小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題方法大全

1、小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題方法大全36-40三十六、解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的問題。這三者之間的關(guān)系是： 工作效率×工作時間=工作量工作量÷工作時間=工作效率工作量÷工作效率=工作時間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)工程問題和分?jǐn)?shù)工程問題兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算，但在計算

2、過程中要涉及到分率。（一）工作總量是具體數(shù)量的工程問題例1 建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊(duì)運(yùn)需要15天，用乙車隊(duì)運(yùn)需要10天。兩隊(duì)合運(yùn)需要多少天？（適于四年級程度）解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊(duì)完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量÷工作時間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊(duì)的工作效率。再根據(jù)兩隊(duì)工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時間”，求出兩隊(duì)合運(yùn)需用多少天。甲車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：（甲車隊(duì)工作效率）1200÷15=80（噸）乙車隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：（乙車隊(duì)工作效率）1200÷1

3、0=120（噸）兩個車隊(duì)一天共運(yùn)的噸數(shù)：80+120=200（噸）兩個車隊(duì)合運(yùn)需用的天數(shù)：1200÷200=6（天）綜合算式：1200÷（1200÷15+1200÷10）=1200÷（80+120）=1200÷200=6（天）答略。*例2 生產(chǎn)350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨(dú)做這批零件，需多少小時？（適于四年級程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅1小時可完成：350÷14=25（個）由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，

4、則10小時可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時完成：350÷10=35（個）小王單獨(dú)工作一小時可完成：35-25=10（個）小王單獨(dú)做這批零件需要：350÷10=35（小時）綜合算式：350÷（350÷10-350÷14）=350÷（35-25=350÷10=35（小時）答略。*例3 把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時后，甲組也開始生產(chǎn)。兩組同時完工時超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長時間？（適于四年級程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191-160

5、×2+1=1872（打）兩組共同生產(chǎn)的時間是：1872÷（160+128）=6.5（小時）乙組生產(chǎn)的時間是：6.5+2=8.5（小時）綜合算式：（2191-160×2+1）÷（160+128）+2=1872÷288+2=6.5+2=8.5（小時）答略。一同生產(chǎn)用了多少小時？（適于六年級程度）解：兩臺機(jī)器一同生產(chǎn)的個數(shù)是：108-45=63（個）第一臺機(jī)器每小時生產(chǎn)：第二臺機(jī)器每小時生產(chǎn)：兩臺機(jī)器一同生產(chǎn)用的時間是：63÷（4+5）=7（小時）綜合算式：答略。（二）工作總量不是具體數(shù)量的工程問題例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，乙隊(duì)

6、單獨(dú)做16天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1。甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，做1天完成答略。例2 一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建需要20天，由乙工程隊(duì)修建需要30解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1，由甲工程隊(duì)修建需要20天，知甲工 答略。例3 一項(xiàng)工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨(dú)做15天可以完成。乙單獨(dú)做多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項(xiàng)工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多長的時間。=7.5（天）答：乙單獨(dú)做7.5天可以完成。例4 有一個水箱，用甲水管注水10分鐘可以注滿，用乙水管注水8分鐘可以注滿。甲、乙兩管同時開放2分

7、鐘后，注入水箱中的水占水箱容量的幾分之幾？（適于六年級程度）解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分鐘可以注滿，則甲水管1的：答略。例5 一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)。如果三人合作需要幾天完成任務(wù)？（適于六年級程度）解：甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)，=1（天）答略。所以，乙單獨(dú)做可以完成的時間是：綜合算式：=6（天）答略。以完成？（適于六年級程度）解：甲隊(duì)獨(dú)做3天，乙隊(duì)獨(dú)做5天所完成的工作量，相當(dāng)于甲乙兩隊(duì)合做3天，乙隊(duì)再獨(dú)做2天所完成的工作量。這時完成了全工程的：乙隊(duì)單獨(dú)做完成的時間是：答略。*例8加工一批零件，甲獨(dú)做需要

8、3天完成，乙獨(dú)做需要4天完成。兩人同時加工完成任務(wù)時，甲比乙多做24個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）解：解這道題的關(guān)鍵是，求出24個零件相當(dāng)于零件總數(shù)的幾分之幾。完成任務(wù)時甲比乙多做：綜合算式：答略。*例9 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲、乙合做了數(shù)天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了14天。乙請假幾天？（適于六年級程度）解：根據(jù)“甲單獨(dú)做20天完成”和“從開工到完成任務(wù)共用了14天”，可知甲做了全工程的：乙做了全工程的：乙請假的天數(shù)是：14-9=5（天）綜合算式：答略。*例10 一項(xiàng)工程，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，比乙隊(duì)單獨(dú)做可提前

