第2章-中子慢化與擴散

1、1第第2章章 中子慢化和擴散中子慢化和擴散n中子與散射核碰撞而降低能量的過程稱為中子的慢化過程。顯然，對于熱中子反應(yīng)堆而言，慢化過程是一個非常重要的物理過程。n處于與周圍介質(zhì)同樣溫度的熱中子在系統(tǒng)中要進行擴散。同樣，擴散過程也是一個非常重要的物理過程。n本章首先介紹熱中子反應(yīng)堆內(nèi)的中子循環(huán)和鏈式裂變反應(yīng)產(chǎn)生的條件。其次介紹中子的慢化過程和擴散過程的特點以及對反應(yīng)堆內(nèi)的鏈式裂變反應(yīng)起著的重要作用。22.1 鏈式裂變反應(yīng)鏈式裂變反應(yīng)n2.1.1 熱中子反應(yīng)堆內(nèi)的中子循環(huán)熱中子反應(yīng)堆內(nèi)的中子循環(huán)3中子循環(huán)N個裂變中子在238U內(nèi)快裂變增殖倍N個快中子NPF個快中子N(1PF)個快中子泄漏NPF (1

2、p)個中子被238U吸收NPFp個熱中子NPFp PT個熱中子NPFp PT f個熱中子被燃料吸收新一代NPFp PTf個裂變中子NPFp PT (1f)個熱中子被控制棒結(jié)構(gòu)材料等吸收NPFp (1PT )個熱中子泄漏NPFp PT f(1-/)個熱中子被芯塊非裂變吸收4快中子增殖因數(shù) 的快中子數(shù)僅由熱中子裂變所產(chǎn)生變所產(chǎn)生的快中子總數(shù)熱中子和快中子引起裂的快中子數(shù)僅由熱中子裂變所產(chǎn)生以下的快中子數(shù)慢化到MeV1 . 15逃脫共振吸收幾率np為一個中子經(jīng)過共振能區(qū)而不被吸收的幾率，即逃脫共振吸收幾率。主要是逃脫238U的共振吸收，238U的共振能區(qū)：6.67，20.9，36.8，66.5，10

3、2.5eV。（見表1-7）6熱中子利用因數(shù) 被吸收的熱中子總數(shù)燃料吸收的熱中子數(shù)faMaaaaf85857有效裂變中子數(shù)n為有效裂變中子數(shù)，它的定義為燃料每吸收一個熱中子所產(chǎn)生的裂變中子數(shù)：n 5885555885555558555)(NNNNNffffaaf8中子循環(huán)舉例nN1=100個快中子，其中:n2個快中子引起238U的裂變并放出5個次級快中子，n加上其余98個快中子，共：n103個快中子，其中:n2個快中子泄漏到反應(yīng)堆外，其余n101個快中子，其中:n5個共振中子被238U俘獲，其余n96個中子被慢化為熱中子，其中：n3個熱中子在擴散過程中被泄漏到反應(yīng)堆堆外，其余n93個熱中子，其中

4、:n17個熱中子被慢化劑/冷卻劑和結(jié)構(gòu)材料俘獲，其余n76個熱中子被U俘獲，其中：n10個熱中子被235U俘獲不裂變，n26個熱中子被238U俘獲，n40個熱中子引起235U裂變并放出第二代中子nN2=100個快中子.92.1.2 自持鏈式裂變反應(yīng)的臨界條件自持鏈式裂變反應(yīng)的臨界條件n從熱中子反應(yīng)堆內(nèi)的中子循環(huán)可知，能否實現(xiàn)自持的鏈式反應(yīng)，取決于下列幾個過程：n（1）燃料吸收熱中子引起的裂變n主要是熱中子引起235U的裂變，這是產(chǎn)生中子的主要來源；n（2）238U的快中子增殖n能量大于1.1MeV的中子引起238U的裂變，產(chǎn)生裂變中子。對于天然鈾，這些裂變中子約占燃料裂變中子的3左右；n（3）

