彈性力學(xué)簡明教程第八章

1、第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答第五節(jié)第五節(jié) 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)第四節(jié) 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題第三節(jié)第三節(jié) 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力第二節(jié)第二節(jié) 半半空間體受重力及均布?jí)毫臻g體受重力及均布?jí)毫Φ谝还?jié)第一節(jié) 按位移求解空間問題按位移求解空間問題第六節(jié)第六節(jié) 扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬 第七節(jié)第七節(jié) 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 第八節(jié)第八節(jié) 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 例題例題習(xí)題的提示和答案習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 1. 取u,v,w為基本

2、未知函數(shù)。按位移求解按位移求解 2. 將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。 將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示： 在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即81 按位移求解空間問題按位移求解空間問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中體積應(yīng)變 )( ),;,( ,12,211awvuzyxzvywExuEyzx。zwyvxu按位移求解按位移求解 3. 將式 (a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中拉普拉斯算子, 0211122xfuxE)( ),;,(bwvuzyx。2222222

3、zyxV V內(nèi)基本方程內(nèi)基本方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 4. 將式 代入應(yīng)力邊界條件，得用位 移表示的應(yīng)力邊界條件： yuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(c)(上在s 。uus)()(dsu上在)(a邊界條件 位移邊界條件仍為:第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2） 上的應(yīng)力邊界條件(c),（3） 上的位移邊界條件(d)。 歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移 u,v,w 必須滿足： sus按位移求解按位移求解這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b),第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答優(yōu)點(diǎn) 在空間

4、問題中，按位移求解方法尤為要： 3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的 應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求 解時(shí)，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 按位移求解空間軸對(duì)稱問題 在柱坐標(biāo) 中，可以相似地導(dǎo)出： 位移 應(yīng)滿足： ),(zzuu ,)( , 0211)1 (2, 021112222efuzEfuuEzz軸對(duì)稱問題（1）V內(nèi)的平衡微分方程，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為。1222SuS其中體積應(yīng)變;zuuuz軸對(duì)稱問題（2） 上的應(yīng)力邊界條件。 （3） 上的位移邊界條件。第八章第八

5、章 空間問題的解答空間問題的解答1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件 （8-4）。2、試導(dǎo)出空間軸對(duì)稱問題中用位移表示的 平衡微分方程（書中式（8-4），并將 上的應(yīng)力邊界條件用位移 來表示。 Sfs)(思考題s第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設(shè)有半空間體，受自重體力 及邊界的均布?jí)毫。gfz82 半半空間體受重力空間體受重力 及均布?jí)毫熬級(jí)毫?問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 采用按位移求解： , 0u, 0v )( azww。 考慮對(duì)稱性：本題的任何x面和y面均為對(duì)稱面，可設(shè) 位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題

6、的解答（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式 自然滿足，第三式成為常微分方程，。0dddd211122222gzwzwE)( 122112bBAzEw。求解方程積分兩次, 得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,1Azgyx,Azgz。0 xyzxyz)(c相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為)( )(,0,00dqzzzzyzx。)( 0),(,1egzqgzqxyzxyzzyx。邊界條件由式(d)求出A，得應(yīng)力解為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答位移解為)( 122112fBgqzEgw。0)(hzw其中B

7、為z向剛體平移，須由約束條件確定。 若z=h為剛性層，則由 可以確定B。 若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即。1zyzx)(g側(cè)壓力系數(shù)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 當(dāng) 時(shí)，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大， 說明物體的剛度極小，接近于流體。 當(dāng) 時(shí)，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。21。zyx0討論：討論：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題， 或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位 移求解？第八章第八章 空間問題的解答空間

