小學(xué)數(shù)學(xué)抽屜原理課堂教學(xué)實(shí)錄

1、小學(xué)數(shù)學(xué)“抽屜原理”課堂教學(xué)實(shí)錄教學(xué)目標(biāo)：1初步了解抽屜原理，會(huì)用抽屜原理解決簡單的實(shí)際問題。2經(jīng)歷“放蘋果”的探究過程，發(fā)展學(xué)生的概括能力與類推能力。3在理解與靈活應(yīng)用“抽屜原理”的過程中感受數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)過程：一、揭示課題師：今天我們學(xué)什么內(nèi)容？（學(xué)生看著銀幕上的課題齊聲：放蘋果）數(shù)學(xué)課放蘋果干什么？生：放蘋果有什么規(guī)律。生：放蘋果一定與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)。師：對(duì)??！看看同學(xué)們?cè)诜盘O果的過程中能不能發(fā)現(xiàn)有趣的數(shù)學(xué)原理。二、實(shí)踐探究（一）探究 1（多媒體出示）把3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜，想一想有幾種不同的放法？學(xué)生陷入沉思。師：小巧在動(dòng)手放蘋果之前有一個(gè)大膽的猜想。（多媒體出示文字與配音）不管

2、怎么放，一定有一個(gè)抽屜有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。1說明小巧的猜想師：你明白小巧這句話的意思嗎? 說說你的理解生：不管怎么放，一定有一個(gè)抽屜有2 個(gè)蘋果。生：還可能有一個(gè)抽屜有2 個(gè)以上的蘋果。師：把 3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜（板書），會(huì)用除法算式表示嗎？生： 3÷ 2=1（個(gè)） 1（個(gè)）（教師板書算式）師：算式中的 2 個(gè) 1 分別表示什么？生：表示每個(gè)抽屜里放1 個(gè)蘋果，還剩 1 個(gè)蘋果。師：那么剩下的 1 個(gè)蘋果還得放，所以一定有什么情況出現(xiàn)?生：每個(gè)抽屜里放 1 個(gè)蘋果，還剩 1 個(gè)蘋果，把剩下的 1 個(gè)蘋果，隨便放到哪個(gè)抽屜里，這個(gè)抽屜就有2 個(gè)蘋果。師：哦，你說得太

3、棒了！ （教師板書： 1+1=2）師：為什么還會(huì)出現(xiàn)有一個(gè)抽屜有2 個(gè)以上的蘋果呢？生：如果有一個(gè)抽屜不放，那另一個(gè)抽屜就有3 個(gè)蘋果了。2驗(yàn)證小巧的設(shè)想（1）動(dòng)手放蘋果師：剛才同學(xué)們討論了小巧的猜想， 發(fā)現(xiàn)有道理。 現(xiàn)在我們用乒乓球代替蘋果，用紙杯代替抽屜，自己動(dòng)手放一放，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證小巧的猜想是否正確。請(qǐng)大家記錄擺放的結(jié)果。（多媒體出示） 記錄方法： 如果一個(gè)抽屜里放 1 個(gè)，另一個(gè)抽屜里放 2 個(gè)，可以簡記為 1 ， 2；教師請(qǐng)一組學(xué)生操作課件，在電腦中擺放蘋果，并做好記錄，寫在黑板上。（2）學(xué)生小組活動(dòng)（3）得出結(jié)論師：看著實(shí)驗(yàn)的紀(jì)錄，你得出什么結(jié)論與大家分享？生：我們組有 4 種放法（

4、教師加以板書：1，2；2，1；0，3；3，0）生：不管怎么放，一定有一個(gè)抽屜有2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。師：哪幾種放法說明有一個(gè)抽屜有2 個(gè)蘋果？生： 1，2；2，1師：哪幾種放法說明有一個(gè)抽屜有2 個(gè)以上的蘋果？生： 0，3；3，0師：對(duì)于驗(yàn)證小巧的猜想來說，可以不考慮抽屜的不同，所以 1，2 與 2，1兩種放法，其實(shí)只是一種情況，我們保留其中的一種。 0，3； 3，0 也一樣。（教師檫去 2， 1；3，0）師：通過動(dòng)手放一放， 我們驗(yàn)證了小巧的設(shè)想是正確的， 一定有一個(gè)抽屜有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。（二）探究 2師：把 4 個(gè)蘋果放入 3 個(gè)抽屜（板書），會(huì)出現(xiàn)什么情況？小巧的猜想

5、還成立嗎？1小組合作，自己動(dòng)手放一放，并做好記錄。同時(shí)，請(qǐng)一組學(xué)生操作電腦放蘋果。記錄在黑板上。2討論（1）檢查記錄中的數(shù)據(jù)，刪除相同情況（黑板上保留： 1，1，2；0，1，3； 0， 0， 4； 0， 2， 2）（2）討論放法 1， 1， 2師：這種放法用算式怎樣表示？生： 4÷3=1（個(gè)） 1（個(gè)）生：剩下一個(gè)還要放， 1+1=2（個(gè)）（3）討論余下的三種放法師：第、第、第種放法說明什么？生：說明一定有一個(gè)抽屜有2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。師：可是第種放法有 2 個(gè)抽屜里各有 2 個(gè)蘋果，這句話應(yīng)該怎樣修改一下？學(xué)生思考片刻，教師提示：把“一定”換一個(gè)詞。生：把“一定”改成“至少

