高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面向量第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案理(含解析)蘇教版-蘇教版高三全冊(cè)

1、. .專心 . 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和 b，作oaa，obb，則aob就是 a與 b 的夾角設(shè)是 a 與 b 的夾角，則的取值范圍是 01800或180? ab， 90? a b 2. 平面向量的數(shù)量積設(shè)兩個(gè)非零向量a， b 的夾角為， 則數(shù)量 |a|b|cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記作 a b. 3向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a bb a. (2)(a) b(a b)a (b) (3)(a b) cacbc. 4平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，a 與 b 的夾角為. 結(jié)論幾何表示坐

2、標(biāo)表示模|a| aa|a| x21y21夾角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22ab 的充要條件ab0 x1x2y1y20 |a b| 與|a|b|的關(guān)系|a b| |a|b|x1x2y1y2| x21y21x22y22. .專心 . 小題體驗(yàn) 1已知 |a| 2，|b| 6，a b 63，則 a 與 b 的夾角為_答案：562已知向量a( 1,3) ，b(1 ，t) ，若 (a2b) a，則 |b| _. 解析：因?yàn)閍( 1,3) ，b(1，t) ，所以 a2b( 3,3 2t) 因?yàn)?(a2b) a，所以(a 2b) a0，即 ( 1)( 3)3(3 2t

3、) 0，即t2，所以b (1,2) ，所以 |b| 12225. 答案：5 3已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為3，若向量b1 e1 2e2，b23e14e2，則 b1b2_. 解析：由b1e12e2，b23e14e2，得b1b2(e12e2) (3 e14e2) 3e212e1e28e22. 因?yàn)?e1，e2為單位向量， e1， e23，所以 b1 b232128 6. 答案： 6 1數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a bac(a 0) 不能得出b c，兩邊不能約去一個(gè)向量2 兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有 ab0， 反之不成立； 兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有 ab0，反之不成立3ab0 不能推

4、出a0 或 b0，因?yàn)?ab0 時(shí)，有可能ab. 4在用 |a| a2求向量的模時(shí)，一定要把求出的a2再進(jìn)行開方 小題糾偏 1給出下列說法：向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量；若 ab 0，則 a 和 b 的夾角為銳角，若ab0，則 a 和 b 的夾角為鈍角；(a b)c a(b c) ；若 ab 0，則 a 0 或 b 0. . .專心 . 其中正確的說法有_個(gè)答案： 0 2已知向量ba 12，32，bc32，12，則abc_. 解析：因?yàn)閎a12，32，bc32，12，所以babc343432. 所以 cosabcbabc| ba|bc |32，又 0abc180，所以abc30.答

5、案： 303已知平面向量a 與 b 的夾角為3，a(1 ，3) ，|a 2b| 23，則 |b| _. 解析：因?yàn)閍(1，3) ，所以 |a| 2，又 |a 2b| 23，即 |a|24ab4|b|212，故 2242|b| cos 34|b|212，化簡(jiǎn)得 |b|2|b| 20，所以 |b| 2. 答案： 2 考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透 題組練透 1設(shè) a(1 ， 2) ，b( 3,4) ，c(3,2) ，則 (a 2b) c_. 解析：因?yàn)閍2b (1 ， 2) 2( 3,4) ( 5,6) ，所以 (a2b) c( 5,6) (3,2) 3. 答案： 3 2(20

6、18南京高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研) 在abc中，ab3，ac2，bac120，bm bc . 若ambc173，則實(shí)數(shù)_. 解析：因?yàn)閎cac ab，amabbmab bcab(acab)(1 )ab ac，abac 23cos 120 3. 所以ambc(1)ab2 ac2(1 2)ab ac19 12173，所以13. . .專心 . 答案：133已知向量a 與 b 的夾角為60，且 a( 2，6) ，|b| 10，則 ab _. 解析：因?yàn)閍( 2， 6) ，所以 |a| 2262 210，又|b| 10，向量 a 與 b 的夾角為 60，所以 ab |a| |b| cos 60 2101012

7、10. 答案： 10 4如圖，在等腰直角三角形abc中，c90，ac2，d為bc的中點(diǎn)，則ab ad _. 解析：法一：由題意知，acbc2，ab22，所以abadab(accd)ab acab cd |ab| |ac|cos 45 |ab| |cd |cos 45 22222221226. 法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得a(0,2) ，b( 2,0) ，d( 1,0) ，所以ab( 2,0) (0,2) ( 2，2) ，ad (1,0) (0,2) ( 1， 2) ，所以abad2( 1) ( 2)( 2)6. 答案： 6 謹(jǐn)記通法 向量數(shù)量積的2 種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題

