江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系專項(xiàng)練習(xí)六(新版)蘇科版

1、第一章 第3節(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系專項(xiàng)練習(xí)六六、根與系數(shù)關(guān)系綜合題 2:1 .已知關(guān)于x的一元二次方程 k ( 4k+1) x+3k+3=0 .(1) 試說(shuō)明：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；BC的長(zhǎng)為5.當(dāng) ABC是等腰三角(2) 若厶ABC的兩邊AB AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊形時(shí)，求k的值.2 .已知：關(guān)于 x的一元二次方程 x 2( mf+ 2) x+吊+仁0 (0)(1) 證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為xi, X2,(其中xi<X2).若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=X2 2xi 1,求 這個(gè)函數(shù)關(guān)系式.3.已知：關(guān)于x的一元二次方程x

2、2(2m1)x m2 m 20 .(1) 求證：不論 m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；1 1 1(2) 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1 ,x2滿足 一 1-，求m的值.x1 x2 m 224 .關(guān)于x的方程為x +(m+2)x+2m仁0.(1) 、證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2) 、是否存在實(shí)數(shù) m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出m的值及兩個(gè)實(shí)數(shù)根；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2k5 關(guān)于x的方程kx2k 2 x0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4(1 )求k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于1?若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由.b c6.如果Xi, X2是

3、一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩根，那么有 Xi+X2=- , XiX2=.這是一元二次方程根與 系數(shù)的關(guān)系，我們可以利用它來(lái)解題，例如：xi, X2是方程x2+6x-3=0的兩根，求xi2+X22的值.解法可以這樣：因?yàn)?Xi +X2=-6 , XiX2=-3 ,所以 Xi2+X22=(Xi+X2)2-2x iX2=(-6) 2- 2X( -3)=42.請(qǐng)你根據(jù)以上解法解答下題：設(shè)xi, X2是方程2x2-x-i5=0的兩根，求：1 1+的值；2(2)(x i-x 2)的值.7 .已知為、X2是關(guān)于X的方程X222 m i x m 5 0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根15(i)求實(shí)數(shù)m的取值范圍

4、已知等腰ABC的一邊長(zhǎng)為7,若Xi、X2恰好是ABC另外兩邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)&如果方程x2 + px+ q = 0的兩個(gè)根是Xi、X2,那么Xi + X2=- p, Xi x 2= q.請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：(1) 已知關(guān)于x的方程X2 + mx+ n = 0 (n豐0)，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方 程兩根的倒數(shù)；a b1 1(2) 已知 a、b 滿足 a2 15a 5= 0, b2 15b 5 = 0,求 b 日的值；(3) 已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且 a + b+ c= 0, abc = 16,求正數(shù)c的最小值.9 .已知關(guān)于 x 的方程 x2-(2

5、m+1)x+m(m+1)=0.(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2 已知方程的一個(gè)根為 x=0,求代數(shù)式(2m-1) +(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化簡(jiǎn)再求值).2 2 «.10. 已知關(guān)于x的方程x + ( 2k - 1) x+k - 1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X1, X2.(1) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2) 若 X1, X2滿足 xj+X22=16+X1X2,求實(shí)數(shù) k 的值. 211. 已知關(guān)于x的一元二次方程 x + mx +n+1=0的一根為2.(1) 用m的代數(shù)式表示n； (4分)(2) 求證：關(guān)于y的一元二次方程y2 +my+n=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

6、(5分)12 .已知關(guān)于x的一元二次方程(a - c) x2 - 2bx+ (a+c) =0,其中a、b、c分別為 ABC三邊的長(zhǎng).如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷厶ABC的形狀，并說(shuō)明理由.13.已知關(guān)于x的一元二次方程 x - 2mx+(m- 1) =0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi, X2.(1) 求m的取值范圍；(2) 當(dāng) xi2+X22=28 時(shí)，求 m 的值.2 214.已知關(guān)于X的方程X 2(k3)x k 4k 10，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:(1) 求k的取值范圍；(2) 若這個(gè)方程有一個(gè)根為 2,求k的值15 .已知關(guān)于x的一兀二次方程 x2 +ax+a - 2=0.(1)求證：不論a為何實(shí)

7、數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1 , x2，且| x-i x2 =i 13，求a的值.答案：1 111. (1)見解析 (2) 2或厲試題分析：(1)利用配方的方法將進(jìn)行配方，然后說(shuō)明0;(2)分兩種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)AB=AC是, =0，求出k的值和AB和AC的長(zhǎng)度，進(jìn)行判斷是否能構(gòu)成三角形；當(dāng)BC為腰時(shí)，將x=5代入方程求出k的值，然后求出另外兩邊的長(zhǎng)度進(jìn)行判斷是否能構(gòu)成三角形.試題解析：(1)(戟 +T) =+ 1 + 8k-12k?-12k=4； 4k+1=2k-lf >0無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.11(2)若AB=AC則方程有兩個(gè)相

