高二數(shù)學(xué)必修4(B版)_求三角函數(shù)最值的方法

1、1 / 5求三角函數(shù)最值的方法三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問(wèn)題。這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)， 不易讓學(xué)生掌握， 它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。 求函數(shù)的最值是歷屆高考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)之一，以三角函數(shù)為載體的問(wèn)題已成為高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。一、一角一次一函數(shù)形式在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的內(nèi)容以后可以知道，要求關(guān)于三角函數(shù)最值只能轉(zhuǎn)化到bxay)sin(或者bxaybxay)tan(,)cos(這種形式才可以求其最值，我把這種形式稱(chēng)為“一角一次一函數(shù)形式”。例1：求xxycos3sin的最值。解：)cos23sin21(2cos3sinxxxxy)3sincos3c

2、os(sin2xx)3sin(2x當(dāng)kx223即zkkx,26時(shí)，2maxy當(dāng)kx223即zkkx,265時(shí)，2maxy變式1：再加上2,0 x是，結(jié)果如何？在化到 y)3sin(2x時(shí)，32,66,2,0 xx1 ,21)3sin(x，2, 1y. 變式2: 求函數(shù)xxxxycossincossin，12,12x的最值 . 解：)4tan(1tan1tanxxxy，3,64,12,12xx2 / 5當(dāng)12x時(shí)，33miny；當(dāng)12x時(shí)，3maxy. 變式3：4sin2323cossin41)(222xxxxf，3,4x， 求)(xf的最大值與最小值 . 解：（先觀察角之間的關(guān)系，最好能轉(zhuǎn)化為

3、同角，然后看同角是三角函數(shù)的次數(shù)，在化為同一個(gè)函數(shù)名）2)22cos(123232cos41)(xxxfxx2cos412sin4383)62sin(2183x.65,3262,3,4xx當(dāng)4x時(shí)，.83)(minxf當(dāng)3x時(shí)，.823)(maxxf在這個(gè)解題過(guò)程中， 運(yùn)用到了轉(zhuǎn)化思想， 化歸到我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)中去，通過(guò)一些倍角公式，與同角合并公式)sin(cossin22xbaxbxa, )(tanab的轉(zhuǎn)化，把它轉(zhuǎn)化到 “一角一次一函數(shù)形式”，此時(shí)對(duì)于同一個(gè)角度是同次的。所以說(shuō)把xbxaycossin化成)sin(xay的形式是解決問(wèn)題普遍方法二、一角二次一函數(shù)形式當(dāng)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為

4、“一角一次一函數(shù)形式”有困難的時(shí)候，該如何呢？例2 求函數(shù)472cossincos2xxxy的最值 . 分析：先觀察這個(gè)解析式可知， 對(duì)于同一個(gè)角而言， 不是同次時(shí)轉(zhuǎn)化不到 “一角一次一函數(shù)形式” 時(shí)，肯定對(duì)同角而言是一次與二次的，所以有可能化歸到二3 / 5次函數(shù)去。解：471cos2cos1cos22xxxy47coscos2xx221cos2x41,2minmaxyy變式1：求2cos2sinxxy的最值 . 解：4)cos(sin2cossinxxxxy4)4sin(222sin21xx4)4sin(2222cos21xx4)4sin(22)4(sin21212xx27)4sin(22

5、)4(sin2xx232)4sin(2x當(dāng)1)4sin(x即zkkx,24時(shí)，2229miny，當(dāng)1)4sin(x即zkkx,243時(shí)，2229miny. 此題這樣做在思考上有一定的困難，但是我們可以思考到xxcossin與xxcossin是有關(guān)聯(lián)的，xxxxcossin1cossin2，由此可設(shè)xxtcossin)4sin(2x2,2，232212722122ttty，由此化歸到了一元二次函數(shù)，比上面的思維應(yīng)該簡(jiǎn)單一點(diǎn)。 所以以后見(jiàn)到xxcossin與xx cossin同時(shí)出現(xiàn)時(shí)， 借助它們之間的聯(lián)系用 換元法 。利用一些三角公式進(jìn)行變量替換，是求三角最值的一種常用技巧。對(duì)同一個(gè)角，有一次，

6、兩次出現(xiàn)，一般都可以轉(zhuǎn)化到“一角二次一函數(shù)形式 ” 。三、利用有界性（1sin1，1cos1）三角函數(shù)中還有很多最值問(wèn)題并不可以有上面兩種方法解決，就有下面的例題來(lái)展示：4 / 5例3 求函數(shù)2sinsin3xxy的值域 . 分析：不能轉(zhuǎn)化到“一角一次一函數(shù)”與“一角二次一函數(shù)”這兩種形式，但與我們以前所學(xué)的求11xxy的最值，聯(lián)系比較密切，借助分離變量或者說(shuō)是反表示解決這一題目。解：2sinsin3xxy32sinyyx，因?yàn)?sin1x, 所以1321yy. 由此可得333y，函數(shù)的值域?yàn)?3,3. 解二：2sin3232sin3xxy2sin323x，1sin1x32sin1x3322s

7、in3232xy33,3（用變量分離的方法更簡(jiǎn)便）變式1：求函數(shù)2sincos3xxy的值域 . 解：由題意得yxxy2cos3sin，所以為其中(2)sin(32yxy)輔助角，32)sin(2yyx，1sin1x13212yy11y解得：所以函數(shù)的值域?yàn)? , 1. 解二：（此題還可以與幾何圖形相聯(lián)系）由題意得)2(sin0cos2sincos3xxxxy設(shè)點(diǎn))0,2(),cos,(sinqxxp， 則)2(sin0cosxx可以看成是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)p與點(diǎn) q 連線(xiàn)的斜率，有圖象可得331k，332kx q o p2 p1 y 5 / 533333y11y這個(gè)代數(shù)問(wèn)題通過(guò)解析幾何解決了，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。這些過(guò)程中主要是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要會(huì)與以前所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，把新的問(wèn)題化歸或轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)中去。這就要求要把知識(shí)的傳授和能力的培養(yǎng)相結(jié)合， 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)， 而學(xué)生們一旦掌握了一種新的數(shù)學(xué)思想和方法，思維就提高到一個(gè)新的層次，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力就有較大的提高，因?yàn)椤皵?shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”。在這個(gè)求三角函數(shù)最值基本的過(guò)程中，讓