8、型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可適用于平面圖形中的向量數(shù)量積. .專心 . 利 用 定 義 法 求 解 ， 即a b |a | | b|cos 的有關(guān)計(jì)算問題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解， 即若 a(x1，y1) ，b (x2，y2) ，則 abx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題點(diǎn)多變型考點(diǎn)多角探明 鎖定考向 平面向量的夾角與模的問題是高考中的常考內(nèi)容，題型多為填空題常見的命題角度有：(1) 平面向量的模；(2) 平面向量的夾角；(3) 平面向量的垂直 題點(diǎn)全練 角度一：平面向量的模1(2018蘇州高三暑假測(cè)試) 已知平

9、面向量a(2,1)，ab10，若 |a b| 52，則|b| _. 解析：因?yàn)閍 (2,1) ，所以 |a| 5，又 |a b| 52，所以a22abb250，所以 b225，所以 |b| 5. 答案： 5 角度二：平面向量的夾角2(2018太湖高級(jí)中學(xué)檢測(cè)) 已知 |a| 1，|b| 2，且 a(ab) ，則向量 a 與向量b 的夾角為 _解析：因?yàn)閍(a b) ，所以 a(ab)a2 ab12cosa，b 0，所以 cosa，b22，所以a，b4. 答案：4. .專心 . 3(2019啟東中學(xué)檢測(cè)) 已知平面向量， 滿足| | 1，且 與 的夾角為 120，則 的模的取值范圍是_解析：如圖

10、，在abc中，設(shè)bc，ba，則acbcba.因?yàn)?與 的夾角為120，所以a60.由正弦定理得bcsin abasin c，則ba233sin c又 0sin c1，所以 0ba233，故 的模的取值范圍是0，233. 答案：0，233角度三：平面向量的垂直4在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量ab(6,1)，bc(x，y) ，cd( 2，3)，且adbc. (1) 求x與y之間的關(guān)系式；(2) 若acbd，求四邊形abcd的面積解： (1) 由題意得adabbccd (x4，y2) ，bc(x，y)因?yàn)閍d bc，所以 (x4)y(y2)x0，即x2y0. (2) 由題意得ac abbc(x

11、6，y1) ，bdbc cd(x2，y 3)因?yàn)閍c bd，所以 (x6)(x2) (y1)(y3) 0，即x2y24x2y150，聯(lián)立x2y0，x2y24x2y150，解得x2，y 1或x 6，y3.當(dāng)x2，y 1時(shí)，ac(8,0) ，bd(0 ， 4) ，. .專心 . s四邊形 abcd12acbd16；當(dāng)x 6，y3時(shí)，ac(0,4)，bd ( 8,0) ，s四邊形 abcd12acbd16. 所以四邊形abcd的面積為16. 通法在握 平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1) 求兩向量的夾角：cos a b| a | | b|，要注意0 ， (2) 求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理

12、方法有：a2aa|a|2或 |a| aa. |a b| ab 2a 22abb 2. 若 a(x，y)，則 |a| x2y2. (3) 兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：ab? ab0? |a b| |ab|. 演練沖關(guān) 1(2019海安模擬) 已知平面向量a 與 b 的夾角等于3，若 |a| 2，|b| 3，則 |2a3b| _. 解析：由題意可得ab|a | | b|cos 33，所以 |2a 3b| 2a3b24|a|29|b|212ab16813661. 答案：61 2 已知向量 a， b滿足 a (4， 3) ， |b| 1， |a b| 21， 則向量 a， b的夾角為

13、 _解析：易知 |b| 1， |a| 5，對(duì)|a b| 21兩邊平方，整理得2ab5，即 2|a|b|cos 5，解得 cos 12，則向量 a，b 的夾角為3. . .專心 . 答案：33 已知向量ab與ac的夾角為 120，且|ab | 3， |ac | 2. 若apabac，且ap bc ，則實(shí)數(shù)的值為 _解析：bc acab，由于apbc，所以ap bc0，即( abac) (acab ) ab 2ac 2(1)abac 94 (1)32120，解得712. 答案：712考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研 典例引領(lǐng) (2018啟東高三期中) 已知向量a(sin x,2