8、等的實(shí)數(shù)根即"-1 '=o解得：當(dāng)k=2時(shí)，AB=AC=3此時(shí)AB AG BC滿足三邊關(guān)系.若BC=5ABC的一腰，則方程有一根是 5,1將x=5代入方程解得：k=11當(dāng)k=時(shí)，解得方程兩根為 5和3，此時(shí)AB AC BC滿足三邊關(guān)系.綜上所述：當(dāng) ABC是等腰三角形時(shí)，k的值為 或-2. (1)證明見解析；(2) y=m?-2 .試題分析：(1 )先根據(jù)判別式的值得到 =m，由于0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到厶 0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；(2)利用因式分解法得到 xi =1, X2=m+1,然后把它們代入 y=X2-2x 1-1即可.試題解析：(1)證明： =( m+

9、2)2-4 ( mf+1)=m/0,4m,> 0, > 0, 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)解：x2- (mi+2) x+m2+ 仁0 (m 0),2(x-m -1 ) (x-1 ) =0, X1=1, X2=nf+1, y=ni+1-2-12八=m-2 .3. (1)證明見解析；(2) 2.試題分析：(1)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件是>0,由厶> 0可推出m的取值范圍.1 1(2)欲求m的值，先把代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、x1 x2兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求m的值.試題解析：(1)由題意，得2 2 2b 4ac

10、(2m1)4(m m 2)=4m2 4m 14m24m 8=90不論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, x1x22m 1, x1x2 m2m 2,由丄X11 1X21得 X1X2m3m 2 '得x1x2m22m 1m 32m 1m 32 mm 2m 2 '(m 2)(m1)m 2/ m2 0 ,2m 13 解方程得m2 m_2 (舍去)m 11117 >八J1 八 J1 2 m24. (1)、見解析；、mi= 2, x= ± . 5 .試題分析：(1)、根據(jù)韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行說(shuō)明；(2)、兩根互為相反數(shù)則說(shuō)明兩個(gè)之和為0,然后求出的值，將

11、m的值代入方程求出方程的解.試題解析：(1)證明： =(m+2)2 4(2m 1)= m2 4m+8=(m- 2)2 +4/ (m - 2)2 > 0_ 2 (m- 2) +4>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.、存在實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù). 由題知：x1 +x2 = (m+2)=0解得：m=-2 將m二2代入方程可得：x2 5=0,解得:x= ± '、5 m的值為-2，方程的根為土 -、5.考點(diǎn)：根的判別式、韋達(dá)定理5. (1) k 1且k 0 ; (2)不存在，理由見解析試題分析：（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得厶0,還要保證二次項(xiàng)的系數(shù)不為 0

12、,由此列出不等式，即可求得 k的取值范圍；（2）設(shè)兩實(shí)數(shù)根為Xi, X2，由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等k值，結(jié)合（1）的結(jié)果判定即可1 1于1可得1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入求得X-Ix2試題解析:（1）由題意可得，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.k-0，即設(shè)兩實(shí)數(shù)根為k 0(k 4 k k 4k4X1 , X2 有丄丄x-ix21,即乞僅x1x2由韋達(dá)定理X1X2x1x2分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出耳十®和叫叫的值,再把要求的式子進(jìn)行通分,然后代值計(jì)算即4 k.有 k14-方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,8舍.不存在.1 1216. (1) I ; (2)115可；(2)把要求從的式子變形

13、為 時(shí)*%)"4算円,再把" 1 = 2代入進(jìn)行計(jì)算即可11S詳解： Xl+X2=k , XlX2=_ 1 .(x i-x 2) 2=(x 1+X2) 2-4xiX2= (2) 2-4X(-27. (1) m>2; (2)17試題分析：(1 )由根的判別式即可得；(2)由題意得出方程的另一根為7,將x=7代入求出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷即可得.試題解析：解：(1)由題意得厶=4 ( n+1) 2 - 4 (吊+5) =8m- 16> 0,解得：m> 2;(2)由題意，/ X1 X2時(shí)，.只能取X1=7或X2=7,即7是方程的一個(gè)根，將x=7代

14、入得：49 - 14( m+1)2+m+5=0，解得：m=4 或 m=10.當(dāng)n=4時(shí)，方程的另一個(gè)根為 3,此時(shí)三角形三邊分別為7、7、3，周長(zhǎng)為17;當(dāng)n=10時(shí)，方程的另一個(gè)根為15,此時(shí)不能構(gòu)成三角形；故三角形的周長(zhǎng)為17.2& (1) nx + mx+ 1 = 0; (2)- 47或 2; (3) c 的最小值為 4.X1+X2= m X1 X2試題分析：(1)設(shè)x2+ mx+ n = 0 (n豐0)的兩根為X1、X2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得=n,將以上兩式變形可得1111h勺和®勺，即可求出答案.(2)根據(jù)a、b滿足2 2a 15a 5=0, b 15b 5=0,

