隨機(jī)變量的方差PPT課件

1、Nov-21.)()()( dxxfXExXDXi2常用計(jì)算公式常用計(jì)算公式：D(X)E (X2) E(X)2證證 明明 重要分布的方差計(jì)算重要分布的方差計(jì)算證證 明明 見見P110例例4.2.51.XP(l) , 則 E(X) = l , D(X) = l ;2. XB(n, p) , 則 E(X) = np;D(X) = np(1p)第1頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21典型分布的數(shù)學(xué)期望與方差：典型分布的數(shù)學(xué)期望與方差：5.均勻分布均勻分布E(X)=(b+a)/2 ， D(X)=(ba)2/12 1. XP(l) , 則 E(X) = D(X) = l ;2. XB(n, p) , 則 E(X)

2、= np;D(X) = np(1p)4. XN(m , s 2 ) , 則 E(X) = m ;D(X) = s s 2 2 證證 明明3. XN(m , s 2 ) , 則 E(X) = m ;D(X) = s s 2 2 6.指數(shù)分布指數(shù)分布1()E Xl l 21()D Xl l 第2頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21例例 4.2.1例例 4.2.3例例 4.2.2設(shè)設(shè)X , X1, X2, ., Xn 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量，c, b 是常數(shù)是常數(shù)1）E( c ) = c，2）E( c X) = cE(X)，D( c ) =0；D( c X) = c2 D(X) ；練習(xí)練習(xí)第3頁(yè)/共26頁(yè)Nov-

3、21 nijijjiiniiniiXEXXEXEXDXD111)()(2)()(; )()()311 niiniiXEXE若若X1, X2 ,., Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則，則 niiniiXDXD11)()()()(11 niiniiXEXE第4頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21證明證明: )()(2111 niiniiniiXEXEXD)(21 niiiXEXE nijijjiiniiiXEXXEXEXEXE112)()(2)(若若Xi , i=1,2,n 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則)()()(jijiXEXEXXE 第5頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21)()(jjiiXEXXEXE niiniiXDXD1

4、1).()(故有故有0)()()( jijiXEXEXXE例例 4.2.4例例 4.2.5例例 4.2.64）D( X ) =0P X =E(X) =1.第6頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21)()5不等式不等式Chebyshev :|()|()( )xxE XP XE Xf x dx 2)()( XDXEXP 22:|()|()( )xxE XxE Xf x dx 有有存在，則存在，則的方差的方差若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量0)( XDX證明證明第7頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 dxxfXEx)()(1222)( XD方差刻劃了隨機(jī)變量方差刻劃了隨機(jī)變量 X 相對(duì)數(shù)學(xué)期相對(duì)數(shù)學(xué)期望的平均偏離程度！望的平均偏離程度

5、！2)()( XDXEXP 方差是隨機(jī)變量方差是隨機(jī)變量 X 關(guān)于任何值的關(guān)于任何值的偏離程度的最小值！偏離程度的最小值！第8頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21誰的技術(shù)水平發(fā)揮的更高？誰的技術(shù)水平發(fā)揮的更高？已知甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的歷史記錄為：已知甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的歷史記錄為：00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)05678910 X00.10.10.030.020.050.7P(Y=yk)05678910 Y甲甲乙乙E(X)=100.5+90.2+80.1+70.1+6 0.05+ 50.05=8.85(環(huán)環(huán)）E(Y)=100.7+90.05+80.02+70.03+6 0.1+

6、5 0.1=8.92(環(huán)環(huán)）第9頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21從從平均水平平均水平來看，乙的技術(shù)水平略高些來看，乙的技術(shù)水平略高些.考慮其平方偏差值的平均值考慮其平方偏差值的平均值甲：甲：2275.22)(1052)( XEXEiiXPXEi乙乙：4860.32)(1052)( YEYEkkYPYEk說明甲的技術(shù)水平發(fā)揮的更穩(wěn)定一些說明甲的技術(shù)水平發(fā)揮的更穩(wěn)定一些.第10頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21證明證明D(X) = EXE(X)2= EX22XE(X) + E(X)2= E(X2 ) 2E(X ) E(X) + E(X)2= E(X2 ) E(X)2D(X)= E(X 2 ) E(X)2第11頁(yè)/共

