高等數(shù)學(xué)知識(shí)在生物化學(xué)工程中的應(yīng)用舉例

1、高等數(shù)學(xué)知識(shí)在生物化學(xué)工程中的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)是生命科學(xué)學(xué)院校開(kāi)設(shè)的重要基礎(chǔ)課程，數(shù)學(xué)方法為生物化學(xué)的深入研究發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具。下面僅舉一些用高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決生物化學(xué)工程中的一些實(shí)際問(wèn)題的例子，旨在啟發(fā)學(xué)生怎樣正確理解和鞏固加深所學(xué)的知識(shí)，并且強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的應(yīng)用化工生產(chǎn)過(guò)程中常于密閉管道內(nèi)輸送液體，使液體流動(dòng)的主要因素有（1）流體本身的位差；（2）兩截面間的壓強(qiáng)差；（3）輸送機(jī)械向流體外作的外功。流動(dòng)系統(tǒng)的能量衡量常用柏努利方程式，下面來(lái)介紹柏努利方程式。定態(tài)流動(dòng)時(shí)液體的機(jī)械能衡量式為 （1）該式隊(duì)可壓縮液體和不可壓縮液體均適

2、用。對(duì)不可壓縮液體，（1）式中項(xiàng)應(yīng)視過(guò)程性質(zhì)（等溫、絕熱或多變過(guò)程）按熱力學(xué)原則處理，對(duì)不可壓縮液體，其比容或者密度為常數(shù)，故，代入（1）式有：或 （2）（2）式稱為柏努利方程式。需要注明的是，為動(dòng)能，為位能，為靜態(tài)能，為有效能，為能量損耗，為高度差。例2 混合氣體粘度的計(jì)算常溫下混合氣體的計(jì)算式為 （3）其中為常溫下混合氣體的粘合度（Pa.s）；為純組分i的摩爾分率；為混合氣體的溫度下，純組分i的粘度（Pa.s）；為組分i的分子量（Kg/kmol）。例如：空氣組分約為（均為體積積分率），試?yán)玫恼扯葦?shù)量，計(jì)算常溫下時(shí)空氣的粘度？解：常溫下空氣可視為理想氣體，故各組分的體積積分率等于摩爾分率，

3、的分子量分別為32，28及39.9，經(jīng)查表知道常溫下時(shí)各組分的粘度為代入（3）式計(jì)算空氣的粘度，即例3. 在細(xì)胞生長(zhǎng)計(jì)算中的應(yīng)用隨著細(xì)胞的生成繁殖，培養(yǎng)基中的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)被消耗，一些有害的代謝產(chǎn)物在培養(yǎng)液中累積起來(lái)，細(xì)胞的生長(zhǎng)速度開(kāi)始下降，最終細(xì)胞濃度不再增加，進(jìn)入靜止期，在靜止期細(xì)胞的濃度達(dá)到最大值。如果細(xì)胞的生長(zhǎng)速率的下降是由于營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的消耗造成的，可以通過(guò)以下的分析來(lái)統(tǒng)計(jì)分批培養(yǎng)可能達(dá)到的最大細(xì)胞濃度。設(shè)限制性基質(zhì)為A，其濃度為a，且A的消耗速度與細(xì)胞濃度成正比： （4）（4）式中為常數(shù)，假定接種后培養(yǎng)液中細(xì)胞濃度為，且立即進(jìn)入指數(shù)生長(zhǎng)階段，且一直保持到靜止期，則 （5） 其中為分批培養(yǎng)達(dá)到