5、慢化過程中的共振吸收n（4）慢化劑以及結(jié)構(gòu)材料等物質(zhì)的輻射俘獲n（5）中子的泄漏10從中子循環(huán)nP=PFPT表示中子在慢化、擴散過程中不泄漏幾率。n無限大反應(yīng)堆，中子不泄漏幾率P1。這時的增殖因數(shù)稱為無限介質(zhì)的增殖因數(shù)kn kpf數(shù)堆內(nèi)上一代裂變中子總堆內(nèi)一代裂變中子數(shù)effkPpfkeff11影響因素n（燃料性質(zhì)）；（燃料性質(zhì)）np和f兩個因素是互相制約的，它們與燃料和慢化劑所占的份額有關(guān)。n燃料份額，慢化劑份額，f將，而p將。n燃料份額，慢化劑份額，f將，而p將。n反之正好相反。在實際應(yīng)用上，必須找出一種能使乘積pf為最大的成分和布置，以使鏈式反應(yīng)得以維持。n堆芯尺寸，不泄漏幾率P，如P1

6、，則有四因子公式：kpf，可以寫為nkeff= kP=1 臨界條件12從中子數(shù)守恒的觀點來看n 則中子的產(chǎn)生率與消失率處于動態(tài)平衡。因而，反應(yīng)堆有比較穩(wěn)定的中子通量密度。該系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。 n 說明中子的消失率大于產(chǎn)生率。因而，系統(tǒng)中的中子將越來越少，該系統(tǒng)處于次臨界狀態(tài)。 n 說明隨著裂變鏈的進行，中子的消失率小于產(chǎn)生率。因而，系統(tǒng)中的中子將越來越多，該系統(tǒng)處于超臨界狀態(tài)。 泄漏）中子的消失率（吸收中子的產(chǎn)生率effk1effk1effk1effk13復(fù)習(xí)題n習(xí)題1n在某個用U-235作燃料的熱中子反應(yīng)堆內(nèi)，裂變放出的中子中有25逃出堆芯，留在堆芯內(nèi)的中子有30被堆內(nèi)慢化劑、結(jié)構(gòu)材料和其它

7、非裂變材料所吸收，其余的被燃料吸收，被U-235吸收的中子中有85引起裂變，如果2.42，試問這時的反應(yīng)堆是否臨界? keff多大？n習(xí)題2n熱中子反應(yīng)堆無限增殖因數(shù)為1.10，快中子增殖因數(shù)、逃脫共振吸收幾率和熱中子利用因數(shù)的乘積為0.65，求該堆所用核燃料中U-235的富集度為多少？14答案1：n因為燃料為U-235，所以1，p1。nP=1-25%=0.75, f=1-0.3=0.7, =0.85*2.42=2.057nkeff= kP=pfPn=1*1*0.7*2.057*0.75=1.079915答案2：n查表： 靶恩n 代入上式，有結(jié)果： 7 . 2, 6 .98, 2 .58285

8、5f5858855557 . 26 .982 .5822 .582418. 2NNNNff6923. 165. 01 . 1pfk8555558/ )(ffNN83.5558NN%76. 183.55111158855NNNNN162.2 中子的慢化中子的慢化n反應(yīng)堆堆芯中產(chǎn)生的裂變中子，都是快中子。其平均能量約為2MeV。這些中子在引起燃料核下次裂變(以維持鏈式反應(yīng))以前，由于與系統(tǒng)中介質(zhì)的原子核進行連續(xù)的彈性和非彈性碰撞的結(jié)果，其能量通常降低了幾個數(shù)量級。例如，在熱中子反應(yīng)堆內(nèi)幾乎所有的裂變中子在引起燃料核進一步裂變之前，都已慢化到熱能。 17慢化的物理機制無限大、均勻、非增殖介質(zhì)n 彈性

9、散射 動量、動能守恒 低能中子與低質(zhì)n慢化 量數(shù)核的散射。n 非彈性散射 動量守恒、動能不守恒 高能中n 子與大質(zhì)量數(shù)核的散射。 n壓水堆內(nèi)中子的慢化主要是中子與輕核的彈性散射。在彈性散射中，快中子將自己的動能傳遞給慢化劑H原子核，而本身被慢化成熱中子。如果有大量的中等核或重核存在時，那么由這些核引起的非彈性碰撞可能對中子的慢化有重要的作用，必須予以考慮。182.2.1 彈性碰撞理論彈性碰撞理論n在討論中子與原子核彈性碰撞的問題時，可以用兩種方便的參考系。這就是實驗室(L)系和質(zhì)心(C)系。前者假定靶核是靜止的，而后者把中子-核系統(tǒng)的質(zhì)量中心當作是靜止的。在L系里，基本上是用一個外界觀察者的觀