9、6天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合做5天后，再由甲隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)還需要多少天才能完成？（適于六年級程度）解：設(shè)這項(xiàng)工程為1，則乙隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做時每天做：甲隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做5天后剩下的工作量是：甲隊(duì)做剩的工作還需要的時間是：綜合算式：答略。（三）用解工程問題的方法解其他類型的應(yīng)用題例1 甲、乙兩地相距487千米。李華駕駛摩托車從甲地到乙地，需要1小時；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時。照這樣的速度，兩人分別從兩地同時相向出發(fā)，經(jīng)過幾小時在途中相遇？一般解法：（適于四年級程度）用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）把全程看作1。李華駕駛摩托車從甲地到乙地需要1小時，李華的速度就是1；王明騎自行車

10、從乙地到甲地需要3小時，王明每1小時要行全程的例2 某學(xué)校食堂購進(jìn)一車煤，原計劃燒60天。由于改進(jìn)了爐灶的構(gòu)造，實(shí)際每天比原來少燒10千克，這樣這車煤燒了70天。這車煤重多少千克？*一般解法：（適于四年級程度）10×60÷（70-60）×70=4200（千克）答：這車煤重4200千克。用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）答略。 一般解法：（適于六年級程度）答略。用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）如果把這批零件的總數(shù)作為一項(xiàng)“工程”，以1表示，則這個工廠計劃因此，實(shí)際需要的天數(shù)是：答略。（四）用份數(shù)法解工程問題例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做9天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做

11、18天完成。甲、乙兩隊(duì)合做4天后，剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做。乙隊(duì)還需要幾天才能完成？（適于六年級程度）解：把整個工程的工作量平均分成9×18=162（份）甲隊(duì)每天可以完成：162÷9=18（份）乙隊(duì)每天可以完成：162÷18=9（份）甲、乙兩隊(duì)合做每天共完成：18+9=27（份）兩隊(duì)4天共完成：27×4=108（份）兩隊(duì)合做4天后，剩下的工程是：162-108=54（份）剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做，需要的天數(shù)是：54÷9=6（天）綜合算式：9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4

12、47;9=162-108÷9=6（天）答略。例2 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做16天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做20天完成。甲隊(duì)先做7天，然后由甲、乙兩隊(duì)合做。甲、乙兩隊(duì)合做還要多少天才能完成？（適于六年級程度）解：把這項(xiàng)工程的總工作量看做16×20份，則甲隊(duì)每天做20份，乙隊(duì)每天做16份。甲隊(duì)先做7天，完成的工作量是：20×7=140（份）甲隊(duì)做7天后，剩下的工作量是：16×20-140=180（份）甲、乙兩隊(duì)合做，一天可以完成：20+16=36（份）甲、乙兩隊(duì)合做還需要的天數(shù)是：180÷36=5（天）答略。例3 一個水池裝有進(jìn)、出水管各一個。單開進(jìn)水管10分鐘

13、可將空池注滿，單開出水管12分鐘可將滿池水放完。若兩管齊開多少分鐘可將空池注滿？（適于六年級程度）解：把注滿全池水所用的時間看作10×12份，當(dāng)進(jìn)水管進(jìn)12份的水量時，出水管可放出10份的水量，進(jìn)出水相差的水量是：12-10=2（份）甲、乙兩管齊開注滿水池所用的時間是：10×12÷2=60（分鐘）答：若兩管齊開60分鐘可將空池注滿。（五）根據(jù)時間差解工程問題例1 師、徒二人共同加工一批零件，需要4小時完成。師傅單獨(dú)加工這批零件需要5小時完成。師、徒二人共同加工完這批零件時，徒弟加工了30個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，師、徒共同加工完的時

14、間與師傅單獨(dú)加工完的時間相差5-4=1（小時）。這說明師傅1小時加工的零件數(shù)等于徒弟4小時加工的零件數(shù)。所以，師傅5小時加工的零件就是這批零件的總數(shù)：30×5=150（個）答略。例2 一份稿件需要打字，甲、乙兩人合打10天可以完成。甲單獨(dú)打15天可以完成。乙單獨(dú)打需要幾天完成？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，甲、乙兩人合打完成與甲單獨(dú)打完，兩者的時間差是15-10=5（天），這說明甲5天的工作量相當(dāng)于乙10天的工作量。那么，甲15天的工作量，乙要工作：10÷5×15=30（天）答：乙單獨(dú)打需要30天完成。例3 一輛快車和慢車同時分別從A、B兩站相對開出，經(jīng)過1

