初中數學九年級下冊《圓的對稱性》教案設計

1、課題： 第三章第 2 節(jié)圓的對稱性（1）課型： 新授課教學目標：1.懂得圓的對稱性（軸對稱）及有關性質.（重點） 2懂得垂徑定理及推論，并會運用其解決有關問題難點 教法與學法指導：這節(jié)課主要通過“找圓心”等問題情境激發(fā)同學探究的愛好和熱忱，經受“操作實踐大膽推測 - 綜合證明 - 敏捷應用”的課堂模式，在探究垂徑定理過程中，讓同學領悟數學的嚴謹性，并培育同學的數學應用意識，勇于探究的精神.課前預備： 制作課件，同學預習學案.教學過程：一、情形導入明確目標組織教學 ：預備，給每一位同學發(fā)放圓形紙片（用化學濾紙） ；并提出問題， 問題 1 通過上節(jié)課 車輪為什么是圓形 的學習， 熟悉了圓的基本概念

2、 , 這是一張圓形紙片 , 你有什么方法找出它的圓心呢？同學活動：同學憑借體會很簡單想到用兩次折疊的方法，找到圓心. 師：同學們上一節(jié)課,我們學習了圓的基本概念，知道， 半徑定圓的大小，圓心定圓的位置.下面，請一位同學到前面演示自己找圓心的過程.同學演示： 師 ：（問題 2） 在折疊的過程中，你從中仍知道圓具有什么性質. 生 1 ：老師，圓是對稱圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形. 師 ：很好，同學們觀看的很仔細，這節(jié)課，我們重點爭論圓的軸對稱性，那么，圓的對稱軸是怎樣的直線，有多少條對稱軸？ 生 2 ：老師，圓的對稱軸是直徑，它有很多條對稱軸. 師 ：同學們，這位同學回答的對嗎？ 生 3

3、 ：不正確，對稱軸應當是直線，而直徑是線段，應當說，對稱軸是直徑所在的直線，或者是過圓心的直線.老師活動 ：進行勉勵夸獎并板書，3.2圓的對稱性（ 1）圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線.設計意圖： 問題可以激發(fā)同學學習數學的愛好，而愛好又是最好的老師 . 通過設計一連串的問題情境簡單引發(fā)同學學習和探究的愛好，在動手操作中既復習圓的意義，又探究到圓的對稱性.二、自主學習合作探究：探究活動一 ： 圓的基本概念（讓同學留意觀看動畫課件）mabdocoofe學案 問題 3 ：（1）什么是弦？什么是??？如何區(qū)分？怎么表示？（2）弧與弦分別可以分成幾類？它們如何區(qū)分？ 學情預設：

4、可能顯現的情形一：同學看書后能懂得弦、弧、優(yōu)弧、劣弧及半圓的意義，但是難以區(qū)分異同，如：弦是線段，弧是曲線段；直徑是弦，但弦不肯定是直徑；半圓是弧，但弧不肯定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧情形二：同學寫出的弧可能重復或遺漏，不能把握“優(yōu)弧與劣弧成對顯現”的規(guī)律.情形三：優(yōu)弧的表示方法.以上如同學不能爭論總結得出，就需要老師引導得出結論.同學活動：同學在預習的前提下邊觀看圖形演示邊獨立摸索，再在四人小組間溝通爭論.老師活動：參加同學的爭論，留意收集信息，以便準時補充，然后提問. 生 1 ：1 連接圓上任意兩點的線段叫做弦經過圓心的弦叫直徑.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧 ; 直徑的兩個

5、端點把圓分成兩個部分，每一部分叫做半圓 . 大于半圓弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧. 生 2 ：弦是線段，弧是曲線段. 弧的表示方法是在兩個端點上面添加“符號. 生 3 ：弦分為過圓心的和不過圓心的弦；弧分為劣弧、半圓、優(yōu)弧. 師 同學們總結的很好，下面，結合圖形加深熟悉，并摸索，你仍可以得出什么性質.mabdocoofe劣弧 ab ab半圓 cd優(yōu)弧 abamb老師活動 ：引導同學，能不能從它們之間的相互關系來比較說明. 生 4 ：直徑是弦，但弦不肯定是直徑；半圓是弧，但弧不肯定是半圓；半圓既不是劣弧， 也不是優(yōu)弧 . 生 5 ：直徑是圓中最大的弦.同學活動 : 整理好筆記 .設計意圖： 讓