10、點來看問題的，而在C系里，則用一個隨中子和核所組成系統(tǒng)的質(zhì)量中心運動的觀察者的觀點來進行研究。對于理論處理，后一個參考系比較簡單些，雖然實驗測量是在前一個參考系中進行的。19圖2-3 實驗室(L)系和質(zhì)心系(C)里中子的散射20L系n碰撞前：中子 質(zhì)量為1，速度為v1；靶核 質(zhì)量為A，速度為0。n碰撞后：質(zhì)量中心速度（相對于靜止核）速度為vm。n碰撞前后總動量相等 1vvv) 1(0v11AAAmm21C系中 nC系中，假定質(zhì)量中心是靜止的，所以靶核以vm的速度向質(zhì)心接近。n碰前中子與靶核的相對速度是v1，故中子接近質(zhì)心的速度為v1-vm n 1v1vvvv1111AAAm22C系n在C系里，

11、中子和散射核似乎分別以 和 的速度相互接近著。n因此，質(zhì)量為1的中子沿著它運動方向的動量是 ，而質(zhì)量為A的核的動量也是 ，但沿著相反方向。這樣，在碰撞前對于質(zhì)量中心的總動量是零，而根據(jù)動量守恒原理，在碰撞后總動量也必為零。 ) 1/(v1AA) 1/(v1A) 1/(v1AA) 1/(v1AA23C系里n在碰撞以后，C系里的中子沿著與原方向成角的方向離開質(zhì)心，這就是C系中的散射角。這時反沖核必須沿相反方向運動，因為質(zhì)心永遠在兩個粒子的連線上。如果 是C系里碰撞后的中子速度，而n 是核的速度，那末總動量為零的條件可以表示成n (2-13)baAvv avbv24C系n上面已經(jīng)看到，在C系里，中子

12、和核的碰撞前的速度分別由(2-12)式和(2-11)式給出。因此，能量守恒條件可以寫成n (2-14)n等式左邊表示碰撞前的總動能，而右邊是碰撞后的總動能。由式(2-13)和式(2-14)可以解出和222121v21v21)1v(21)1v(21baAAAAA1vv1vv11AAAba25C系n把這些結(jié)果與式(2-11)和式(2-12)相比較，可以看出，在C系里，中子與核碰撞后的速度與它們碰撞前的速度完全相等。因此，一個位于碰撞粒子質(zhì)量中心的觀察者，在碰撞前會看到中子和核沿相反方向、以反比于它們質(zhì)量的速度向他接近，而在碰撞后粒子就好象沿著相反方向(通常不同于原方向)離開他而運動，它們各自的速度

13、不變。26參考系的轉(zhuǎn)換n為了決定中子在碰撞時的動能損失，必須把C系中得到的結(jié)果變回L系。要進行這種變換，需要利用兩系統(tǒng)恒以速度(即L系中的質(zhì)心速度)作相對運動的關(guān)系。因此，在L系內(nèi)中子碰撞后的速度，可以由C系內(nèi)中子碰撞后速度矢量加上L系內(nèi)質(zhì)心運動矢量得到。 27圖2-4 由C系到L系的變換28L系n設(shè) 是L系內(nèi)中子碰撞后的速度，則由余弦定律，n代入式(2-11)、(2-12)得出的 和 值，結(jié)果得2vcosvv2vvv2222amammvav2221221212122) 1() 1cos2(vcos) 1(v2)1v()1v(vAAAAAAAA29能量比率n散射前中子的動能E1是 ，而散射后動

14、能E2是 。因此，由式(2-15)可以得到碰撞后中子能量與碰撞前能量的比率為21v21m22v21m22212212) 1(1cos2vvAAAEE2)11(AAcos)1 ()1(2112EE30比率E2/E1 n最大值，即最小的能量損失，它發(fā)生在0，即掠射碰撞。這時cos1，而式(2-18)就變成 或n最小值，也就是可能最大的能量交換，發(fā)生在，即迎頭碰撞時，cos-， (2-18)就變成 或11maxEE1minEE1maxEE1minEE31數(shù)值 與靶核的質(zhì)量數(shù)A有關(guān) n對于氫，A1，因此， 0。這樣，中子在與氫核碰撞一次時，有可能失去全部動能。n對于氘，A=2， =0.111。因此，中

