工程數(shù)學(xué)(本)期末復(fù)習(xí)

1、工程數(shù)學(xué)（本）期末復(fù)習(xí)指導(dǎo) 第一部分 課程考試的有關(guān)說明 （一） 考核對(duì)象 中央廣播電視大學(xué)理工類開放教育專升本土木工程專業(yè)及水利水電工程專業(yè)的學(xué)生。 （二） 命題依據(jù) 本課程的命題依據(jù)是中央廣播電視大學(xué)工程數(shù)學(xué)（本）課程教案大綱要求。內(nèi)容包括線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分。教材是由李林曙等編大學(xué)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)，大學(xué)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（均由中央廣播電視大學(xué)出版社出版）。 (三) 命題原則 本課程的考試命題在教案大綱規(guī)定的教案目的、教案要求和教案內(nèi)容的范圍之內(nèi)。 (四) 試卷類型及結(jié)構(gòu) 1、期末考試卷型：試卷類型分為單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題單項(xiàng)選擇題的形式為四選一，即在每題的四個(gè)備選答案

2、中選出一個(gè)正確答案；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程和推理過程；解答題包括計(jì)算題、應(yīng)用題或證明題等，解答題要求寫出文字說明，演算步驟或推證過程三種題型分?jǐn)?shù)的百分比為：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題15%，填空題15，解答題70 2、考核形式:閉卷筆試，考試時(shí)不得攜帶除書寫用具以外的任何工具 3、答題時(shí)限:期末考試的答題時(shí)限為90分鐘。 第二部分 題型講解 (一)單項(xiàng)選擇題應(yīng)試 單項(xiàng)選擇題是電大考試的常見題型，尤其是注冊(cè)視聽生的考試，單項(xiàng)選擇題占40，所以，認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)解單項(xiàng)選擇題是挺重要的 單項(xiàng)選擇題的特點(diǎn)是題量大，知識(shí)的覆蓋面寬，信息量多，答案也告訴了大家，應(yīng)試時(shí)間短目的是考核同學(xué)的基本概念、基本的知識(shí)

3、和極簡(jiǎn)單的計(jì)算的掌握程度和熟練程度常用方法有 1. 直接推導(dǎo)法就是按照題目的已知條件或結(jié)論，采用常規(guī)的解題程序，運(yùn)用概念、定理、法則等，經(jīng)過分析或計(jì)算，得出正確結(jié)果，推出正確選項(xiàng)如 11?23?2462?2?2?40?A( ) 矩陣的秩是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 求矩陣的秩，就是將矩陣化為階梯形矩陣，數(shù)一數(shù)有幾個(gè)非0行容易看出，矩陣的第1行的(2)倍加到第2行上，第2行變?yōu)?行，可見矩陣的階梯形有2個(gè)非0行故選項(xiàng)（C）正確 2. 排除法 （篩選法或淘汰法） 由已知條件和選項(xiàng)，通過觀測(cè)、分析或簡(jiǎn)單計(jì)算，把不可能成立的選項(xiàng)排除，剩下的選項(xiàng)為應(yīng)選的選項(xiàng)排除法有完全排除法和部分排

4、除法而常用的是部分排除法，縮小選擇范圍，再配合其它方法如 某商品的需求彈性為 Epbp(b>0)那么當(dāng)價(jià)格p提高1時(shí)，需求量將會(huì)( ) 減少bp (B) 增加bp (C) 增加bp% (D) 減少bp% 需求彈性是需求量的相對(duì)變化和價(jià)格的相對(duì)變化比的極限，帶負(fù)號(hào)而實(shí)際意義也是價(jià)格提高，需求量會(huì)減少故增加的兩個(gè)選項(xiàng)應(yīng)該排除，在選項(xiàng)(A)和(D)中選一 又需求彈性是兩個(gè)相對(duì)量的比，因此，當(dāng)價(jià)格p提高1時(shí)，需求量的減少量也應(yīng)是百分比選項(xiàng)(A)被排除，選項(xiàng)（D）正確 3. 驗(yàn)證法 把所給選項(xiàng)的結(jié)果，一一代入題設(shè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，或驗(yàn)算已知條件是否滿足選項(xiàng)，從而得到正確選項(xiàng)如 2x?dx2積分( )