7、26頁(yè)Nov-21 l l l l l l l l 1202)!1()11(!)(kkkkkkekkeXE l l l l l l l l 12)!1()!2(kkkkkekel ll ll ll ll ll leeee 21. XP(l) , 則 E(X) = l , D(X) = l ;l ll l 2l l l l l l l l 2222)()()(XEXEXD第12頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 dxxfxXD)()()(:2m m證明證明s sm m xt dtett22222 s s2s s分部積分分部積分 s s 2222ttde dxexx222221s sm mm m s s)(

8、)(3. XN(m , s 2 ) , 則 E(X) = m，2s s )(XD第13頁(yè)/共26頁(yè)Nov-211 . 2 . 4例例222)(2)()()(xXxEXExXEx 證證明明).(, 02)(2)(XExxXEx 得得到到令令, 02)()( XExx又又 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X關(guān)于自身數(shù)學(xué)期望的偏離程度比關(guān)于自身數(shù)學(xué)期望的偏離程度比相對(duì)其它任何值的偏離程度都小相對(duì)其它任何值的偏離程度都小.)()(處處取取到到最最小小值值在在故故XExx .)(, )()(2時(shí)達(dá)到最小時(shí)達(dá)到最小當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)證明證明XExRxxXEx 第14頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21例例4.2.2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X

9、的分布律為的分布律為X101P1/21/31/61)求求D(X). 2) Y=X 2+1, 求求D(Y). 解 1) E(X)=(1)1/2+01/3+11/6=1/3,E(X2)=(1)21/2+021/3+121/6=2/3,D(X)= E(X2) E(X)2=5/9.第15頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 2) E(Y)=(1)2+11/2+ 02+11/3 +12+11/6=5/3, E(Y2)=E(X4+2X2+1)=3,D(Y)= E(Y2) E(Y)2 = 2/9.第16頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21例例4.2.3且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,YX.的方差的方差求求YX )1

10、, 0(), 0(,21NYXNYYX 具有可加性具有可加性正態(tài)分布正態(tài)分布相互獨(dú)立相互獨(dú)立解解,/2)( ZE) 1, 0( NZYXZ則則令令 , 1)(, 0)( ZDZE則則), 0(,21NYX222()()( ) ( )1,E ZE ZD ZE Z 21)()()(22ZEZEYXD第17頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21練習(xí)練習(xí)： 設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p ,進(jìn)行進(jìn)行100次獨(dú)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p = 時(shí)，成功次數(shù)的時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其值為標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其值為 .),100(pBXX，則則設(shè)設(shè)成成功功次次數(shù)數(shù)為為解解, )1(10)1(10

11、0)()(ppppXDX s s, 10),1()( pppp引引入入函函數(shù)數(shù)1/25,21021)( ppp令令第18頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21,21)(取最大值取最大值在在 pp. 5110 s s）（）（故故ppX, 2)5 . 0 p(p又又因因第19頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 XDXEXXXDXDXEX)(0)()(),(* 令令存在，且存在，且的的隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 1)(, 0)(* XDXE證證明明, 0)()(1)(* XEXEXDXE證證, 1)()()()(1)(* XDXDXEXDXDXD例例4.2.4第20頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21稱稱X* 為為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)

12、化隨機(jī)變量.特別地特別地)1 ,0(),(2NXNXs sm ms sm m 則則第21頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 ).(),(,)1 , 0(,2222YXDYXEYXNYX 求求相互獨(dú)立相互獨(dú)立且且設(shè)設(shè), 1)()()(),1 , 0(,22 XEXDXENYX由由解解例例4.2.5,)()()(2242XEXEXD xxedx24211312.2 , 1)(2 YE同理同理, 2)(22 YXE第22頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21. 4)()()(,2222 YDXDYXDYX相互獨(dú)立相互獨(dú)立又又分布.的服從自由度為2222cYX第23頁(yè)/共26頁(yè)Nov-21 例例3.3.6 假設(shè)進(jìn)行了假設(shè)進(jìn)行了n次獨(dú)立試驗(yàn)，事件次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A在第在第k次試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的概率為次試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的概率為pk, 求事件求事件A在在n次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)的總次數(shù)次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)的總次數(shù) X 的期望和方差的期望和方差. 解解 設(shè)事件設(shè)事件A在第在第k次試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的次數(shù)為次試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的次數(shù)為Xk，則則nkpBXkk, 2 , 1), 1( 相互獨(dú)立，且總出現(xiàn)次數(shù)為相互獨(dú)立，且總出現(xiàn)次數(shù)為 n