4、的最大細(xì)胞濃度，即A完全耗盡時(shí)細(xì)胞濃度，由（3）式和（4）式可得整理得 也就是說(shuō)分批培養(yǎng)過(guò)程中獲得的最大細(xì)胞濃度與限制性基質(zhì)的廚師濃度存在著線性關(guān)系。如果細(xì)胞及生長(zhǎng)速度的下降是由于有害物質(zhì)的積累，可以認(rèn)為1-f(有害物質(zhì)濃度)為方便起見(jiàn)，假定細(xì)胞生長(zhǎng)速率與有害物質(zhì)濃度有線性關(guān)系 （5） 其中k, b為常數(shù)，為有害物質(zhì)濃度。由于有害物質(zhì)有細(xì)胞產(chǎn)生，可以認(rèn)為 t=0時(shí)，=0 （6） 式中q為常數(shù)，由（6）式可得，代入（5）式有： 因此有效生長(zhǎng)速度為 隨著時(shí)間急劇下降，當(dāng)時(shí)，細(xì)胞的生長(zhǎng)停止。例4 細(xì)胞團(tuán)內(nèi)的氧傳遞細(xì)胞集成團(tuán)時(shí)，氧在細(xì)胞團(tuán)中邊擴(kuò)散邊備細(xì)胞消耗，為方便起見(jiàn)，把細(xì)胞團(tuán)看作一個(gè)均勻的耗氧球體

5、，設(shè)它的半徑為R，密度為，取其半徑為r，厚度為dr的一層球殼進(jìn)行穩(wěn)態(tài)時(shí)的物料衡量其中D為氧在細(xì)胞內(nèi)的擴(kuò)散系數(shù)，C為半徑r處的氧濃度，將上式整理，可得到當(dāng)時(shí)，因此 （7）細(xì)胞的比耗氧速率與耗氧濃度的關(guān)系適用米氏方程式中為最大耗氧速率，為米氏常數(shù)，代入（7）式中，有 （8）邊界條件為 r=R時(shí)， R=0時(shí)，取代入（8）式，有 （9）其中。邊界條件則改為 x=1時(shí)，y=1 x=0時(shí)，。設(shè)細(xì)胞團(tuán)的表現(xiàn)比耗氧速率為，整理得 ，（9）式可寫作 ，因此有若取細(xì)胞團(tuán)表面的比耗氧速率作為比較，則細(xì)胞元的耗氧有效因子為，a則反映了細(xì)胞團(tuán)中最大反應(yīng)速率與最大傳輸速率之比，反應(yīng)速率越大，傳遞速率越小，細(xì)胞團(tuán)內(nèi)部缺氧就

6、越重，有效因子也就越低。例5 在中心導(dǎo)體模型中的應(yīng)用長(zhǎng)柱狀細(xì)胞，如神經(jīng)軸突和肌纖維細(xì)胞，其長(zhǎng)度尺寸遠(yuǎn)大于細(xì)胞直徑，電流橫跨細(xì)胞膜的電阻往往比朱莊方向流經(jīng)一段細(xì)胞內(nèi)介質(zhì)所代表的中心電阻高出很多，從而細(xì)胞流內(nèi)流動(dòng)的電流在溢出膜以前在柱軸方向內(nèi)部導(dǎo)體中流過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)距離，這種中心導(dǎo)體概念成為用電纜理論分析長(zhǎng)纖維狀細(xì)胞中電流、電位分布的基礎(chǔ)。若設(shè)為單位長(zhǎng)膜電阻，為單位長(zhǎng)膜電容，分別為胞內(nèi)、外液?jiǎn)挝婚L(zhǎng)介質(zhì)電阻。令胞內(nèi)、外電位分別為，于是膜兩側(cè)電位差。經(jīng)推導(dǎo)可得： 令 則得到標(biāo)準(zhǔn)的電纜方程形式： 若細(xì)胞膜處于電絕緣狀態(tài)，單位長(zhǎng)度膜面積上的電流，即=0，上式成為一階常微分方程：解得：，其中為t=0時(shí)的值。顯然時(shí)

