第六節(jié)微積分基本定理56368

1、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(ttdttv 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時是時間間隔間間隔,21tt上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12tsts 第六節(jié)第六節(jié) 微積分基本定理微積分基本定理一、問題的提出一、問題的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及

2、其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), ,)(bacxf則變上限函數(shù)則變上限函數(shù)xattfxd)()(證證:, ,bahxx則有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim fx )(xf)(x定理定理1. 若若.,)(上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù)在在是是baxf,)(bacxf)(xfy xbayo定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系. 如如果果)(tf

3、連連續(xù)續(xù)，)(xu、)(xv可可導(dǎo)導(dǎo)，則則 補充補充 )()()()(xvxvfxuxuf 證證則則令令),(),(,)()(0 xvvxuudttfuu )()()(0)(0 dttfdttfxvxu )()()()(xvxvfxuxuf )()()( xuxvdttf)()()( xuxvdttf)()( xvxu)()()()(xvvxuu )sin(e2cosxx例例1. 求求0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 x

4、xax時,0c. 0 b00原式原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c洛洛洛洛 ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xfttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xf20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xf只要證0)( xf 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x證證, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)(

5、 xfxf, 1)( xf)(xf在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 令令三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式上的一個原上的一個原在在是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè),)()(baxfxf)()(d)(afbfxxfba ( 牛頓 - 萊布尼茨公式) 證證: 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個原函數(shù)是xfxxfxa故cxxfxfxad)()(,ax 令, )(afc 得因此)()(d)(afxfxxfxa,bx 再令得)()(d)(afbfxxfba記作)(xfab)(xfab定理定理2.函數(shù)函數(shù) , 則則或)()

6、()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：),)()(abfabf 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.與之間與之間與與在在ba 積積分分中中值值定定理理中中的的 可可在在開開區(qū)區(qū)間間),( ba取取得得. 例例5 5 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例6 6 設(shè)設(shè) ,

7、 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx. 6 xyo12例例7 7 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例8 8 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 3.微積分基本公式微積分

8、基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小結(jié)四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是 t與與 u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfdu

9、ufdxdbx 3234)(2xxxf備用題備用題解解：1.設(shè)設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求求).(xf定積分為常數(shù)定積分為常數(shù) ,d)(10axxf可設(shè)可設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 則則10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b2. 設(shè)設(shè)證證：,dsin,dtan0302xxtttt試證: 當(dāng) 0limxxxxxx21023sin2tanlim0 x時, = o( ) . xxxxx210232limxxx21202lim0所以 = o( ) . xxxxxsintan0時

10、洛3. 設(shè)設(shè),0) 1 (,)(1fctf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 對已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考: 若改題為xttfxlnd)(313?(e) f提示提示: 兩邊求導(dǎo), 得331)(xxfe1d)(e)xxff得4.求求解解: 由于由于20dsin2sinxxnxin的遞推公式(n為正整數(shù)) . ,dsin) 1(2sin201xxxnin因此1n

11、nii20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnii12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxi其中一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxi dxnxmx

12、sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3i= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，

13、求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連

14、續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時，時，或或，當(dāng)，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達式內(nèi)的表達式 . .八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba內(nèi)有且僅有一個根內(nèi)有且僅有一個根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,