15、得出a, b是x2 15x 5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求結(jié)果；(3)根據(jù)a+b+c=0,1 1+ =0的解，再根據(jù) c2-4X>0,即可料f +-abc=16，得出 a+b=-c, ab=匚，a、b 是方程 x2+cx+® “求出c的最小值.(IJT+助m解：(1)設(shè) x + mx+ n = 0 (n 豐0)的兩根為 X1、X2. /. X1+ X2= m Xix2= n. m + ' =、'；=,11 Im I門*.-=、'.二所求一兀二次方程為x2+* x +嚴(yán)=0, 即卩 nx2+ mx+1 = 0.a(2)當(dāng)ab時(shí)，由題意知a、b是一

16、元二次方程 x 15x 5 = 0的兩根，/ a+ b= 15, ab = - 5.b /+護(hù) Mj硏一i"二2x(5a ba b+ .= 瑟 =':能= 47.當(dāng) a = b 時(shí)， +. = 1 + 1 = 2.綜上， + = 47或2.16 16 T a+ b+ c = 0, abc = 16, a + b = c, ab=-.二 a、b 是方程 x + ex += 0 的兩根， =4x1$c >0. T c>0,. c >64,. c>4,. c 的最小值為 4.點(diǎn)撥：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用

17、的解題方法本題的運(yùn)算過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜，難度也較大，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.9. (1)證明見解析；(2) 5.試題分析：(1)找出a, b及c,表示出根的判別式，變形后得到其值大于0，即可得證.(2)把x=0代入方程即可求 m的值，然后化簡(jiǎn)代數(shù)式再將m的值代入所求的代數(shù)式并求值即可.試題解析：(1 )關(guān)于x的一元二次方程 x2- (2m+1 x+m(m+1 =0.2 = ( 2m+1 -4m ( m+1 =1 > 0,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) T x=0是此方程的一個(gè)根，把x=0代入方程中得到 m(m+1 =0, m=0或 m=-1,2 2 2 2T( 2m-1)

18、+ (3+m) (3-m ) +7m-5=4m-4m+1+9-m+7m-5=3m+3m+5,把 m=0代入 3ni+3m+5得：3ni+3m+5=522把 m=-1 代入 3m+3m+5得：3m+3m+5=3<1 -3+5=5 .510. (1) k w ;(2)-2.試題分析：(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出 =-4k+5>0,解之即可得出實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得X1+X2=1- 2k、X1X2=k2-1,將其代入x/+X22=( X1+X2)2 -2X1X2=16+X1X2中，解之即可得出 k的值.試題解析：(1 )關(guān)于x的方程x2+ (2k -

19、 1) x+k2- 1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X1, X2,22 = ( 2k - 1)- 4 ( k - 1) =-4k+5> 0,解得：k<,5實(shí)數(shù)k的取值范圍為kw燭(2)v關(guān)于x的方程x+ (2k - 1) x+k - 1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi, X2,2 2 2 2xi+X2=1 2k, xiX2=k - 1.Txi+X2= (X1+X2) - 2xiX2=16+xiX2,2 2 22( i - 2k)- 2 x( k - i) =i6+ ( k - i),即 k - 4k - i2=0,解得：k= - 2或k=6 (不符合題意，舍去).實(shí)數(shù)k的值為-2.11. (i ) n=-

20、2m-5 ; (2)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由略試題分析：(i )把x=2代入方程，然后化簡(jiǎn)得到的等式即可；(2)根據(jù)條件證明方程判別式大于0即可.試題解析：(i )把 x=2 代入方程得：4+2m+n+i=0,. 2m+n+5=0,. n=-2m-5,2 2 2 2(2)b 4ac m 4n m 8m 20 m 4+4 4>0,方程y2 +my+ n=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根12. A ABC為直角三角形.試題分析：由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得4b2-4 (a+c) (a- c) =0,然后整理可得到 b2+c2=a2,從而 ABC為直角三角形.解：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，2 2 b

21、 - 4ac=0 ,即 4b - 4 (a+c) ( a- c) =0,b2+c2=a2,.A ABC 為直角三角形.點(diǎn)撥：本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (0)的根的判別式 =b2- 4ac：當(dāng)？>0時(shí)，一元二次 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) ？=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) ？<0時(shí)，一元二次方 程沒(méi)有實(shí)數(shù)根113. (1) m>丄;(2)符合條件的m的值為3.2試題分析：(1)若一元二次方程有兩個(gè)等實(shí)數(shù)根，則根的判別式厶=b2-4ac>0,建立關(guān)于 m的不等式，即可求出 m的取值范圍；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x計(jì)X2=2m, xix2=(m- 1)，再根據(jù)xi +X2 = (X1+X2) -2x i x 2即可求得m的值，結(jié)合(1)即可確定出 m的具體值試題解析：(1 )原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，2 2 = (- 2m) - 4 ( m- 1) >0, 整理得：2m-1> 0,1解得：22 2(2)Vx i +X2=28,2/( X1+X2)- 2xi?X2=28,'/x i+X2=2m, Xi X2=