8、問題的解答 2. 若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面 應(yīng)變問題簡化，將得到什么形式的表達(dá) 式？再轉(zhuǎn)向平面應(yīng)力問題，又將得到什 么形式的表達(dá)式？并與平面問題的位移 函數(shù)相比較（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué) 習(xí)指導(dǎo)”和第二章教學(xué)參考資料）。 3. 試用伽遼金位移函數(shù)的表達(dá)式(8-9),導(dǎo) 出式(8-10)（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí) 指導(dǎo)”）。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設(shè)有半空間體，在o點(diǎn)受有法向集中力F。 本題為空間軸對(duì)稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解， 而位移 ,而 和 應(yīng)滿足:, 0u uzu 8-3半空間體在邊界上受半空間體在邊界上受 法向集中力法向集中力 問題第八章第八章 空間問題的

9、解答空間問題的解答（1）平衡微分方程（書中（8-4）)( , 0211, 0211222auzuuz。zuuuz求解條件其中第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力 邊界條件為。00, 0zz, 00, 0zz, 0zF; 0d20Fzzz)(c)(b（3）由于z=0邊界上o點(diǎn)有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣 維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,21212zRRzERFu;122122RzERFuz 布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為)(d 由于軸對(duì)稱，其余的5個(gè)平衡條件均為自然

10、滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz。5223RzFz。2122zR其中)(e第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應(yīng)力特征：; 0,應(yīng)力R。應(yīng)力 , 0Rzz 和)( 120fEFuzz。（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn) o。 邊界面上任一點(diǎn)的沉陷，（2）水平截面上的應(yīng)力 與彈性常 數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng) 當(dāng)?shù)诎苏碌诎苏?空間問題的解答空間問題的解答 若單位力均勻分布在 的矩形面積上，其沉陷解為： 將F代之為 ，對(duì) 積分，便得到書上公式。baybaFdd1dy,分布力第八章第八章 空間問題的解答空間問題的

11、解答1.試由位移函數(shù)的表達(dá)式(8-11)，導(dǎo)出式 (8-12)。（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）2. 試由拉甫位移函數(shù)的表達(dá)式(8-14)，導(dǎo)出式(8-15)。 （參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）思考題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答84按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題 按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對(duì)幾何方程的積分，才能用形變 或應(yīng)力表示，其中會(huì)出現(xiàn)待定的積分函 數(shù)。2. 其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1. 取x yz為基本未知函數(shù)。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此,位移邊界條件等用應(yīng)力

12、表示時(shí)，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為 應(yīng)力邊界條件 的問題。)(SS 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程 :;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個(gè)相容方程：（2）相容方程（六個(gè)）:（1）平衡微分方程（三個(gè)）。V內(nèi)方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12）。4. 假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在 上，應(yīng)滿足書中式（7-

13、5）。SS 應(yīng)力邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）V內(nèi)的三個(gè)平衡微分方程；SS 其中(1),(3) 是靜力平衡條件； (2),(4)是位移連續(xù)條件。 按應(yīng)力求解歸納為按應(yīng)力求解歸納為, 應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解歸納（4）對(duì)于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3） 上的三個(gè)應(yīng)力邊界條件（假設(shè) 全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的六個(gè)相容方程；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）物體滿足連續(xù)性條件 導(dǎo)出形變和位 移之間的幾何方程 導(dǎo)出相容方程。 對(duì)于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。 （2）形變滿足相容方程 對(duì)應(yīng)的位移存在 且連續(xù) 物體保

14、持連續(xù)；形變不滿足 相容方程 對(duì)應(yīng)的位移不存在 物 體不保持連續(xù)。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）相容方程的導(dǎo)出及對(duì)(2)的證明，可 參見有關(guān)書籍。)( ,0dd22aBxAfxf的解為)( 0dd233bcxBxAfxf。的解為例如：（4）相容方程必須為六個(gè)。相容方程和平 衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù) 目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要 的。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答式 是由方程 提高階數(shù)得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。 幾何 方程中，形變?yōu)?0 階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以 2 階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因?yàn)槲⒎址匠烫岣唠A數(shù)會(huì)增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來