5、112xx?122?C2?C 12x?2?ln?C22ln2ln C (B) (A) 22x (C) (D) xxee排除將選項(xiàng)，故選項(xiàng)(A)(+C)，現(xiàn)在的指數(shù)底是因?yàn)橹挥小?”的導(dǎo)數(shù)或積分才是12x?12x2?ln2)2(2 ln2，可見應(yīng)該選 (B)求導(dǎo)，得(B) 線性方程組部分的單項(xiàng)選擇題，判斷選項(xiàng)是不是解，用驗(yàn)證法也較好 單項(xiàng)選擇題在考試中占有較大比例，也的確是，單項(xiàng)選擇題看來很簡(jiǎn)單，只有2分，但是解題的方法很多要求大家對(duì)單項(xiàng)選擇題引起足夠的重視 (二)填空題應(yīng)試 填空題也是考核同學(xué)們的基本概念、基本理論和基本計(jì)算的掌握程度填空題的解題方式比較單純，一般采用直接思考的方法填空題相當(dāng)一

6、個(gè)命題，要么填條件，要么填結(jié)論，當(dāng)然，也可能填寫中間某個(gè)過程要求大家記好定義、定理、公式、法則以及重要結(jié)論等 如曲線y=x32x+1在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率 y3x2切線斜率即導(dǎo)數(shù)的幾何意義故先求導(dǎo)數(shù)，再將值代入導(dǎo)數(shù)2，當(dāng)x=0 y=2曲線y=x32x+1在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率是 2 時(shí)，這是個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算題，當(dāng)然填空題與概念密切相關(guān) (三)計(jì)算題應(yīng)試 計(jì)算題是電大考試的重要題型，計(jì)算題的分?jǐn)?shù)所占比重也比較大它主要考核同學(xué)的基本的運(yùn)算能力和速度這就需要大家多做習(xí)題，提高自己的計(jì)算能力當(dāng)然，在做計(jì)算題的過程中，概念清楚、定理和公式記熟是很重要的 計(jì)算題主要集中在(1) 求逆矩陣的初等行變換

7、法。(2) 求正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的方法(3) 掌握用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；(4) 概率計(jì)算 (事件的概率，隨機(jī)變量取值的概率和正態(tài)分布的概率和期望、方差的計(jì)算)；(5) 矩陣的計(jì)算 （加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、求逆矩陣、求秩等）；(6) 求解線性方程組 （線性方程組解的情況判別、求線性方程組的一般解）我們學(xué)習(xí)了四編的內(nèi)容，各編的計(jì)算題都有自己的特點(diǎn)和解題方法輔教基本上是對(duì)習(xí)題特點(diǎn)的分析和解題方法小結(jié)另外，附歸納、分析的”跟我學(xué)解題“材中 對(duì)解題方法做了一些歸納，大家應(yīng)該認(rèn)真閱讀“解題方法和應(yīng)答分析”錄的 應(yīng)用題應(yīng)試(四)應(yīng)用題主要考核同學(xué)運(yùn)用所學(xué)的概念、理論、公式和法則，分析和解決實(shí)