6、同學帶著問題探究，加強自主探究的針對性，激發(fā)摸索與溝通，從而真正把握它們的本質與異同，學會辨證統(tǒng)一、 分類爭論地解決問題， 提高課堂效率.探究活動二 ： 垂徑定理（問題 4）（1）剛才折出的兩條直徑是怎樣的位置關系？圖中能得出哪些等量關系？（2）如把 ab向上平移到任意位置，成了不是直徑的弦，折疊后猜想： 仍有與剛才類似的結論嗎？有哪些方法證明你的猜想正確與否？（3）摸索：上述探究過程利用了圓的什么性質？仍運用了哪些學問？如只證明am =bm ，仍有什么方法？（4）把上述發(fā)覺歸納成文字語言和幾何語言.同學活動： 拿出圓形紙片, 將其對折，得到一條折痕cd,在 cd 上取一點m，作 cd的垂線

7、ab,然后再將圓沿cd對折，觀看，得出結論. 生 1 ：垂直關系；相等的量有，am =bm ,ac =bc,ad =bd因 為 圓 沿 直 線cd 對折后，點a 與 b 重合 . 生 2 ： 如只證明am =bm ，仍可以用等腰三角形“三線合一”.證明：連接oa, ob 就 oa=ob又 cd ab am =bm , cd 是線段 ab 的垂直平分線點 a 和點 b 關于直線 cd 對稱cambodac =bc,ad =bd教 師活動 : 引導同學總結并板書文字語言和幾何語言：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的（兩條）弧c如圖，在 o中，即amb cd 是 直徑 am =bm

8、 ，o cd ab 于 mad=bdac=bcd設計意圖： 用運動變化的觀點體會從特別到一般爭論問題的方法，在折疊中領悟定理的證明思路，突出重點、突破難點，培育同學的規(guī)律思維才能，提高同學的概括、總結的語言表達才能.探究活動三 ： 垂徑定理的推論議一議： 問題 5 同學們，假如把“垂徑定理”中的條件“垂直于弦”與結論“平分于弦”互換，即：，結論是否仍成立？假如成立，請你說明理由；不成立，請舉反例.學情預設：大多數同學會仿照定理畫圖、折疊、推理后認為是成立的，可能有個別同學會持反對看法，引起一番有意義的爭論，老師可以適時地引導. 當 ab 與 cd 是 o的直徑時，相互平分，但不肯定垂直！只有當

9、弦ab 不是直徑時，結論才會成立. 生 1 ： 成立 .camb od oa=ob, am =bm , cd ab 三線合一 cbac =bc,ad =bdm o生2 ：不肯定成立，如圖，當ab 是直a徑時，dcd 平分 ab，但不垂直ab. 只有 ab 不是直徑時，才成立. 師 ： 同學們爭論的特別好，做數學就是要求我們思維要嚴謹，留意，條件與圖形的統(tǒng)一及多樣性，多畫圖，多分析，多總結. 那么這個推論我們應當怎么說？在同學的歸納中，板書.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（問題 6）假如我們連續(xù)交換條件是否能夠、？同學活動：實行折疊- 重合 - 得出結

10、論成立 .師生共同歸納總結：由“直徑、垂直于弦、平分弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧”，其中兩個作條件推出另三個結論.設計意圖： 對教材學問進行適當的變式和拓展，讓同學能舉一反三，發(fā)散同學的思維，讓不同層次的同學得到不同的進展，并體驗數學的嚴謹性和探究的樂趣，感受合作溝通的重要性 .（問題 7）例題分析例 1：如右圖所示，一條大路的轉彎處是一段圓弧 即圖中弧cd ，點 o 是弧 cd 的圓心 ，其中cd =600m， e 為弧 cd 上一點，且 oecd ，垂足為 f ， ef =90 m求這段彎路的半徑同學活動：觀看示意圖，分析題目的已知和要求的結果，尋求相互關系，然后嘗試獨立解答，在與小組其他同學溝