15、消去增加的解答。2cx)(b)(a)(b)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡化求解的方程。 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以 導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的相容方程，卻不能直 接導(dǎo)出平面應(yīng)力問題的相容方程，為什么？ (見例題4)2、在表面均受到法向壓力q 作用的任意形狀的 空間體，其應(yīng)力分量是 試證明這些應(yīng)力分量是該 問題之解（對(duì)于多連體還應(yīng)滿足位移單值條 件）。 ,

16、qzyx zxyz。0 xy第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個(gè)特例。8-5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的特性來簡化空間問題，就建立了扭轉(zhuǎn)問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉(zhuǎn)問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)問題的提出:; 0zyxfff, 0zyxfff（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側(cè)面無面力作用， 柱體上下端面的面力，合成一對(duì)力 矩 M。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 引用按應(yīng)力求解空間問題的方法應(yīng)力應(yīng)滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)相容方程及 上的應(yīng)力邊界條件。SS 按應(yīng)力求

17、解第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答因此只有 ，代入3個(gè)平衡微分方程得 1. 由扭轉(zhuǎn)問題特性, 上下端面（ ）上無面力 設(shè) 側(cè)面無任何面力，面z；0z,zfzyzx,。0 xyzyx設(shè), 0 xzx。0yxzyzx, 0yzy)(a, 0zyxfff第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由式(a)前兩式，得 僅為（x,y）的 函數(shù)；第三式成為)( byxzyzx。)( ,cxyyxzyzx, 又由偏導(dǎo)數(shù)的相容性，存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù),第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對(duì)比式(b)和(c)，兩個(gè)切應(yīng)力均可用一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 表示為),(yx,yzx。xzy)(d第八章第八章 空間

18、問題的解答空間問題的解答由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)滿足的方程：。02zy, 02zx, 02x 2. 將式（d）代入6個(gè)相容方程，前三式和 第六式自然滿足，其余兩式為代入（d），得, 02y)( ,2eC C為待定常數(shù)。相容方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而 得3. 考察側(cè)面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為)0, 0(zyxfffn。0szyzxml,ddsyl ,ddsxm。0ddddddSsxxsyyS邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在S上為常數(shù)。又由于 中常數(shù)不影響應(yīng)力， 得 的側(cè)面邊界條件為 )( 0fs。, 0,zyxFFF, 0,yxMM。MMz

19、考察上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應(yīng)用圣維南原理，有第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在z=0負(fù)面上， 只有 。 條件自然滿足，而其余三個(gè)條件為, 0z0,yxzMMF, 0yF, 0dd0Azzxyx, 0zM。MyxxyAzzyzxdd0, 0 xF, 0dd0yxAzzy)(gzyzx,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 將式 代入，并應(yīng)用條件 ，經(jīng)過運(yùn)算（見書P.168），式 的前兩式自然滿足，而由后一式得出關(guān)于 的端面邊界條件為。MyxAdd)(h)(d)( f)(g第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) ， 應(yīng)

20、滿足： ; 02 。0s。MyxAdd歸納（1）A內(nèi)方程（2）側(cè)面S上邊界條件 （3）端面上邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 注解：yx,（3）扭轉(zhuǎn)問題中 的變量為x,y，仍屬 于二維問題。（2）空間問題按應(yīng)力求解的全部條件均已 考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 求位移分量： 根據(jù)上面的應(yīng)力，代入物理方程，可以求出對(duì)應(yīng)的形變；再代入幾何方程，并進(jìn)行積分，求出對(duì)應(yīng)的位移為,Kyzu,Kxzv )(i其中 ，為單位桿件長度的扭角。dzdK 求位移第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答)( 22jGK。)( 2kGKC。

21、并且還得出對(duì)比式 （e），得出常數(shù)C的物理意義，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1. 試考慮：上面建立的分析方法是精確 的理論還是近似的理論，其中提出的 一些假設(shè)是否完全成立？ 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答86扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬 對(duì)于物理現(xiàn)象不同，但數(shù)學(xué)描述相同的問題，可以應(yīng)用比擬方法來求解。薄膜問題薄膜問題 設(shè)有一薄膜，張?jiān)谒竭吔缟?，并受到微小的氣體壓力q。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答薄膜斜率在 面分別為薄膜斜率在 面分別為 薄膜只能承受均勻拉力 ，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個(gè)微小單元abcd, 各邊上的作用力均為