15、子在與氘核碰撞時，可能最大損失能量的份額為1-0.11188.9n對于碳，A12， 0.716。因此，中子在與碳核碰撞時，可能最大損失能量的分數(shù)為1-0.71628.4 n 32n展開成級數(shù)n當A50時，取級數(shù)展開式中的前兩項，而不會產(chǎn)生嚴重誤差：n此時，每一碰撞的最大能量損失是n若A100，在一次碰撞中，中子可能損失的能量大約為4%。若A200，則大約為2%。 3212841AAAA4111max4)1 (EAEE33經(jīng)驗散射定律 n中子散射是球?qū)ΨQ的，即各向同性的。n原來能量為E1的中子，在散射后可能具有能量在E2和E2dE2范圍內(nèi)的幾率是n在散射后，中子能量落在某一個特定間隔中的幾率與最

16、后能量無關(guān)。實際上等于E除以E1(1-)。后一個因數(shù)正是每一碰撞的可能最大能量減小數(shù)。 )1 ()(1222EdEdEEp34平均散射角余弦 n對于一個重質(zhì)量的散射核，A1，由式(2-30)得coscos。換句話說，這時L系的散射角等于C系的散射角。所以，如果較重核的散射在C系內(nèi)是球?qū)ΨQ的話，那末在L系內(nèi)也是一樣。n一般說來，如果在C系內(nèi)的散射是各向同性，則L系內(nèi)的平均散射角余弦由下式給出40400coscosddA320352.2.2平均對數(shù)能降 n對數(shù)能降定義n碰撞前后中子對數(shù)能降的變化為 n平均對數(shù)能降：n EEu0ln2112lnEEuuln11)()(lnln111122222121

17、EEEEdEEpdEEpEEEE36能量與對數(shù)能降的關(guān)系37平均對數(shù)能降表達式n普通：n若A12，可以得到一個很好的近似：n甚至當A2時，上式的誤差也只是3.3%。 )11ln(2) 1(12AAAA3/22A38求碰撞次數(shù)n只與介質(zhì)核性質(zhì)有關(guān)，與中子能量無關(guān)。與A大致成反比。對于輕核，較大，碰撞一次，中子損失的能量較大，慢化更有效。n平均碰撞次數(shù)：n例：E1=2MeV, E2=0.0253eV, =0.158,求N=?21lnEEN 115158. 0025. 0102ln6N39表表2-1 8種核素的散射性質(zhì)種核素的散射性質(zhì) 元 素質(zhì)量數(shù)平均對數(shù)能降熱化中子碰撞數(shù)氫11.00018氘20.

18、72525氦40.42543鋰70.26867鈹90.20987碳120.158115氧160.120151鈾-2382380.008382170402.2.4 連續(xù)慢化年齡近似連續(xù)慢化年齡近似n對數(shù)能降是碰撞數(shù)的連續(xù)函數(shù)，對于所有的整數(shù)值n它都正好等于所需的值n(圖2-7)。正是模型的這一特性使得易于對其進行數(shù)學(xué)處理，而且獲得連續(xù)慢化模型這一名稱。41慢化密度 n慢化中子的空間分布和總的不泄漏幾率有關(guān)，此時感興趣的是慢化密度而不是中子通量密度。中子慢化密度隨能量的變化較為平緩。n中子慢化密度的定義：在r處單位時間、單位體積內(nèi)慢化到能量E以下的中子數(shù)，用q(r, E)來表示。42中子直線飛行距