7、間常數(shù)表征均勻膜電位差的自然衰減性質(zhì)。對(duì)非均勻性質(zhì)莫而言，的被動(dòng)衰減較為復(fù)雜，僅是一個(gè)主要衰減因子。當(dāng)輸入為直流穩(wěn)態(tài)電壓時(shí)，上式簡(jiǎn)化為。如果在x=0處維持，其余地方均不加任何電壓，即處為有限值，則方程的解為。描述了中心導(dǎo)體中電壓穩(wěn)態(tài)分布將隨距離而自然衰減。對(duì)于到的雙無(wú)限長(zhǎng)電纜，x=0處維持穩(wěn)定值要求外加電流加倍。無(wú)限與半無(wú)限長(zhǎng)電纜上的穩(wěn)態(tài)分布，為實(shí)驗(yàn)確定細(xì)胞參數(shù)提供了依據(jù)。例6 在動(dòng)力學(xué)猝滅與靜態(tài)猝死中的應(yīng)用激發(fā)態(tài)分子或熒光團(tuán)由于加入像I與等猝死劑，彼此發(fā)生碰撞而造成熒光的猝死，又叫做動(dòng)力學(xué)猝死或動(dòng)態(tài)猝滅。這種猝死服從Stern-Volmer方程。此方程從熒光量子效率或從激發(fā)衰變率都可導(dǎo)出。若

8、r為衰變率，則其與有猝滅劑時(shí)的總衰變率的比值即或者寫成 (10)式中分別為沒(méi)有和有猝死時(shí)的熒光，Q為猝滅劑的濃度，為雙分子猝死常數(shù)，是熒光團(tuán)在無(wú)猝滅劑時(shí)的熒光壽命，就是Stern-Volmer猝滅常數(shù)，這說(shuō)明熒光團(tuán)的壽命愈長(zhǎng)，它與猝滅劑碰撞的幾率。此幾率則決定于它們的擴(kuò)散速率、分子大小與濃度等：D為熒光團(tuán)與猝滅劑擴(kuò)散系數(shù)之和，a為分子半徑之和，A為亞氏常數(shù)，測(cè)定可以給出擴(kuò)散系數(shù)的情況。測(cè)定最好用熒光壽命而不用熒光強(qiáng)度，因?yàn)楹笳呖赡鼙黄渌蛩馗蓴_，其中一種就是下面要敘述的靜態(tài)猝滅。碰撞猝滅可使激發(fā)態(tài)去布局(depopulation)，若激發(fā)態(tài)在有和無(wú)猝滅劑時(shí)的壽命分別為，則因此， (11)此式與

9、(10)式相似。它說(shuō)明動(dòng)態(tài)猝死的一個(gè)重要特性，即熒光強(qiáng)度的降低與熒光壽命的減少是等價(jià)的。因?yàn)榈臏y(cè)定較方便，通常還是常用此參量。又因?yàn)榈拟鐒舛瘸示€性關(guān)系，所以對(duì)Q左圖可得到一條直線，其斜率就等于或，從而可得到猝滅常數(shù)的數(shù)值。Stern-Volmer的線性關(guān)系只適用于溶液中只有一類熒光團(tuán)的情況，并且它們對(duì)猝滅劑易感性是相同的。若細(xì)筒中含有兩類熒光團(tuán)，并且其中只有一類對(duì)猝滅劑易感，則用Stern-Volmer方程得到的是像X軸彎曲的曲線。靜態(tài)猝死是熒光團(tuán)與猝滅劑在基態(tài)時(shí)就形成的不發(fā)熒光的絡(luò)合物，當(dāng)此絡(luò)合物種熒光團(tuán)吸收光能激發(fā)時(shí)，即刻回到基態(tài)而不發(fā)光，所以此時(shí)熒光強(qiáng)度與猝滅劑濃度的關(guān)系可從絡(luò)合物形

10、成時(shí)的絡(luò)合常數(shù)（）推導(dǎo)出來(lái)。靜態(tài)猝滅的方程式與動(dòng)態(tài)猝滅相似，只是在此以代替，則有若在一溶液中同時(shí)存在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)猝死，這時(shí)S-V曲線就是向Y軸彎曲的曲線。因?yàn)榘l(fā)光的分?jǐn)?shù)是未絡(luò)合的部分(f)以及未被碰撞猝滅的部分兩者的乘積，因此而，則： 這個(gè)修改過(guò)的Stern-Volmer方程是Q的二次方程 令 則 用對(duì)Q作圖亦可得到一條直線，此直線的截距為，斜率為。至于動(dòng)態(tài)部分則可用來(lái)測(cè)定，即。例7 在三維重建中的應(yīng)用目前用于研究三維重建的生物原料有單科蛋白、噬菌體、單純皰疹病毒核衣殼和膜蛋白結(jié)晶體，從二維投影到三維重構(gòu)的方法很多，但最適于TEM的方法是傅里葉變換，下面分別介紹： (1) 傅里葉變換若函數(shù)f(x