15、2小時相遇。已知快車行完全程需要20小時。求兩車相遇后慢車還要行多少小時才能到達(dá)A站？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，兩車相遇與快車行完全程的時間差是20-12=8（小時）。這說明快車8小時行的路程相當(dāng)于慢車12小時行的路程。那么快車行12小時的路程，慢車要行多長時間？也就是兩車相遇后慢車還要行駛而到達(dá)A點(diǎn)的時間。12÷8×12=18（小時）答略。三十七、解流水問題的方法流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。 流水問題有如下兩個基本公式：順?biāo)俣?船速

16、+水速          （1）逆水速度=船速-水速          （2）這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r單位時間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時間里所行的路程；水速是指水在單位時間里流過的路程。公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時這艘船又在按著水的流動速度前進(jìn)，因此船相對地面的實(shí)際速度等于船速

17、與水速之和。公式（2）表明，船逆水航行時的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：水速=順?biāo)俣?船速          （3）船速=順?biāo)俣?水速          （4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度          （5）船速=逆水速度+水速  &#

18、160;       （6）這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個，就可以求出第三個。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2    （7）水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2    （8）*例1 一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時，水流的速度是每小時1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適于

19、高年級程度）解：此船的順?biāo)俣仁牵?5÷5=5（千米/小時）因?yàn)椤绊標(biāo)俣?船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?水速”。5-1=4（千米/小時）綜合算式：25÷5-1=4（千米/小時）答：此船在靜水中每小時行4千米。*例2 一只漁船在靜水中每小時航行4千米，逆水4小時航行12千米。水流的速度是每小時多少千米？（適于高年級程度）解：此船在逆水中的速度是：12÷4=3（千米/小時）因?yàn)槟嫠俣?船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：4-3=1（千米/小時）答：水流速度是每小時1千米。*例3 一只船，順?biāo)啃r行20千米，逆水每小時行12千米。這只船

20、在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適于高年級程度）解：因?yàn)榇陟o水中的速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以，這只船在靜水中的速度是：（20+12）÷2=16（千米/小時）因?yàn)樗鞯乃俣?（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以水流的速度是：（20-12）÷2=4（千米/小時）答略。*例4 某船在靜水中每小時行18千米，水流速度是每小時2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小時）甲乙兩地的路程是：16×15=240

21、（千米）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?8+2=20（千米/小時）此船從乙地回到甲地需要的時間是：240÷20=12（小時）答略。*例5 某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲港開往乙港共用8小時。已知水速為每小時3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船順?biāo)乃俣仁牵?5+3=18（千米/小時）甲乙兩港之間的路程是：18×8=144（千米）此船逆水航行的速度是：15-3=12（千米/小時）此船從乙港返回甲港需要的時間是：144÷12=12（小時）綜合算式：（15+3）×8÷（15-3）=144÷12=12（小

22、時）答略。*例6 甲、乙兩個碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時行20千米，水流速度是每小時4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時？（適于高年級程度）解：順?biāo)械臅r間是：144÷（20+4）=6（小時）逆水而行的時間是：144÷（20-4）=9（小時）答略。*例7 一條大河，河中間（主航道）的水流速度是每小時8千米，沿岸邊的水流速度是每小時6千米。一只船在河中間順流而下，6.5小時行駛260千米。求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船順流而下的速度是：260÷6.5=40（千米/小時）此船

23、在靜水中的速度是：40-8=32（千米/小時）此船沿岸邊逆水而行的速度是：32-6=26（千米/小時）此船沿岸邊返回原地需要的時間是：260÷26=10（小時）綜合算式：260÷（260÷6.5-8-6）=260÷（40-8-6）=260÷26=10（小時）答略。*例8 一只船在水流速度是2500米/小時的水中航行，逆水行120千米用24小時。順?biāo)?50千米需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船逆水航行的速度是：120000÷24=5000（米/小時）此船在靜水中航行的速度是：5000+2500=7500（米/小時）此船順?biāo)叫械?/p>