22、，但薄膜的斜率不同。TFxy;d,xxzzxxz。yyzzyyzd,TF薄膜問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答平衡條件：，0zFxxzzxyFxzyFTTddd。0dddddyxqyyzzxxFyzxFTT第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答得出薄膜垂度z的方程： )( 2aFqzT。 )( 0bzs。)( dd22cyxzVA。)( ,dyzixziyx。薄膜在x，y向斜率為 薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍 體積是薄膜的邊界條件為薄膜比擬第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉(zhuǎn)問題 薄膜問題未知函數(shù)A內(nèi)方程從數(shù)學(xué)上看，薄膜問題和扭轉(zhuǎn)問題的數(shù)學(xué)方程相同，比較如下：

23、)(扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù))(薄膜垂度zGK22TFqz2 0s 0sz邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答邊界條件切應(yīng)力/斜率MyxAdd2VyxzA2dd2yzxyziyxzyxzix扭轉(zhuǎn)問題 薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對(duì)應(yīng)于2V，則,yzxi,xzyi。TFqGK 2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 薄膜比擬的應(yīng)用：薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬, 提出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的 假設(shè)。（2）通過薄膜比擬, 直接求解薄壁桿件的 扭轉(zhuǎn)問題。（1）通過薄膜比擬試驗(yàn), 求解扭轉(zhuǎn)問題。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為

24、求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) ， 應(yīng)滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,2C , 0s。MyxAdd2)(a)(b)(c87 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 求的條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 式 中的C為常數(shù)，其特解十分簡單；而式 的通解為調(diào)和函數(shù)。C可以由式 求出。 )(a)(c)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)求解。 1. 為了滿足式(b) ，可取 )( , 12222dbyaxm。012222sbyax在橢圓邊界上橢圓截面桿第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答2. 將式(d)代入(a) ，解出3.

25、再將式(d)及(e)代入式 (c)，求出)( )(22222eCbabam。)( . 23322fbaMbaC從而得出第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答求出單位長度桿件的扭角：,12222byaxabM,23yabMyzx。xbaMxzy32)(g。GbaMbaGCK33222第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 z 向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當(dāng)a=b 的圓截面時(shí)，w=0，才保持為平面。Mxybabaw3322第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對(duì)于 的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,(1)在邊界條件中，長邊上應(yīng)嚴(yán)格滿足)(ba ba )( ;02aby88矩形截面

26、桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 而短邊(x=b)是 次要的，可忽略。狹矩形截面桿1. 狹矩形截面桿 的扭轉(zhuǎn) 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在方程中，應(yīng)主要考慮 y 向的導(dǎo)數(shù)， 而可忽略x向的導(dǎo)數(shù)，C2)(dd22bCy。)(b。42221byC)(a由式 和 ，可得可簡化為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）將 代入 求出 狹矩形桿的解答為,dd2MyxA)(c.63abMC.432231ybabM)(d1第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,63yabMzy; 0zx,32maxabM。GabMK33)(f)(ba)( . ,12gyxF矩形截面桿2.一般矩形截

27、面桿 的扭轉(zhuǎn) 以狹矩形桿解答為基礎(chǔ)，再迭加一個(gè)修正解的方法,進(jìn)行求解：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應(yīng)滿足條件是2, 022 , 02s。MyxAdd22; 02 F , 02byF ;432232ybabMFax。MyxFAdd21)(h由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 從式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出應(yīng)力等解答（用雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的級(jí)數(shù)表示）。書中列出了簡化的結(jié)果，見式（8-34）和（8-35）。2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)),(ba )( f。GabMK33,32maxabM（2）從薄