8、際問題的能力應(yīng)用題主要指數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)部分的應(yīng)用題：如求正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的方法，求 單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)方法，作單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)等；應(yīng)用題帶有綜合性，前邊講過的知識(shí)和解題方法，都應(yīng)該是做應(yīng)用題的前提，把它們 掌握好 證明題應(yīng)試(五)證明題考核同學(xué)運(yùn)用概念、性質(zhì)、定理及重要結(jié)論等進(jìn)行論證和邏輯推理的能力我2. 事件獨(dú)立性，隨機(jī)變量期望、方差的有關(guān)證明；們這課所涉及的主要證明題方面有：1. . 線性方程組解的證明矩陣可逆、可交換，特殊矩陣的證明；3. 證題方法一般有二：其一：是驗(yàn)證由計(jì)算結(jié)果，代入看是否滿足等式其實(shí)是計(jì)算題如給定函數(shù)，驗(yàn)證函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足某等式其二，由已知條件出發(fā)，分析、推斷

9、，最 后得到結(jié)論；或由結(jié)論入手，經(jīng)過分析，運(yùn)用已知條件，推出所求結(jié)論寫出證明過程 的問題，充分必要條件”證明題常常遇見證明“必要條件是某結(jié)論成立必須具備的條件，但不是充分的；充分條件是某結(jié)論的完備條的必要條件，”“考試通過“參加考試”是件，即此條件成立，則結(jié)論必成立如期末考試，考試通是“100“得分”要想“考試通過”就必須參加考試，但參加考試，不一定就能通過60“得“考試通過”的充分必要條件是”的充分條件但“考試通過”不一定必須得100分過 ”分任何一門學(xué)科，解決問題的方法一般沒有一成不變的固定方法題目類型五花八門，解題方法也是各式各樣學(xué)習(xí)方法不能靠記下來，一勞永逸而是理解實(shí)質(zhì)，要掌握好各 種

10、解題方法，唯一方法是多做練習(xí)，不斷總結(jié)，增強(qiáng)記憶 第三部分復(fù)習(xí)重點(diǎn)及例題：掌握利用性質(zhì)計(jì)算行列式的方法；熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會(huì)用伴重點(diǎn)隨矩陣法求逆矩陣，掌握求解簡(jiǎn)單的矩陣方程的方法；熟練掌握用矩陣初等行變換方法判斷齊次與非齊次線性方程組解的存在性和惟一性；熟練掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系和通 解的求法；掌握用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；熟練掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握條件概率和全概公式；熟練掌握幾種常用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布以及它們的期望與方差；會(huì)參數(shù)的矩估計(jì)法，掌握參數(shù)的最大似然估計(jì)法；熟練掌握求正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的方法；熟練掌握單正態(tài)總體均值 的檢驗(yàn)方法，會(huì)作單

11、正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)； :例題 一、單項(xiàng)選擇題nBA, 階可逆矩陣，則下列等式成立的是均為( )1設(shè)1? 1?1?1?1?ABB?AB?A B ABA?1? ?1?1?1?111?BABA?B?ABA D C正確答案：A x?x?a?112?x?x?aa?0，方程組，其中相容的充分必要條件是( ) 2?232i?x?x?a?313(i?1,2,3) a?a?a?0a?a?a?0 BA312132a?a?a?0?a?a?a?0 DC313221正確答案：B 1?1?AA的特征值為 ( ) ，則3 3設(shè)矩陣的特征值為0，2?11?A0，2 B0，6 C0，0 D2，6 正確答案：B AB是兩事件，則

12、下列等式中（ ）是不正確的， 4. 設(shè)P(AB)?P(A)P(B)AB相互獨(dú)立，其中 ，A. P(AB)?P(B)P(AB)P(B)?0 B. ，其中P(AB)?P(A)P(B)AB互不相容C. ，其中 ， P(AB)?P(A)P(BA)P(A)?0 D.，其中正確答案：C D(2X?3Y)YX=與（相互獨(dú)立，則方差 5若隨機(jī)變量 ） 2D(X)?3D(Y)2D(X)?3D(Y) BA4D(X)?9D(Y)4D(X)?9D(Y) C D正確答案：D ?nm?ts?BCCBAA是6設(shè)( )是矩陣，且矩陣有意義，則矩陣， 是n?sn?sm?ttm B C ADB 正確答案：?、OAX XXAXB