24、速度是：7500+2500=10000（米/小時）順?biāo)叫?50千米需要的時間是：150000÷10000=15（小時）綜合算式：150000÷（120000÷24+2500×2）=150000÷（5000+5000）=150000÷10000=15（小時）答略。*例9 一只輪船在208千米長的水路中航行。順?biāo)?小時，逆水用13小時。求船在靜水中的速度及水流的速度。（適于高年級程度）解：此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?08÷8=26（千米/小時）此船逆水航行的速度是：208÷13=16（千米/小時）由公式船速=（順?biāo)俣?/p>

25、+逆水速度）÷2，可求出此船在靜水中的速度是：（26+16）÷2=21（千米/小時）由公式水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：（26-16）÷2=5（千米/小時）答略。*例10 A、B兩個碼頭相距180千米。甲船逆水行全程用18小時，乙船逆水行全程用15小時。甲船順?biāo)腥逃?0小時。乙船順?biāo)腥逃脦仔r？（適于高年級程度）解：甲船逆水航行的速度是：180÷18=10（千米/小時）甲船順?biāo)叫械乃俣仁牵?80÷10=18（千米/小時）根據(jù)水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，求出水流速度：（18-10）

26、47;2=4（千米/小時）乙船逆水航行的速度是：180÷15=12（千米/小時）乙船順?biāo)叫械乃俣仁牵?2+4×2=20（千米/小時）乙船順?biāo)腥桃玫臅r間是：180÷20=9（小時）綜合算式：180÷180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3=180÷12+（18-10）÷2×2=180÷12+8=180÷20=9（小時）答略。三十八、解植樹問題的方法植樹問題是研究植樹地段的全長、間隔距離、株數(shù)三種數(shù)量之間的關(guān)系的應(yīng)用題。植樹應(yīng)用題基本分為兩

27、類：沿路旁植樹；沿周長植樹。 沿路旁植樹，因?yàn)槭孜矁啥硕家N一棵，所以植樹棵數(shù)要比分成的段數(shù)多1；沿周長植樹，因?yàn)槭孜矁啥酥睾显谝黄穑?，植樹的棵?shù)和所分成的段數(shù)相等。解答植樹問題的基本方法是：（1）沿路旁植樹棵數(shù)=全長÷間隔+1間隔=全長÷（棵數(shù)-1）全長=間隔×（棵數(shù)-1）（2）沿周長植樹棵數(shù)=全長÷間隔間隔=全長÷棵數(shù)全長=間隔×棵數(shù)（一）沿路旁植樹例1 有一段路長720米，在路的一邊每間隔3米種1棵樹。問這樣可以種多少棵樹？（適于三年級程度）解：根據(jù)棵數(shù)=全長÷間隔+1的關(guān)系，可得：720÷3+1=240

28、+1=241（棵）答：可以種241棵樹。例2 在某城市一條柏油馬路上，從始發(fā)站到終點(diǎn)站共有14個車站，每兩個車站間的平均距離是1200米。這條馬路有多長？（適于三年級程度）解：根據(jù)全長=間隔×（棵數(shù)-1）的關(guān)系，可得：1200×（14-1）=1200×13=15600（米）答：這條馬路長15600米。例3 要在612米長的水渠的一岸植樹154棵。每相鄰兩棵樹間的距離是多少米？（適于三年級程度）解：根據(jù)“間隔=全長÷（棵數(shù)-1）”的關(guān)系，可得：612÷（154-1）=612÷153=4（米）答：每相鄰兩棵樹間的距離是4米。例4 兩座樓房

29、之間相距60米，現(xiàn)要在兩座樓房之間栽樹9棵。每兩棵樹的間隔是多少米？（適于三年級程度）解：因?yàn)樵?0米的兩端是兩座樓房，不能緊挨著樓房的墻根栽樹，所以，把60米平均分成的段數(shù)要比樹的棵數(shù)多1。由距離和段數(shù)便可求出兩棵樹之間的距離：60÷（9+1）=60÷10=6（米）答：每兩棵樹的間隔是6米。*例5 原計劃沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰兩根間的距離50米。實(shí)際上在公路一旁只埋了201根電線桿。求實(shí)際上每兩根電線桿之間的距離。（適于四年級程度）解：題中所埋電線桿的根數(shù)比段數(shù)多1，因此在計算段數(shù)時，要從根數(shù)減去1，才得段數(shù)。50×（301-1）÷（201