28、膜比擬可見，當(dāng)狹矩形的a,b相同 時(shí)，直線形和曲線形截面的薄膜是相 似的，它們的 相同。K,（1）薄壁桿件截面都是狹矩形 可以直接引用式 的解答。薄壁桿件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）對(duì)于若干個(gè)狹矩形組成的構(gòu)件，), 2 , 1(33iGbaMKiii。iiiibaGKMM33b.總扭矩是各個(gè)截面的扭矩之和， 由此解出,33iiiiibaMb)( 33ibaGMKiii。a.各個(gè)截面的扭角相同，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（4）閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn) 設(shè)閉口薄壁桿的厚度為 ，中心線長為s，中心線包圍的面積為A，應(yīng)用薄膜比擬，取外邊界 上， 則內(nèi)邊界上的 不能再任意選

29、擇，應(yīng)取 ，如圖，相當(dāng)于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：1s ; 01s hs2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,22AhVM。AMh2扭矩解出切應(yīng)力yxozxzoyqTFTF hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件,h第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此得出切應(yīng)力)( 2jAM。2s,sindqAsFsThsin。TsFqdsAh其中 ，代入得 為了求扭角K, 可考慮內(nèi)邊界 上無重鋼板的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由薄膜比擬， 代入上式，求出,2GKFqT)( d42ksGAMKs。GAMsK24當(dāng)薄壁桿厚度 為常量時(shí)，第八章第八章 空間

30、問題的解答空間問題的解答思考題 試比較：矩形中心線的邊長為ab，厚度為的矩形的閉口薄壁桿件,和矩形開口薄壁件的切應(yīng)力和扭角。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題1例題2例題3例題4例題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 解：引用“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”8-2中關(guān)于空間位移勢函數(shù) 的解法， 應(yīng)滿足泊松方程 例題1 試證明位移勢函數(shù)能解任意彈性體受均布?jí)毫的問題。),(222zyxAC2及邊界條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答取 滿足泊松方程。由式（8-8）從 求出應(yīng)力分量, 在邊界面上，設(shè)法線的方向余弦為l,m,n, 則面力分量是將應(yīng)力代入三個(gè)邊界條件，并

31、求出)(222zyxA,2Azyx。0 xyzxyz,lqfx,mqfy。nqfz。qA2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此，得解答 對(duì)于多連體，還應(yīng)從應(yīng)力求出位移，并校核多連體中的位移單值條件是否滿足。顯然，位移單值條件是滿足的。, qzyx。0 xyzxyz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設(shè)有無限大彈性體（空間體），在體內(nèi)一小洞中受有集中力F 的作用，如圖(a)，試用拉甫位移函數(shù) 求解應(yīng)力分量，其中 AR。2122)(zRRzFoz)(aozzz)(b例題2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答及邊界條件。 將代入方程，顯然是滿足的。再將代入應(yīng)力公式（8-16）

32、，求出應(yīng)力分量。 ).1(0222224z其中 解：引用“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”8- 3中關(guān)于拉甫位移函數(shù) 的 解法，應(yīng)滿足重調(diào)和方程 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點(diǎn)o附近切出一薄板，圖(b)，應(yīng)用圣維南原理來考慮此薄板的平衡條件。由于應(yīng)力分量都是軸對(duì)稱的，且 對(duì)于z=0的面又是反對(duì)稱的，只須考慮下列平衡條件：zz z, 02d2)(0Fzzz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而,3)21 (533RzRzAz。)1(8FA從而得出各應(yīng)力分量為代入后得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,)21 ()1 (83RzF,3)2

33、1 ()1 (8533RzRzFz。3)21 ()1 (8523RzRFz,3)21 ()1 (8523RzRzF第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中 而 均為調(diào)和函數(shù)，滿足),(32101zyxxu),(32102zyxyv),(32103zyxzw,)1 (413210,。0, 0, 0, 032221202 例題3 用代入法證明，下列的位移表達(dá)式是無體力時(shí)平衡微分方程的解答，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由于 都是調(diào)和函數(shù)，代入無體力的平衡方程均能滿足。H.Neuber等曾用這一形式的解答求出一批回轉(zhuǎn)體的解。 解：當(dāng)無體力時(shí)，平衡微分方程是),(,0)211()1