13、7若）、是方程組是線性方程組的解，則（= 的解，而2121BAX =是的解2112?XX?X?XX?X BAC D 212121123333 正確答案：A13?1?120A?2?A 的一個(gè)特征向量 8設(shè)矩陣，則=( ) 的對(duì)應(yīng)于特征值?211?0111?0010 CDA B?1101?C 正確答案： 9. 下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（ ） B?1A?BB?BA?B?BA?BABAB?BA?B CBDA正確答案：A Y?3X?2),1N(0X（ ），則隨機(jī)變量 10若隨機(jī)變量 22)3?2,3,)N(N(?4),)N(?43N(?2,3 B CDA正確答案：D 2?x,x,x),N(的無偏估計(jì) 1

14、1設(shè)是來自正態(tài)總體 ）是的樣本，則（312222x?x?xx?x?x AB 312321555111311x?xx?x?xx DC 311322555555正確答案：C 22?),?,x(x,x)N(,的置信，未知，求的一個(gè)樣本 12對(duì)給定的正態(tài)總體n21 ）區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（ 2t分布 C指數(shù)分布 D正態(tài)分布分布 B A正確答案：B 二、填空題 1122?21(x)?1xff(x)?0的根是 設(shè)1，則2?12x41,?1,2,?2 應(yīng)該填寫：?,?可由向量組設(shè)向量2線性表示，則表示方法唯一的充分必要條件是n21?,? n12應(yīng)該填寫：線性無關(guān) A?B PABAB）= 滿足 - ，則

15、3若事件（，P(A)?P(B) 應(yīng)該填寫：k?,0?x?1? 2f(x)?k x?1=設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù) 4?0,其它?4應(yīng)該填寫： ?n1?x,x,xxxx?)0XN(,1，則若樣本 5 ，且來自總體 n12ini?11N(0,) 應(yīng)該填寫： n 638251Aa 行列式的值為的元素6=的代數(shù)余子式2121701-56 應(yīng)該填寫1 1? ?AAA的行列式，則 = 7設(shè)三階矩陣 22 應(yīng)該填寫：002?0?133k，一個(gè)基，則數(shù)， ，能構(gòu)成R 8若向量組：?312?2?2k1?2? 應(yīng)該填寫：BAXrAAXB的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解=設(shè)4元線性方程組）=1有解且，那么（9 系含

16、有 個(gè)解向量3 應(yīng)該填寫： ?A)P(B0?A),BP(A ，則互不相容，且 10設(shè)0 應(yīng)該填寫：?X)D(0U,2X ，則 11若隨機(jī)變量 1應(yīng)該填寫： 3?(?E)的一個(gè)估計(jì)，且滿足是未知參數(shù)，則 12稱為設(shè)的估計(jì) 應(yīng)該填寫：無偏 三、計(jì)算題 32?1123?1? 211,B?1A?0?1ABA ）1設(shè)矩陣；（，求：（12?211000? 123? 2?11?0A? 解：（1）因?yàn)?00 123011 11 1?1B?12?112? 21210120 2AB?AB? 所以23?1100?0?11AI010 ）因?yàn)椋?2 ?100010?2301011001/23/2?1?0?1001?1?

17、0010?11 ?001001000110?1/23/2?1?1?11A?0 所以 ?010?x?3x?3x?2x?x?0?54132?2x?6x?9x?5x?3x?0的通解求齊次線性方程組2 ?51324?x?3x?3x?2x?0?15231332113321?2513690031A =： 解?36200?13302?2133113010?1?003101003 ?1000000100?x?3x?x?412?1?x?xxx 是自由元， ，其中 一般解為 ?42 433?x?0?5?)0,0,3,1,0(?Xxx； = 1， = = 0，得 令 142?)03,0,?1,(?3,Xxx = =