30、-1）=50×300÷200=75（米）答：實(shí)際上每兩根電線桿之間的距離是75米。（二）沿周長植樹例1 在周長是480米的圓形養(yǎng)魚池周圍，每隔12米栽一棵樹。一共可以栽多少棵樹？（適于三年級程度）解：根據(jù)棵數(shù)=全長÷間隔，可求出一共栽樹的棵數(shù)：480÷12=40（棵）答：一共可以栽40棵樹。例2 一個圓形湖的周長是945米，沿著湖的周長栽了270棵樹。求相鄰兩棵樹間的距離是多少米？（適于三年級程度）解：945÷270=3.5（米）答：相鄰兩棵樹間的距離是3.5米。例3 一塊長方形場地，長300米，寬比長少50米。從這個長方形的一個角開始，沿長方

31、形的周長栽樹，每隔10米栽一棵。這塊場地周圍可以栽樹多少棵？（適于四年級程度）解：先求出長方形場地的周長，再求可栽樹多少棵。（300+300-50）×2÷10=550×2÷10=1100÷10=110（棵）答：可以栽樹110棵。*例4 有一個圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周圍每隔6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦?？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米？（適于四年級程度）解：根據(jù)棵數(shù)=全長÷間隔可求出栽丁香花的株數(shù)：120÷6=20（株）由于是在每相鄰的2

32、株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，可栽月季花：2×20=40（株）由于2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：6÷3=2（米）答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株緊相鄰月季花之間相距2米。例5 在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為3米的圓周上，按弧長計算，每隔2米植一棵樹，共植了314棵。水池的周長是多少米？（適于六年級程度）解：先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是：2×314=628（米）這個圓的直徑是：628÷

33、;3.14=200（米）由于樹是植在距離岸邊均為3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：200-3×2=194（米）圓形水池的周長是：194×3.14=609.16（米）綜合算式：（2×314÷3.14-3×2）×3.14=（200-6）×3.14=194×3.14=609.16（米）答略。三十九、解時鐘問題的方法研究時鐘的長針（分針）與短針（時針）成直線、成直角與重合的問題，叫做時鐘問題。 鐘表的分針每小時走60個小格，而時針每小時只走5個小格；分針每分出題中所要求的時間。解題規(guī)律：（1）求兩針成直線所需要的時間，有

34、：（3）求兩針重合所需要的時間，有：求出所需要的時間后，再加上原來的時刻，就得出兩針形成各種不同位置的時刻。（一）求兩針成直線所需要的時間*例1 在7點(diǎn)鐘到8點(diǎn)鐘之間，分針與時針什么時候成直線？（適于高年級程度）解：在7點(diǎn)鐘的時候，分針在時針后面（圖39-1）：5×7=35（格）當(dāng)分針與時針成直線時，兩針的間隔是30格。因此，只需要分針追上時針：35-30=5（格）綜合算式：*例2 在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，分針與時針什么時候成直線？（適于高年級程度）解：4點(diǎn)鐘時，分針在時針的后面（圖39-2）：5×4=20（格）當(dāng)分針與時針成直線時，分針不僅要追上已落后的20格，還要超過時針30

35、格，所以一共要追上：20+30=50（格）綜合算式：（二）求兩針成直角所需要的時間*例1 在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間，時針與分針什么時候成直角？（適于高年級程度）解：分針與時針成直角時，分針在時針前面15格或時針后面15格，因此，本題有兩個答案。（1）6點(diǎn)鐘時，分針在時針后面（圖39-3）：5×6=30（格）因?yàn)閮舍槼芍苯菚r，分針在時針后面15格，所以分針追上時針的格數(shù)是：30-15=15（格）綜合算式：（2）以上是兩針第一次成直角的時刻。當(dāng)兩針第二次成直角時，分針在時針前面15格，所以分針不僅追上時針，而且要超過時針：5×6+15=45（格）綜合算式：*例2 在1點(diǎn)到2點(diǎn)之間，時針

36、與分針在什么時候成直角？（適于高年級程度）解：1點(diǎn)鐘時，分針在時針后面：5×1=5（格）當(dāng)分針與時針成直角時，兩針間隔是15格，因此，分針不僅要追上時針5格，而且要超過時針15格，分針實(shí)際追上時針的格數(shù)是：5+15=20（格）綜合算式：當(dāng)分針走到時針前面45格（也就是走到時針后面15格）時，兩針也成直角。因此，所需時間是：*例3 在11點(diǎn)與12點(diǎn)之間，時針與分針在什么時候成直角？（適于高年級程度）解：在11點(diǎn)鐘時，分針在時針后面：5×11=55（格）第一次兩針成直角時，分針是在時針后面45格，因此，分針需要追上時針的格數(shù)是：55-45=10（格）綜合算式：（三）求兩針重合所