34、(22zyxuxE。zwyvxu3210,其中體積應(yīng)變第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題4 平面應(yīng)力解答的近似性試從空間問題按應(yīng)力求解的方法，來導(dǎo)出和考察平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題的基本理論。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答解： （1）對(duì)于平面應(yīng)變問題，在常截面的很長柱體（可以假設(shè)為無限長），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對(duì)稱面，可以推論出，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答從式 可以得出，在式 中， 表示等式左邊的物理量僅為x,y的函數(shù)。),(, 0, 0yxfxyyxzyzxz)(b)()(ba 、。),()

35、(),(,yxfyxfyxzxyyx)(c)()()(cba、),(yxf);,(, 0yxfvuw)(a第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 將式 代入空間問題的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力和位移邊界條件，可以得出平面應(yīng)變問題的全部方程和條件，而其余的方程和條件均為自然滿足。例如，將式 代入空間問題的相容方程（書中式（8-10）、（8-11）得出)()()(cba、)(b,22222yxxyxyyx)(d而其余五式全部自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的理論。 （2）對(duì)于平面應(yīng)力問題，在很薄的板，只受x,y方向的體力、

36、面力和約束，且不沿板厚方向（z向）變化；又在板面上無任何面力的條件下，由板面的邊界條件, 0),(2zzyzxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 假設(shè)在彈性體內(nèi)因此，只有平面應(yīng)力 和 ，并進(jìn)一步假設(shè)這就是平面應(yīng)力問題。由上兩式，還可得出。0),(zyzxzyx ,xy。),(),(yxfxyyx)(e)( f),(),(yxfxyyx)(g。及),()(yxfEyxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答將式 代入空間問題的相容方程（書中式 ），除了得出式 外，還得出)()()(gfe、)118()108(、)(d。0,0,022222yxxyzzz)(h第八章第八章 空間問題的

37、解答空間問題的解答 在一般的情況下，由式 得出的 顯然不能滿足相容方程 。 由此可見，平面應(yīng)力問題的假設(shè) 不能保證所有的相容條件都得到滿足。因此，平面應(yīng)力問題的理論是近似性的。)(g),(yxfz)(h),(),( , 0(yxfxyyxzyzxz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 但是Clebsch,A.證明，在條件 下從空間問題理論得出滿足所有相容方程的精確解答，是一般平面應(yīng)力問題（假設(shè) 的解答，再補(bǔ)充一個(gè)沿板厚拋物線變化的修正解（與 成正比）。對(duì)于充分薄的板，)(e),(),(, 0),(yxfxyyxzyzxz 和2z第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此，平面應(yīng)力問

38、題的解答，顯然不能滿足所有的相容條件，但對(duì)薄板卻仍是一個(gè)很好的近似解。讀者可參閱 8-4的詳細(xì)證明。11修正解遠(yuǎn)小于第一部分平面應(yīng)力問題的解，且只影響邊界附近的局部區(qū)域。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 8-2提示：同上題。應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè) 若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。 8-1提示：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè) )。柱體的側(cè)面，在（x,y）平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（n=0,l,m為任意的），并應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件。第八章第八章 習(xí)題的提示和答案習(xí)題的提示和答案ss ),ss第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答

39、由于空間體為任意形狀，因此，應(yīng)考慮一般的應(yīng)力邊界條件（7-5）：法線的方向余弦為 l,m,n ，邊界面為任意斜面，受到法向壓力q 作用。為了考慮多連體中的位移單值條件，應(yīng)由應(yīng)力求出對(duì)應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。 8-3見8-2的討論。 8-4從書中式（8-2）和（8-12）可以導(dǎo)出。由結(jié)論可以看出位移分量和應(yīng)力分量等的特性。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 8-5 為了求o點(diǎn)以下h處的位移，取出書中式（8-6）的，并作如下代換 Zh，R2a2， FdFq2dp,然后從oa 對(duì) 積分。 8-6 引用布西內(nèi)斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是 zu。FEuzz201)(（1）求