11、)滿足傅氏積分定理的要求，則在其連續(xù)處有若令 頻域則 空域（時(shí)域）則和f(x)可通過(guò)積分相互表達(dá)，稱為傅里葉變換對(duì)。若擴(kuò)展到三維，和f(x,y,z)也一樣是傅里葉變換對(duì)。三維重構(gòu)的目的是要得到f(x,y,z)，如能得到，則可通過(guò)傅氏變換的到f(x,y,z)。電鏡的二維圖像相當(dāng)于s(x,y)通過(guò)傅氏變換得到，如果能在和之間建立聯(lián)系，則問(wèn)題得到解決。(2) 中央界面定理(central slice theorem)一個(gè)無(wú)力二維投影的傅里葉變換嚴(yán)格等于該物體的三維傅里葉變換中與投影方向垂直的通過(guò)原點(diǎn)的截面（中央界面）。這個(gè)定理告訴我們，二維投影的傅里葉變換是三維傅里葉變換的一個(gè)特例?？删唧w為，假設(shè)物

12、體二維投影以下面的函數(shù)表示：令其二傅里葉變換為，則有令樣品二維像f(x,y,z)的三維傅里葉變換為，則有當(dāng)時(shí)，得到軸的傅里葉空間中間界面。根據(jù)上等式可得到所以=。這就證明了物體在z方向的投影的二維傅里葉變換與其三維像f(x,y,z)的三維傅里葉變換在時(shí)的截面相等。如果我們能得到各個(gè)方向投影的一系列，就可以整合出F。再利用傅里葉變換的反變換，就可以從頻率域回到空間域重建出樣品的三維圖像以上是重建的基本理論。(3) 三維重建的步驟首先要確定三維重建需要收集的中央截面數(shù)，從一系列傾角觀察面進(jìn)行收集。如Henderson等對(duì)6R分子進(jìn)行0.7nm分辨率的三維重購(gòu)時(shí)就從傾角范圍內(nèi)記錄了18張樣品照片，1

13、5張電子衍射圖。通常獲得一個(gè)分辨率為的結(jié)構(gòu)所需要的最少觀察面數(shù)N由下式給出：式中D為樣品的線度。如前所述，在電子衍射圖中，由于透過(guò)樣品的電子束直接落在照相底片上，不受電鏡分辨率的約束，因此根據(jù)規(guī)則的電子衍射花樣，可精確計(jì)算出結(jié)構(gòu)因子的振幅，而從高分辨電子顯微鏡的密度分布可容易計(jì)算出相位。為了從照片中抽取出結(jié)構(gòu)信息，需要進(jìn)行傅里葉變換。實(shí)驗(yàn)中是將電鏡照片通過(guò)光學(xué)衍射儀完成如下公式：的傅里葉變換，產(chǎn)生明顯的晶體衍射圖，即從像平面返回到衍射平面，由此得到相應(yīng)的像素（點(diǎn)陣），再利用光密度掃描儀掃描，即得到密度的傅里葉變換。最終把電鏡圖像轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)。 綜合從電子衍生圖得到的傅里葉項(xiàng)振幅和從電鏡顯微像得到的相位，再經(jīng)傅里葉合成得到晶體的一個(gè)晶電子密度圖。 由電子光學(xué)線性成像原理可知，電子波經(jīng)過(guò)薄晶樣品以后，攜帶了樣品沿電子束方向投影信息，衍射到達(dá)物鏡的后焦面，這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)上等于進(jìn)行了一次傅里葉變換，也就是說(shuō)在TEM物鏡后焦面上得到的電子衍射像就是前述的，只要改變樣品的傾角就可以得到一系列的。根據(jù)中央界面定理就可以得到，再通過(guò)傅里葉的反變換則得到f(x,y,z)。例8 在振動(dòng)光譜中的應(yīng)用一般說(shuō)來(lái)，蛋白質(zhì)