14、)，b(cos x，1) ，函數(shù)f(x) ab. (1) 若 ab，求 tanx4的值；(2) 求函數(shù)yf x12，x 0，2的最小值和最大值解： (1) 由 ab，得 sin x2cos x所以 tan x2. 所以 tanx4tan x11 tan x 3. (2) 因?yàn)閒(x) absin xcos x212sin 2x2，所以yf x1212sin2x62. 因?yàn)閤0，2，所以 2x66，56，從而12sin2x61. .專心 . 于是，當(dāng) 2x66，即x0 時(shí)，函數(shù)yf x12有最小值74，當(dāng) 2x62，即x3時(shí)，函數(shù)yf x12有最大值52. 由題悟法 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題

15、的解題思路(1) 題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2) 給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求值域等 即時(shí)應(yīng)用 已知向量m (3cos x， 1) ，n (sin x，cos2x)(1) 當(dāng)x3時(shí)，求 m n 的值；(2) 若x 0，4，且 m n3312，求 cos 2x的值解： (1) 當(dāng)x3時(shí)， m 32， 1 ，n32，14，所以 m n341412. (2)m n3cos xsin xcos2x32sin 2x12co

16、s 2x12sin2x612. 若 m n3312，則 sin2x6123312，即 sin2x633. 因?yàn)閤 0，4，所以62x63，所以 cos 2x663，則 cos 2xcos2x66cos 2x6cos6 sin2x6sin66332. .專心 . 33123236. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019海門模擬) 向量 a(3,4) 在向量 b(1 ， 1)方向上的投影為_解析：向量a(3,4)，b(1 ， 1) ，向量 a 在向量 b 方向上的投影為|a|cos ab| b|314112 1222. 答案：222(2018江蘇百校聯(lián)盟聯(lián)考) 已知平面向量a，b 的夾角為2

17、3，且 a(ab)8，|a|2，則 |b| _. 解析：因?yàn)閍(a b) 8，所以 aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以 42|b | 128，解得 |b| 4. 答案： 4 3(2018蘇州期末) 已知 a(m,2)，b(1 ，n) ，m0，n 0，且 |a| 4，|b| 2，則向量 a 與 b 的夾角是 _解析：設(shè)向量a 與 b 的夾角是，0 ， ，a(m,2) ， b(1 ，n) ，m 0，n0，且 |a| 4，|b| 2，m2416,1 n24，解得m23，n3. abm2n4342cos ，cos 32，則向量a 與 b 的夾角是6. 答案：64 (2018濱海期末

18、) 已知向量a ( 1,3) ， b(3，t) ， 若 ab， 則|2a b| _. 解析：向量a( 1,3) ， b(3，t) ，ab，ab 33t0，解得t1，. .專心 . b(3,1) ， 2ab (1,7) ，故|2a b| 1 4952. 答案： 52 5(2018淮安高三期中) 在平行四邊形abcd中，ab2，ad1，abc60，則ab ac _. 解析：由題意得acab ad，所以abacab (ab ad) ab2ab ad 421cos 120 3. 答案： 3 6(2018南通一調(diào)) 已知邊長(zhǎng)為6 的正三角形abc，bd12bc，ae13ac ，ad與be交于點(diǎn)p，則pb

19、pd的值為 _解析：如圖，以d為原點(diǎn)，以bc為x軸，ad為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則b( 3,0) ，c(3,0) ，d(0,0) ，a(0，33) ，e(1, 23) ，p0，332，所以pbpd|pd|23322274. 答案：274二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018淮安調(diào)研) 已知向量a(1 ，x) ，b( 1，x) ，若 2ab 與 b 垂直，則 |a|_. 解析：由已知得2ab(3 ，x) ，而 (2a b) b 0? 3x20?x23，所以 |a| 1x242. 答案： 2 2(2019如皋模擬) 已知平面向量a 與 b 的夾角為60， a (3,4) ，|b| 1，則

20、|a2b| _. 解析： a(3,4) ， |a| 32425，又|b| 1， ab |a | | b|cos 60 511252，|a 2b|2a24b24ab2541019，則|a 2b| 19. . .專心 . 答案：19 3(2018蘇北四市期末) 已知非零向量a，b 滿足 |a| |b| |a b| ，則 a 與 2ab夾角的余弦值為_解析：因?yàn)榉橇阆蛄縜，b 滿足 |a| |b| |a b| ，所以 a2b2a22a bb2，ab12a212b2， 所以 a(2 a b) 2a2ab52a2， |2a b| 2a b25a24 a b7|a| ，cosa,2a ba2ab|a |