40、矩形中心點(diǎn)的沉陷，采用圖8-9（a） 的坐標(biāo)系， 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 代入并積分，,22yx yxqFddd,)d42ln()1 (dd)1 (dd)1 (2/2/2222222/2/2/2/2222/2/2/2/2220yyyaayaEqyxxyEqyxEyxqbbbbaabbaa 再應(yīng)用部分積分得到，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)harsinharsin()1 (220abababEq a/2 a/2 b/2 b/2o22yx dxdyxyyxba22yx dydx(a)(b)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)sinharsinhar()

41、1 (dd)1 (2002220abababEqyxyxEqab （2）求矩形角點(diǎn)處的沉陷，采用圖8-9(b) 的坐標(biāo)系，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答8-8 題中 能滿足兩個(gè)圓弧處的邊界條件 。 然后，相似于上題進(jìn)行求式 解。 的兩倍。8-7 題中 已滿足邊界條件 再由 便可求出切應(yīng)力及扭角等。, 0)(s,222AMdxdyGK及BA為, 0)(s第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答8-9 分別從橢圓截面桿導(dǎo)出圓截面桿的解 答，和從矩形截面桿導(dǎo)出正方形截面 桿的解答；并由 ，得出 代入后進(jìn)行比較即可得出。 8-10 參見8-8的討論。22raar第八章第八章 空間問題的解

42、答空間問題的解答 （一）本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)及要求 1、本章介紹空間問題的位移法和應(yīng)力法，其思路和步驟與平面問題相似。讀者可對(duì)照平面問題來學(xué)習(xí)和理解。 2、空間問題的位移法比應(yīng)力法尤為重要。一是因?yàn)槲灰品梢赃m用于各種邊界條件的問題；二是位移法的未知函數(shù)數(shù)目比應(yīng)力法少，而在空間問題中，又沒有如第八章第八章 教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答平面問題那樣，有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。 在近似解法中，位移法得到廣泛的應(yīng)用。 3、為了便于空間問題的求解，力學(xué)家和數(shù)學(xué)家提出了一些應(yīng)力函數(shù)、位移勢函數(shù)和位移函數(shù)等來表示應(yīng)力或位移，使相應(yīng)的微分方程得到簡化，并從而得出了一些解答。但讀

43、者應(yīng)注意，這些函數(shù)都是人為假定的和有局限性的，并不能作為空間問題的一般解，因?yàn)椴⒉荒鼙ＷC這些函數(shù)在任何情況下都存在。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 4、扭轉(zhuǎn)問題 是空間問題中的一個(gè)專門問題。扭轉(zhuǎn)問題的理論，是從空間問題的基本方程出發(fā)，考慮扭轉(zhuǎn)問題的特性而建立起來的。扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù) （x,y）是x,y坐標(biāo)變量的函數(shù)，所以仍然是二維問題。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （二）本章的內(nèi)容提要 1.在直角坐標(biāo)系（x,y,z）中，按位移求解一般的空間問題時(shí)，取u,v,w為基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足 （1）用位移表示的平衡微分方程，, 0211122xfuxE),;,(wvuz

44、yx第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,zwyvxu。2222222zyxyuxvmxulE2211。xsfzuxwn2),;,(wvuzyx)(上在S （2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件，其中第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 2.在柱坐標(biāo)系 中，按位移求解空間軸對(duì)稱問題時(shí)，取 為基本未知函數(shù)，它們僅為 的函數(shù)，應(yīng)滿足)(上在uS ),(wvuuus。),(zzuu ,z , 02111222fuuE。0211122zzfuzE （1）用位移表示的平衡微分方程， （3）位移邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 3.在直角坐標(biāo)系 中，按應(yīng)力求解一般的空間問題時(shí)，取 為