19、離的均方值n均方值n代入點源的慢化密度n得總的慢化中子數(shù)的中子數(shù)且年齡慢化到穿行dVrrrV)()(2202022),(4),(4drrqrdrrqrr2/34/)4(),(2rerq261sr43年齡的物理意義n在數(shù)值上等于中子由產(chǎn)生地點(該處年齡為零)到年齡為的地點所穿行(凈矢量)距離均方值的六分之一。n中子的費米年齡與中子在慢化過程中所移動的均方距離有關(guān)，因而稱年齡的平方根為慢化長度。它是中子在慢化過程中飛行的凈矢量（或直飛）距離的一種量度。 261sr44表表2-2 293K下裂變源中子的年齡下裂變源中子的年齡慢 化 劑年齡/10-4m21.4eV熱能水2627重水111130鈹851

20、00石墨(堆用級)310370452.2.6 慢化劑的性質(zhì) n慢化劑的特性常用慢化能力s和慢化比sa來描述。前者表示單位體積慢化劑全部核的慢化能力。另外，還要求慢化劑的吸收截面要小，即慢化比要大。顯然，吸收截面大的核素是不宜作慢化劑的。 46表表2-3 不同材料的慢化能力和慢化比不同材料的慢化能力和慢化比慢化劑水重水氦鈹石墨s/m-1153171.610-317.66.4s/a72120008315917047重水和輕水的比較慢化能力慢化比價格燃料體積放射性換料輕水大小便宜富集鈾稠密柵(欠慢化)停堆換料重水小大貴天然鈾大(過慢化)3H連續(xù)換料482.3中子的擴散中子的擴散n由于中子與原子核的多

21、次碰撞，使得中子在反應(yīng)堆內(nèi)以雜亂無章的折線進行運動。這種運動的結(jié)果，使原來在反應(yīng)堆內(nèi)某一位置具有某一能量和某一運動方向的中子，稍晚些時間將在反應(yīng)堆內(nèi)另一位置，以另一能量和另一運動方向出現(xiàn)。這時，我們說中子從第一種能量和位置輸運到了第二種能量和位置，研究這種現(xiàn)象的理論叫輸運理論。492.3.2 斐克定律斐克定律n描述：單位時間內(nèi)穿過垂直于流動方向的單位面積的凈中子數(shù)和中子通量密度的關(guān)系。n假設(shè)n(1) 無限均勻介質(zhì) ；n(2) 弱吸收介質(zhì)，即介質(zhì)的吸收截面很小；n(3) 在實驗室坐標系中散射是各向同性的；n(4) 中子通量密度是隨位置緩慢變化的函數(shù)。sa50圖2-10 推導(dǎo)斐克定律示意圖51散射

22、中子n在dV中散射的中子數(shù)：n因各向同性散射，射向dA方向的幾率與dV所在的點對于dA所張立體角成正比而為：ndV中每秒向dA 散射的中子數(shù)為dVS24/cosrdA2r4vcos)(dAdrS52散射中子（續(xù)1）n射向dA方向的中子要與經(jīng)過的路徑上發(fā)生散射，離開原來方向，能夠到達dA的幾率為： ，（ ，弱吸收介質(zhì)）。ndV中能到達dA的中子數(shù)為：reSrSSerdAd24cosv53散射中子（續(xù)2）n采用球坐標：n 代表負Z方向的中子流密度，即單位時間，穿過單位表面的中子數(shù)，對于x,y平面上方向下穿過dA的總中子數(shù)：n將在r0點展開為泰勒級數(shù)，展開到一次項： ddrdrdsinv2 0202

23、/0sincos4drddedArSS.)()()()(0000zzyyxxrzJ54散射中子（續(xù)3）n則每秒向下穿過dA的總中子數(shù)是 n則每秒沿負z方向穿過單位面積的中子數(shù)為n最終 202/00sincos)(4rrsddrdredAt 202/00sincos)(4rrszddrdreJt020)(64zJtstsZ55散射中子（續(xù)4）n由于我們研究的介質(zhì)為弱吸收介質(zhì)，即 , 則 ，所以式(2-45)可改寫為同理，我們可以算得單位時間沿著正z方向穿過xy平面上的單位面積的中子數(shù)0ast00)(614zJsZ00)(614zJsZ0)(31zJJJsZZZ56散射中子（續(xù)5）n同理，可得沿x

