(lái)表示：5x6y403xyxN*yN*500 x+600y40003xyxN*yN*xyOy=3x5x6y+40=0三、反饋練習(xí)三、反饋練習(xí)：1.用不等式表示下面的不等關(guān)系用不等式表示下面的不等關(guān)系：.a與與b的和是非負(fù)數(shù)；的和是非負(fù)數(shù)；.某公路立交橋?qū)νㄟ^(guò)車輛的高度某公路立交橋?qū)νㄟ^(guò)車輛的高度h“限高限高4m”；.如圖，在一個(gè)面積為如圖，在一個(gè)面積為350m2

10、的矩形地基上建造一個(gè)的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L大于寬大于寬W的的4倍倍.a+b0h4倉(cāng)倉(cāng) 庫(kù)庫(kù)綠地綠地5m5m5m5mLW(L+10)(W+10)=350L4W練習(xí)練習(xí)：2.有一個(gè)兩位數(shù)大于有一個(gè)兩位數(shù)大于50而小于而小于60，其個(gè)位數(shù)字比其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大十位數(shù)字大2.試用不等式表示上述關(guān)系，并求出這兩位試用不等式表示上述關(guān)系，并求出這兩位數(shù)數(shù)(用用a和和b分別表示這兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別表示這兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字).50 10 + 60+2 =abab50 11 +2 60a4858b； ab=0a=b； ab0ab， 最基

11、本的方法就是證明最基本的方法就是證明ab0，即把不等式相減，轉(zhuǎn)化為比較差與即把不等式相減，轉(zhuǎn)化為比較差與0的大小的大小 .關(guān)于實(shí)數(shù)關(guān)于實(shí)數(shù)a、b大小的比較大小的比較(基本理論基本理論)：一般步驟一般步驟:作差作差變形變形定號(hào)，定號(hào)，變形是關(guān)鍵變形是關(guān)鍵.變形常用手段，變形常用手段，配方法，因式分解法配方法，因式分解法.變形常見(jiàn)形式是：變形常見(jiàn)形式是：變形為常數(shù)變形為常數(shù)；一個(gè)常數(shù)與幾個(gè)平一個(gè)常數(shù)與幾個(gè)平方和；幾個(gè)因式的積方和；幾個(gè)因式的積.例例1 ：已知已知ab0，試比較，試比較(a2+b2)(ab)與與(a2b2)(a+b)的大??；的大小；解解 ：比較法比較法(作差法作差法)(a2+b2)(

12、ab)(a2b2)(a+b)= (ab) (a2+b2)(a+b)2 =2ab(ab) ab0，ab0，ab0，2ab(a b)0，故故(a2+b2)(ab) b；如果；如果a- -b等于零，那么等于零，那么a= =b；如果；如果a- -b是負(fù)數(shù)，那么是負(fù)數(shù)，那么a b，那么，那么b a；如果；如果b b. .即即abba性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果如果a b，b c, ,那么那么ac.即即,ab bcac性質(zhì)性質(zhì)3 3：如果如果a b，那么，那么a+cb+c.性質(zhì)性質(zhì)4 4：如果如果a b，c 0, ,那么那么acbc.如果如果ab,c0,那么那么 ac b，c d, ,那么那么a+cb+d.性質(zhì)性

13、質(zhì)6 6：如果如果ab0，cd0, ,那么那么acbd.性質(zhì)性質(zhì)7 7：如果如果ab0， 那么那么an bn( (nN,n1) ).性質(zhì)性質(zhì)8 8：如果如果ab0， ( (nN,n2) ).nnab凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 10,0.ccabcab例：已知求證：10,0,0.ababab11ababab 11ba即0,c 得ccab凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 用不等號(hào)用不等號(hào)“”或或“0.故故 (a3+b3)(a2b+ab2)0，即即a3+b3a2b+ab2.a0，b0，且且ab， a+b0，而而(ab)20.例例3比較比較x2與與2x兩個(gè)代數(shù)式的大小

14、兩個(gè)代數(shù)式的大小.解：解：比較法比較法(作差法作差法) x22x=x(x2)，若若x0，所以所以x22x；若若0 x2，則則x(x2)0，所以所以x22，則則x(x2)0，所以所以x22x.凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 反饋練習(xí)反饋練習(xí) 比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x3與與x2x+1； x2+y2+1與與2(x+y1).xyO1 2當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，x3x2x+1 = x2(x1) (x1) = (x1)(x2 1)= (x1)2(x +1)0.x2+y2+12(x+y1)=(x1)2+(y1)20.凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)

15、準(zhǔn) 確確 高高 效效 五、拓展延伸五、拓展延伸：如果用如果用akg白糖制出白糖制出bkg糖溶液糖溶液，則其濃度為則其濃度為a:b，若在上述溶液中再添加，若在上述溶液中再添加mkg白糖，此時(shí)溶液的白糖，此時(shí)溶液的濃度增加到濃度增加到 (a+m):(b+m)將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并給出證明問(wèn)題，并給出證明.分析分析 顯然，顯然，a，b，m都是正數(shù)，而且都是正數(shù)，而且ab，生活生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在已有的糖溶液中加糖，溶液經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在已有的糖溶液中加糖，溶液的濃度增大的濃度增大(糖水加糖，甜更甜糖水加糖，甜更甜 ).解解 已知已知 a，b，m都是正數(shù)，并且都是正數(shù)，并且a.b+mb將不等式兩邊相減，得將不等式兩邊相減，得a +mam(ba)=.b+mbb(b+m)凝凝 思思 靜靜 想想 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 高高 效效 m(ba)a +maa +ma 0 0.b(b+m)b+mbb+mb，即即所所以以因?yàn)橐驗(yàn)閍0；又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍，b，m都是正都是正數(shù)，所以數(shù)，所以m(ba)0 ，b(b+m)0.六、歸納總結(jié)六、歸納總結(jié)：本節(jié)主要講了兩個(gè)內(nèi)容：本節(jié)主要講了兩個(gè)內(nèi)容：不等關(guān)系與不等式；不等關(guān)系與不等式；關(guān)于實(shí)數(shù)關(guān)于實(shí)數(shù)a、b大小