45、基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足),(zyxxyzxyzzyx,),(0zyxfzyxxzxyxx。 （1）區(qū)域v內(nèi)的平衡微分方程， （2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件。 （3）位移邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件 ），),)(1 ()1 (,)2(11)1 (22222zfyfzyzfyfxfxyzyzzyxx),(zyx。zyxSS ),()(zyxfnmlxSzxyxx。其中 （2）區(qū)域V內(nèi)的相容方程，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 （4）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。 4.對(duì)于常截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，可歸結(jié)為求解

46、一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 它應(yīng)滿（1）截面區(qū)域A內(nèi)的泊松方程，),(yx。GK22, 0)(S。MdxdyA2 式中K為單位長度柱體的扭角。 切應(yīng)力公式是（2）邊界條件，。xyzyzx,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 以下（三）（七）均參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)” （三）空間問題的位移勢函數(shù)和位移函數(shù) 按位移求解空間問題，也可以引用位移勢函數(shù)和位移函數(shù)，以簡化求解的方法。讀者同樣應(yīng)注意，這些人為假定的位移勢函數(shù)或位移函數(shù)，不具有普遍性，只能用來解決某些問題。但作為解決問題的思路和方法，是值得我們參考和借鑒的。 1.用位移勢函數(shù)求解空間問題假設(shè)位移u,v,w 是有勢的函數(shù)，它們可以第八章

47、第八章 空間問題的解答空間問題的解答),(1zyxxEu。),(02zyxx。)(a,2C )(b式(a)可以歸并為將上式代入用位移表示的平衡微分方程（82），若不計(jì)體力，則得分別用位移勢函數(shù)(x,y,z)的導(dǎo)數(shù)來表示，即第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 求解的方法是：（1）由 求出 勢函數(shù)；（2）由 求位移（式（86）及應(yīng)力（式（88）；, 02)78( ),(,222zyxzyxyzx。)88( 02將式（86）代入應(yīng)力公式（81），則應(yīng)力也可以用位移勢函數(shù)表示為 其中C為任意常數(shù)。若取C=0，則上式成為拉普拉斯方程， 為調(diào)和函數(shù)，即第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3

48、）使位移和應(yīng)力滿足 和 上的邊界條件。 位移勢函數(shù)的局限性是， 是人為假定的，且體積應(yīng)變 因此，它只適用于彈性體內(nèi)各點(diǎn)均無體積應(yīng)變的情形（如純剪切問題）。 2、用伽遼金位移函數(shù)求解空間問題 伽遼金假定位移可以表示為如下形式，uSS ,02第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。)(121),(121),(121222zyxxEwzyxyEvzyxxEu其中,均為x,y,z函數(shù)。由于(x,y,z)具有對(duì)等性，上式也用對(duì)等的公式表示。 將位移表達(dá)式（89）代入用位移表示的平衡微分方程(82)，若不計(jì)體力，則得 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答)108(0,0,0444。式（810）是

49、,應(yīng)滿足的方程，可見它們都是重調(diào)和函數(shù)。 應(yīng)力也可以用位移函數(shù)來表示。于是，求解空間問題的位移u,v,w就化為求解,函數(shù)的問題，它們都應(yīng)滿足重調(diào)和方程（810），并在邊界上滿足相應(yīng)的邊界條件。引用這種位移函數(shù)，其未知函第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答數(shù)的數(shù)目并沒有減少，但使它們應(yīng)滿足的方程簡化了。 力學(xué)家曾應(yīng)用上述位移勢函數(shù)和位移函數(shù)解出一些空間問題的解答，有時(shí)還采用二者組合的方式來解。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答。zEuEuz1,1)118( 。0,022z代入用位移表示的空間軸對(duì)稱問題的平衡微分方程（書中式（a），若不計(jì)體力，得 （四）空間軸對(duì)稱問題的位移勢函數(shù)和位移函數(shù) 1、對(duì)于空間軸對(duì)稱問題，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，位移分量可以用位移勢能數(shù)(,z)表