11、通，確定解題思路 .老師活動 : 與個別同學溝通解題思想方法，讓其上黑板板演過程，并說明為什么這樣解答. 生 ：解：連接oc，設彎路的半徑是r，就 of = r-90m oe cd cf =cd /2=300m（垂徑定理） 由勾股定理得oc2=cf 2+of2即 r2=3002+ r-90 2解得 r=545所以，彎路的半徑是545m.設計意圖 : 讓同學在實踐中懂得垂徑定理應用，在四個量半徑 r、弦 cd 的長、弦心距 of 長、弓形高 ef 的長中， 任已知兩個量可以求出另兩個量 . 一題多變， 多題歸一，探尋規(guī)律，構造直角三角形后通過勾股定理求解，從題海中解脫出來，并培育同學的數學應用意

12、識，體會數學與生活的聯(lián)系.三、歸納總結，拓展提高 師 ：同學們，我們本節(jié)課學習了垂徑定理及推論，懂得了與圓有關的應用，你有收成，或者是疑慮問題，溝通一下.同學活動：有獨立摸索，落筆組織語言的，也有相互爭論，溝通總結的觀點的，氣氛相當熱烈，各抒己見 . 生：老師，如圖，oc ab，可不行以使用垂徑定理. 師 ：可以，這條線（或線段）過圓心，就可以作為直徑使用， 同時，過圓心作弦的垂線是今后解答圓的問題的常用幫助線，在以后的學習中，留意體會和總結.camb o設計意圖 :用問題形式引導同學回憶總結學習過程，使學問系統(tǒng)化，學會提煉其 中包蘊的數學思想方法， 且能夠敏捷應用； 學會自我反思， 養(yǎng)成良好

13、的數學學習習慣.課堂檢測 :1.已知 o 的半徑為5，弦 ab 的長為 6 ，就這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為 .考察學問點：懂得垂徑定理的意義，會構造符合定理的基本圖形，來解決問題.答案提示：解：過 o 點作 ab 的垂線，垂足是d，且與弧 ab 交于點 c, 連接 oa,oc abd 是 ab 的中點， c 是弧 ab 的中點，22 od=5 - 3 =4dc =5-4=1所以，這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為1cadb o2.兩個同心圓中，大圓的弦ab 交小圓于c、d，如 ab=4 ， cd=2 ，圓心到ab 的距離為l ，就大圓的與小圓的半徑之比為 .考察學問點：懂得垂徑定理

14、的使用，加深熟悉幫助線“弦心距和半徑”常常是成對構造的，以便構造直角三角形，解決問題.答案提示：解： oaoc2212512122acedbo就大圓的與小圓的半徑之比為510223. 儲油罐的截面如下列圖，裝入一些油后，如油面寬ab=600mm ，求油的最大深度考察學問點： 主要是檢測垂徑定理在生活中的應用，解決此類問題的關鍵是畫出示意圖 ， 轉化為數學問題解答 .答案提示： 由垂徑定理知， oc32523002125mmc油最大深度 =325-125=200 （ mm）adb4已知：如圖，o 中，ab 為 弦， c 為 ab 的中點， oc 交 ab 于d， ab = 6cm，cd = 1c

15、m.求 o 的半徑 oa.o考察學問點： 數學方法的綜合應用， 主要是方程學問與圖形解答的結合 .c答案提示：ab解：設 o的半徑為 rd在直角三角形 aod中，o222adodoa所以， 32r1 2r 2 r =5cm oa=5cm學情預設： 部分同學可以當堂完成，老師，當堂批改，準時知道同學的解答情形；部分同學需要老師的引導，才能完成解答.老師活動： 通過檢查， 關鍵看同學的圖形構造，是否能夠利用半徑和弦心距構造出直角三角形，運用勾股定懂得決問題.設計意圖： 通過例題的分析學習，讓同學體會數學學習要善于構造圖形，解決問題; 進一步懂得， 為了應用條件和已有的性質定理，需要添加幫助線來完善圖形，從而培育同學良好的學習習慣.板書設計：3.2 圓的對稱性（ 1）一、圓的對稱性二、垂徑定理三、垂徑定理的推論及應用圓是軸對稱圖形，垂直于弦的直徑平分這條弦例題解答對稱軸是任意一條過并且平分弦所對的（兩條）弧圓心的直線，教學反思：圓的對稱性是一節(jié)操作性較強的課，所以，我在教學中第一創(chuàng)設“找圓心”情境，讓同學感到新奇、好玩同時又留意了垂徑定理及推論的發(fā)生、進展和應用過程的教學；再以連貫的