21、|2 ab|52a2|a| 7|a|5275714. 答案：57144(2018泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)矩形abcd中，p為矩形abcd所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足pa3，pc4，矩形對(duì)角線ac6，則pbpd_. 解析：由題意可得pbpd (paab) (paad) pa2paadab pa abad9pa(adab) 09paac 936cos( pac) 918pa2ac2pc22paac91893616236112. 答案：1125(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研) 已知菱形abcd邊長(zhǎng)為 2，b3，點(diǎn)p滿足ap ab， r，若bdcp 3，則_. 解析：法一：由題意可得ba bc 22cos 32，bd

22、 cp(babc ) (bpbc ) (ba bc) (apab) bc (ba bc) (1)abbc (1 )ba2babc (1)ba bcbc2(1 ) 4 22(1 ) 4 6 3，. .專心 . 所以12. 法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則b(2,0) ，c(1，3) ，d( 1，3) 令p(x,0) ，由bdcp( 3，3) (x1，3) 3x33 3x 3 得x1. 因?yàn)閍p ab，所以12. 答案：126(2018蘇北四市調(diào)研) 如圖，在平面四邊形abcd中，o為bd的中點(diǎn)，且oa3，oc5. 若abad 7，則bcdc_. 解析：bcdc (ocob) (ocod )

23、 (oc od) (ocod) oc2od 2，同理，abadao 2od 2 7，所以bcdcoc2od2oc2ao 279. 答案： 9 7(2019崇川一模) 若非零向量a 與 b 滿足 |a| |a b| 2，|b| 1，則向量 a 與 b夾角的余弦值為_解析：非零向量a 與 b 滿足 |a| |a b| 2，|b| 1，|a|2|a b|2|a|2|b|22ab，即 ab12|b|2121212，設(shè) a 與 b 的夾角為，則 cos ab|a|b|122114，向量 a 與 b 夾角的余弦值為14. 答案：148(2018鹽城期中) 如圖，在四邊形abcd中，a3，ab2，ad3，.

24、 .專心 . 分別延長(zhǎng)cb，cd至點(diǎn)e，f，使得ce cb ，cf cd ，其中 0，若efad15，則的值為 _解析：efcfce cd cb bd(adab) ，efad(adab) ad (ad2abad) (93) 15，52. 答案：529(2019通州調(diào)研) 設(shè)兩個(gè)向量a，b 不共線(1) 若ab ab，bc2a 8b，cd3(a b)，求證：a，b，d三點(diǎn)共線；(2) 若|a| 2，|b| 3，a，b 的夾角為60，求使向量kab 與 akb 垂直的實(shí)數(shù)k的值解： (1) 證明：adabbccd (a b) (2a 8b) 3(a b) 6(a b) 6ab ，ad與ab共線，且

25、有公共點(diǎn)a，a，b，d三點(diǎn)共線(2) kab 與 akb 垂直，(ka b) (akb) 0，ka2(k21)|a|b| cos 60 kb20，即 3k213k 30，解得k131336. 10在四邊形abcd中，已知ab9，bc 6，cp2pd. (1) 若四邊形abcd是矩形，求ap bp的值；(2) 若四邊形abcd是平行四邊形，且apbp6，求ab與ad夾角的余弦值解： (1) 因?yàn)樗倪呅蝍bcd是矩形，所以ab ad，即abad 0，. .專心 . 又ab9，bc6，cp2pd，所以ap addpad13ab，bp bccpad23ab ，所以ap bpad13abad 23aba

26、d213abad29ab 2622992 18. (2) 設(shè)ab與ad的夾角為，由 (1) 得，ap bpad13abad23abad213abad29ab 2621396cos 29926，所以 cos 23. 故ab與ad夾角的余弦值為23. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018徐州高三年級(jí)期中考試)如圖，在半徑為2 的扇形aob中，aob90，p為ab上的一點(diǎn)，若op oa2，則opab_. 解析：如圖，以o為原點(diǎn)，oa所在直線為x軸，ob所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則a(2,0) ，b(0,2) ，設(shè)p(x，y) ，由op oa2，可得 2x2，x1，p為a b上的一點(diǎn)，