24、及y正方向的凈中子流密度n擴散系數(shù)，并用符號D表示。具有長度m的單位。n斐克定律也可表示成 n 0)(31xJsx0)(31yJsykjiJzyxJJJsD31DgradJDJ57斐克定律（續(xù)）斐克定律（續(xù)）n斐克定律，它表示中子流密度正比于負的中子通量密度梯度。n斐克定律表明，堆內(nèi)任一處凈中子流動的方向與負的中子通量密度梯度( )的方向相同。因為中子通量密度梯度 的方向是指中子通量密度增加的方向，所以中子流密度的方向是指中子通量密度減小最快的方向。 DgradJ582.3.3 中子的泄漏中子的泄漏59中子的泄漏（續(xù)中子的泄漏（續(xù)1）n/xy平面：dVzDdxdydzzDdxdyzzDdxdy

25、JJzdzzzdzz)()()(222260中子的泄漏（續(xù)中子的泄漏（續(xù)2）n同理，可對x和y方向的中子消失率進行類似的處理。n/xz平面：n/yz平面：n總泄漏為上面三式之和除以dV為單位體積泄漏率， dVyDdxdzJJydyy)()(22dVxDdydzJJxdxx)()(222222222222222)()(DzyxDzyxD612.3.4 中子擴散方程中子擴散方程n產(chǎn)生項-吸收項-泄漏項變化項tnSa泄漏率tndivDgradSatvSDa1262穩(wěn)態(tài)中子擴散方程n首先我們研究穩(wěn)態(tài)問題，即中子通量密度不隨時間t變化 02SDa632為拉普拉斯算符 n直角坐標：n柱坐標：n球坐標： 2

26、222222zyx2222222211zrrrr222222sin1)(sinsin12rrrrr64擴散方程邊界條件n(1)在擴散方程適用的區(qū)域內(nèi)，擴散方程的解必須是非負的實數(shù)，且處處有界。n(2)在具有不同擴散性質(zhì)的兩種介質(zhì)的交界面處，垂直于交界面方向上的凈中子流密度相等，兩種介質(zhì)內(nèi)的中子通量密度相等。65圖2-12 在兩種介質(zhì)的交界面處中子的擴散66內(nèi)交界面n連續(xù)條件BxAxJJBBAAdxdDdxdDBA67(3)外邊界處 n即在介質(zhì)與真空交界面上，在物理邊界以外的外推邊界上，中子通量密度為零 。682.3.6擴散方程的簡單輸運修正擴散方程的簡單輸運修正n擴散系數(shù)D的修正 n修正前，n

27、修正后，n外推距離d的修正：n修正前：n修正后： 331SSDD或331)1 (310trtrSDD或sd132trd171. 0692.3.7 點源產(chǎn)生的單速中子擴散點源產(chǎn)生的單速中子擴散n設(shè)在非增殖無限大均勻介質(zhì)內(nèi)有一個點中子源，每秒產(chǎn)生S個單速中子，各向同性地向周圍介質(zhì)擴散。讓我們來求解介質(zhì)內(nèi)的中子通量密度分布。n取球坐標來解點源的擴散是最方便的，假定中子源位于球坐標原點，則球坐標系中的拉普拉氏算符的表達式為22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr70點源擴散n無源擴散方程 n等式兩邊同時除以擴散系數(shù)D，則擴散方程變?yōu)閚 (r0) n即02aD0122L01)(122

28、2Ldrdrdrdr012222Ldrdrdrd71邊界條件 n（1）除r0處，中子通量密度為有限值；n（2）中子源強度與中子流密度的關(guān)系： n解點源擴散方程時，令新的變量SrJrr)(4lim20rdrddrdrdrddrdrdrd2222272解n則有n由于L20，所以方程的解為n即n常數(shù)A1，A2由邊界條件定。n（1）當r時，有限，得A20。所以，有 01222LdrdLrLreAeA21reAreALrLr21reALr173系數(shù)A1n 由邊界條件（2），設(shè)J是以源為中心，半徑為r的球表面上的中子流密度，則每秒穿過整個球面的中子總數(shù)為4r2J，該數(shù)的極限值應(yīng)等于源的強度S，即等于點源每秒向所有方向發(fā)射中子的總數(shù)?？梢越獾贸?shù)A1 74系數(shù)A1n系數(shù)A1n則中子通量密度分布的最后表達式為 110212020204)1 (4lim)/1(4lim)(4lim4limDALreD