37、需要的時間在11點(diǎn)到1點(diǎn)之間，兩針除在12點(diǎn)整重合外，其他每一點(diǎn)鐘之間都有一次重合。*例1 3點(diǎn)鐘到4點(diǎn)鐘之間，分針與時針在什么時候重合？（適于高年級程度）解：在3點(diǎn)鐘時，分針在時針后面：5×3=15（格）*例2在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，兩針什么時候重合？（適于高年級程度）解：在4點(diǎn)鐘時，分針在時針后面5×4格，分針只要追上時針4×5格，兩針就重。四十、幾何變換法利用幾何圖形的變換解答幾何題的方法叫做幾何變換法。 在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，幾何形體往往不是以標(biāo)準(zhǔn)的形狀出現(xiàn)，而是以比較復(fù)雜的組合圖形出現(xiàn)，很難直接利用公式計算其面積或體積。如果在保持圖形的面積或體積不變的前提下，對

38、圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，就容易找出計算其面積或體積的方法。（一）添輔助線法有些組合圖形按一般的思考方法好像已知條件不足，很難解答。如果在圖形中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，就可能找到解題的途徑。輔助線一般用虛線表示。*例1 求圖40-1陰影部分的面積。（單位：平方米）（適于三年級程度）                 解：圖40-1中，右邊兩個部分的面積分別是20平方米和30平方米，所以可如圖40-2那樣添上三條輔助線，把整個長方形分成5等份。這樣圖中

39、右邊的五個小長方形的面積相等。同時，左邊五個小長方形的面積也相等。左邊每個小長方形的面積是：25÷2=12.5（平方米）所以，陰影部分的面積是：12.5×3=37.5（平方米）答略。*例2 如圖40-3，一個平行四邊形被分成兩個部分，它們的面積差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的長。（單位：厘米）（適于五年級程度）解：如圖40-4，過E點(diǎn)作AB的平行線EF，則AEF與ABE是等底等高的三角形。所以，AEF的面積與ABE的面積相等。            

40、   小平行四邊形EFDC的面積就是10平方厘米。因?yàn)樗母呤?厘米，所以，EC=10÷5=2（厘米）答：EC長2厘米。*例3 如圖40-5，已知圖中四邊形兩條邊的長度和三個角的度數(shù)，求這個四邊形的面積。（單位：厘米）（適于五年級程度）解：這是一個不規(guī)則的四邊形，無法直接計算它的面積。如圖40-6，把AD和BC兩條線段分別延長，使它們相交于E點(diǎn)。這樣，四邊形ABCD的面積就可以轉(zhuǎn)化為ABE的面積與DCE的面積之差。            

41、0;      在ABE中，A是直角，B=45°，所以E=45°，即ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），則ABE的面積是：7×7÷2=24.5（平方厘米）在DCE中，DCE是直角，E=45°，所以，CDE=45°，即DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，則DCE的面積是：3×3÷2=4.5（平方厘米）所以，四邊形ABCD的面積是：24.5-4.5=20（平方厘米）答略。（二）分割法分割法是在一個復(fù)雜的幾何圖形中，添上一條或幾條輔助線，把圖

42、形分割成若干個已學(xué)過的基本圖形，然后分別計算出各圖形的面積或體積，再將所得結(jié)果相加的解題方法。例1 計算圖40-7的面積。（單位：厘米）（適于五年級程度）解：如圖40-8，在圖中添上一條輔助線，把圖形分割為一個梯形和一個長方形，分別計算出它們的面積，再把兩個面積相加。                 2+（8-4）×（6-4）÷2+4×8=6+32=38（平方厘米）答：圖形的面積是38平方厘米。例2 圖40

43、-9中，ABCD是長方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各邊的中點(diǎn)。求圖中陰影部分的面積。（適于五年級程度）解：如圖40-10，在圖中添加輔助線EG，使陰影部分被分割成為兩個面積相等的三角形。先計算出一個三角形的面積，再把它的面積乘以2。三角形的底是長方形的長，高是長方形的寬的一半。                  60×（40÷2）÷2×2=60×20=1