27、所以 |op | 2，所以p(1 ，3) ，op (1 ，3) ，又ab( 2,2) ，所以opab 223. 答案： 223 2(2018南通、揚(yáng)州、泰州、淮安調(diào)研) 如圖，已知abc的邊bc. .專心 . 的垂直平分線交ac于點(diǎn)p， 交bc于點(diǎn) q.若|ab 3，|ac5， 則 (apaq) (abac ) 的值為 _解析：法一：因?yàn)閍paq qp ， 所以apaq2aq qp，而abaccb，由 于 qpcb， 所 以 qpcb 0， 所 以 (apaq) (abac) (2aqqp ) cb2aq cb，又因?yàn)?q是bc的中點(diǎn)，所以2aqabac，故 2aq cb(abac) (aba

28、c ) ab2ac 2925 16. 法二：由題意得abc是不確定的，而最后的結(jié)果是唯一的，因此取abbc，從而p為ac的中點(diǎn)又|ab | 3，|ac| 5，所以 |bc | 4，cosbac35，故apaq12ac 12(abac) 12abac，從而 (apaq) (abac ) 12abac(abac) 12ab212abacac 212912353525 16. 答案： 16 3(2019姜堰中學(xué)調(diào)研) 在銳角abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，向量 m(cos(ab) ，sin(ab) ，n(cos b， sin b) ，且 m n35. (1) 求 sin a的值；(2)

29、 若a42，b5，adbc于d，求baad的值解： (1) 由 m n35，得 cos(ab)cos bsin(ab) sin b35，所以 cos a35. 因?yàn)?0a2，所以 sin a1cos2a45. . .專心 . (2) 由正弦定理，得asin absin b，則 sin bbsin aa5454222. 因?yàn)?0b2，所以b4，所以 sin csin(ab) 22(sin a cos a) 7210. 又|ad | |ac|sin c57210722，所以ba ad(bdda) ad ad2 |ad|2492. 命題點(diǎn)一平面向量基本定理1(2018全國卷改編) 在abc中，aba

30、，acb，ad為bc邊上的中線，e為ad的中點(diǎn)，則eb_.( 用 a， b 表示 ) 解析：由題知eb eaab12ad ab1212abacab 34ab14ac34a14b. 答案：34a14b 2(2018全國卷) 已知向量a(1,2)，b (2 ，2) ，c(1 ，) 若 c(2a b) ，則_. 解析：由題易得2ab(4,2)，因?yàn)?c(2a b) ，所以 42，解得12. 答案：123 (2017江蘇高考) 如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)， 向量oa，ob，oc的模分別為1,1 ， 2，. .專心 . oa 與oc的夾角為，且 tan 7，ob與oc的夾角為45. 若ocmoan ob (m

31、，nr)，則mn_. 解析：如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oa所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則a(1 ，0)，由 tan 7， 0，2，得 sin 752，cos 152，設(shè)c(xc，yc) ，b(xb，yb)，則xc|oc |cos 215215，yc |oc|sin 275275，即c15，75. 又 cos(45) 152127521235，sin(45) 752121521245，則xb|ob |cos(45) 35，yb |ob|sin(45) 45，即b35，45. 由ocmoan ob，可得15m35n，7545n，解得m54，n74，所以mn54743. 答案： 3 4(2015江

32、蘇高考) 已知向量a(2,1) ，b(1， 2) ，若manb(9 ， 8)(m，nr)，則mn的值為 _解析：因?yàn)閙anb(2mn，m 2n) (9 ， 8) ，所以2mn9，m2n 8，所以m2，n5，所以mn2 5 3. . .專心 . 答案： 3 命題點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1.(2016 江蘇高考) 如圖， 在abc中，d是bc的中點(diǎn)，e，f是ad上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，ba ca 4，bfcf 1，則be ce的值是 _解析：由題意，得bfcf(bd df) (cddf) (bd df) ( bddf ) df2bd2|df |2|bd|2 1，ba ca(bdda ) (cdda) (bd

33、 3df) ( bd3df) 9df 2bd29|df |2|bd |2 4. 由得 |df|258， |bd |2138. 所以be ce(bdde) (cd de) (bd 2df) ( bd2df) 4df2bd24|df |2|bd |245813878. 答案：782(2014江蘇高考) 如圖，在平行四邊形abcd中，已知ab8，ad5，cp3pd，ap bp 2，則abad 的值是 _解析：因?yàn)閍paddp ad14ab，bp bccpad34ab ，. .專心 . 所以ap bpad14abad 34ab|ad|2316|ab|212ad ab2，將ab8，ad5 代入解得abad22. 答案： 22 3(2018全國卷改編) 已知向量a，b 滿足 |a| 1，a b 1，則a(2 ab) _. 解析： a(2 ab) 2a2ab2|a|2ab. |a| 1，ab 1，原式 212