18、 3，得 = 0，224 XX ，所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 21kX?kXkk 是任意常數(shù) 原方程組的通解為： ，其中 212112 P(X?4?2)1N(4,X；（2（設(shè)隨機(jī)變量1）求）若 3P(X?k)?0.9332k的值 （已知，求?(2)?0.9775,?(1)?0.8413,?(1.5)?0.9332） P(X?)4?2)2P(X?4? ）1解：（1P(?2?X?4?2)?(2)?(?2)）（ 1 = 1?(2)）0.045 = 2（1 P(X?k)?P(X?4?k?4) 2）（ P(X?4?k?4) 1?(k?4)?0.9332?(1.5) 1?(k?4)?1?(1.5)?(?

19、1.5) kk2.5 4 = -1.5， 即 4某切割機(jī)在正常工作時(shí)，切割的每段金屬棒長(zhǎng)服從正態(tài)分布，且其平均長(zhǎng)度為10.5 cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取4段進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得的結(jié)果如下： ）cm（單位：10.4 ，10.1，10.4，10.6?961.u?05.?0 )問：該機(jī)工作是否正常(, ？975.0?5H:.?10150.? ，故選取樣本函數(shù).由于已知解：零假設(shè)0?x ?U)10,N( ?n?150.075?0.375?10x. ，經(jīng)計(jì)算得， 4n?510.10.375x?.67?1 ?0750.n?x?.96.67?1?196u?1. ，且 由已知條件?1?1 2

20、2n故接受零假設(shè)，即該機(jī)工作正常. 0101?1?A?111B?20XBAX?X?，求，其中，5已知矩陣方程 ?3503?1?(I?A)X?B，且解：因?yàn)?1?101001?10001?01?1)?10?10101?01(I?A?I ?12?1010?200101?10100?21100?10?11?120?1?0101?10 ?100?10?001110?1?02?1?1(I?A)?12?1 即?11?0?02?11?1?13?1X?(I?A)B?12?120?24 所以 ?3?3?01?135?),44，8，?4(1，?2，,?1)16?(?)25,3，1，?(?，6設(shè)向量組，213?)?

21、13，1,?(2，求這個(gè)向量組的秩以及它的一個(gè)極大線性無關(guān)組 4 解：因?yàn)??41?32?3?128? =（）4123?1?4165?14?21?32?4?311?42?10?5700?10? ?207?70000?000000?11?,r 所以，) = 3(4132?,） （或 它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 423431x?3x?2x?0?312?0x?5x?32x?為何值時(shí)方程組有非零解？在有非零7設(shè)齊次線性方程組，?312?x?0?8x?3x?123解時(shí)，求出通解 解：因?yàn)?2?11?321?310?12?51?13?001A = ?5?0010?3?86?5即5?當(dāng)0?r(A)?3，所以方

22、程組有非零解時(shí)， x?x?31x為自由元 ，其中方程組的一般解為：?3x?x?32?x)1,1,(1XX=1得= 令，則方程組的基礎(chǔ)解系為 113kXk為任意常數(shù) ，其中 通解為111 8罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子，4顆黑子若從中任取3顆，求：（1）取到3顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到3顆棋子顏色相同的概率 AAA=“取到=“取到3顆棋子中至少有一顆黑子”，解：設(shè)“取到的都是白子”，213B =“取到3顆棋子顏色相同”，則的都是黑子”， P(A)?1?P(A)?1?P(A) ） （12113C8?1?1?0.255?0.745 3C12P(B)?P(A?A)?P(A)?P(A) 2） （33223C40.255?0.255?0.018?0.273 3C12X NPXPXa）=0.92）使< 4）求：（1）（1< 成< 7 9設(shè)隨機(jī)變量）；（3，?(1.0)?0.8413?(1.28)?0.9?(2.0)?0.9973a)，立的常數(shù) ( ， 1?3X?37?3?)P(XP=< 7）解：（1） 1< （ 2223X?1P?2)(?)1(?2?()? = 2 = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 X?3a?3