44、200（平方厘米）答：陰影部分的面積是1200平方厘米。*例3 求圖40-11中各組合體的體積。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：如圖40-12，把各組合體分割為幾個基本形體，然后分別求出每個基本形體的體積，再用加法、減法算出各組合體的體積。（三）割補(bǔ)法在計算一些不規(guī)則的幾何圖形的面積時，把圖形中凸出來的部分割下來，填補(bǔ)到相應(yīng)的凹陷處，或較適當(dāng)?shù)奈恢?，使圖形組合成一個或幾個規(guī)則的形狀，再計算面積的解題方法叫做割補(bǔ)法。例1 求圖40-13陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）成了一個梯形如圖40-14，這個梯形的面積就是圖40-13中的陰影部分的面積。  

45、0;                    答：陰影部分的面積是45平方厘米。*例2 求圖40-15中陰影部分的面積。（單位：米）（適于六年級程度）16×16×2=512（平方米）答：陰影部分的面積是512平方米。*例3 圖40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求圖中陰影部分的面積。（適于六年級程度）解：經(jīng)割補(bǔ)，把圖40-17組合成圖40-18。很容易看出，只要從正方

46、形的面積中減去空白扇形的面積，便得到陰影部分的面積。                 答：圖中陰影部分的面積是2.43平方厘米。（四）平移法在看不出幾何圖形面積的計算方法時，通過把圖形的某一部分向某一方向平行移動一定的距離，使圖形重新組合成可以看出計算方法的圖形，從而計算出圖形面積的解題方法叫做平移法。例1 計算圖40-19中陰影部分的周長。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：把圖40-19中右邊正方形中的陰影部分向左平移5厘米，圖40

47、-19中的陰影部分便轉(zhuǎn)化為圖40-20中的正方形。圖40-20中陰影正方形的面積就是圖40-19陰影部分的面積。                   5×5=25（平方厘米）答略。*例2 求圖40-21中陰影部分的周長。（單位：厘米）（適于三年級程度）解：按圖40-22箭頭指示，把兩條橫向的線段向上平移到虛線處，再按圖40-23箭頭指示把垂直線段的一部分向右平移到虛線處，求圖40-21陰影部分的周長便轉(zhuǎn)化為

48、求圖40-24的周長和兩條豎線長之和的問題了。              （5+4）×2+2×2=9×2+4=22（厘米）答略。*例3 求圖40-25S形水泥彎路面的面積。（單位：米）（適于三年級程度）               解：把圖40-25中水泥彎路面左邊的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的兩條邊

49、重合，圖40-25便轉(zhuǎn)化為圖40-26，S形水泥路面的面積轉(zhuǎn)化為圖40-26中的陰影部分的面積。S形水泥路的面積是：30×2=60（平方米）答略。（五）旋轉(zhuǎn)法將看不出計算方法的圖形的一部分以某一點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，使圖形重新組合成能看出計算方法的形狀，從而計算出圖形面積的解題方法叫旋轉(zhuǎn)法。*例1 計算圖40-27陰影部分的面積。（單位：分米）（適于六年級程度）圖40-27便轉(zhuǎn)化為圖40-28。圖40-28中梯形的面積就是圖40-27中的陰影面積。   答略。例2 圖40-29中，小圓的半徑是10厘米，中圓的半徑是20厘米，大圓的半徑是30厘米。求圖中陰影部分的面

50、積。（適于六年級程度）解：把圖40-29中的小圓向逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度，把中環(huán)向順時針方向旋轉(zhuǎn)90度，圖40-29便轉(zhuǎn)化為圖40-30。很明顯，圖40-29陰影部分的面積就是整個大圓面積的四分之一。答略。*例3 計算圖40-31的陰影面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：把圖40-31右邊的半圓以兩個半圓的公共點(diǎn)為中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)180度，與左邊的半圓組成一個圓（圖40-32）。                此時，兩個空白的三角形組成一個等腰直角三角形。這個等腰直角三角形的底邊等于圓的直徑10厘米，高等于圓的半徑5厘米，三角形的面積可求，接著也就可以求出圖中陰影部分的面積了。答略。（六）擴(kuò)倍法擴(kuò)倍法就是把組合圖形擴(kuò)大幾倍后，先求擴(kuò)大倍數(shù)后的面積或體積，然后再求原來的面積或體積。*例1 求圖40-33的面積。（單位：厘米）（適于三年級程