6、”就可以了。生：至少有一個(gè)抽屜有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果，說明還可以有幾個(gè)抽屜里 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。教師把板書中的“一定”改為“至少” ，讓學(xué)生再讀這句話，體會(huì)“一定”與“至少”的不同之處，同時(shí)感悟“至少有一個(gè)抽屜有2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果”，這句話能概括所有4 種放法。（三）探究 3師：把 5 個(gè)蘋果放入 4 個(gè)抽屜（教師板書），猜猜可能有什么結(jié)果？生：至少有一個(gè)抽屜有2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。師：認(rèn)同這一結(jié)論的同學(xué)舉舉手。師：能否用算式說明 ?生： 5÷ 4=1（個(gè)） 1（個(gè)） 1+1=2（個(gè)）教師板書師：這個(gè)算式擺放出的蘋果是怎樣的？生：（1，1，1，2）師：

7、能否舉 2 個(gè)例子說明把5 個(gè)蘋果放入4 個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有2個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。生：（0，2，2，1）、（0，1，3，1）、（0，0，2，3）（四）小結(jié)師：同學(xué)們放了三次蘋果， 研究了蘋果數(shù)與抽屜數(shù)之間的關(guān)系。 那蘋果數(shù)與抽屜數(shù)之間有什么關(guān)系？生：蘋果數(shù)大于抽屜數(shù)。教師板書：蘋果數(shù)抽屜數(shù)生：蘋果數(shù)比抽屜數(shù)多 1。師：如果把抽屜數(shù)用字母n 表示，那么蘋果數(shù)可以怎么表示？生： n+1師：其實(shí)這個(gè)原理早在200 多年前就被德國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了。（多媒體出示） 把多于 n 個(gè)的蘋果放進(jìn) n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果。德國數(shù)學(xué)家“狄里克雷”， 從這么平凡的事情

8、中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。人們?yōu)榱思o(jì)念他，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又叫“抽屜原理” , 還稱為 “鴿巢原理”。師：為什么“抽屜原理”, 還可以稱為“鴿巢原理”？生：可以把鴿巢看作抽屜，把鴿子看作蘋果，所以“抽屜原理” , 也可以稱為 “鴿巢原理”師：說得很好， 抽屜原理可以廣泛地運(yùn)用于生活中， 一般可以把某一樣?xùn)|西看作蘋果或抽屜。三、初步運(yùn)用（一）說一說1（多媒體出示） 101 只兔子放入 100 個(gè)籠子，那么 _。生：至少有一個(gè)籠子有2 個(gè)或 2 個(gè)以上的兔子。師：能告訴大家你把什么看作抽屜，把什么看作蘋果？生：我把籠子看作抽屜，把兔子看作蘋果。師：運(yùn)用學(xué)到的抽屜原理解決了兔子與

9、籠子的問題。2出示：爸爸買來 5 條金魚，小鳳數(shù)了數(shù)，共有4 個(gè)品種，姐姐聽了后說：“至少有 2 條金魚是同一個(gè)品種的?！苯憬阏f得對(duì)不對(duì)？為什么？生：姐姐說得對(duì)。師：你能說說理由嗎？生：可以把金魚看作“蘋果”，把品種看作“抽屜”。根據(jù)抽屜原理，可以得出：至少有一個(gè)品種有 2 條或 2 條以上的金魚。（二）填一填1（多媒體出示） 撲克牌去掉大、小怪，剩下的都是 4 種花色。任意取張，至少有 2 張是同一種花色的。生：任意取 5 張撲克牌，至少有2 張是同一種花色的。因?yàn)橛? 種花色。師：再說清楚些，把什么看作抽屜，什么看作蘋果？生：共有 4 種花色，把它看作抽屜，牌看作蘋果。牌比少有 2 張是同

10、一種花色的。4 種花色多1 時(shí)，至2（多媒體出示）小胖?jǐn)S數(shù)點(diǎn)塊，至少擲次，其中至少有兩次的點(diǎn)數(shù)相同。生：把 1 到 6 的點(diǎn)數(shù)它看作 6 個(gè)抽屜，至少擲 7 次，其中至少有兩次的點(diǎn)數(shù)相同。3操場上有同學(xué)在比賽擲沙包，小亞數(shù)了一下人數(shù)說： “這里至少有兩人的生日在同一個(gè)月”，至少有 _人在比賽擲沙包。（三）玩一玩1出示：搶位子游戲規(guī)則：每個(gè)人必須都坐下；一張椅子上允許坐一個(gè)以上的人。2學(xué)生活動(dòng)。師：現(xiàn)在有 3 個(gè)位子，老師至少請(qǐng)幾人來玩，才會(huì)出現(xiàn)抽屜原理的情況？生： 4 人，因?yàn)榘岩巫涌醋鞒閷?，人?shù)看作蘋果，人數(shù)比椅子數(shù)多1?；顒?dòng)開始：大家擊掌， 4 位同學(xué)圍著椅子轉(zhuǎn)，掌聲停，4 位同學(xué)搶著坐下

11、。師：用一句話說說他們就坐的情況。生：至少有一個(gè)椅子有2 人或 2 個(gè)以上的人。師： 5 人搶 3 把椅子， 6 人、 7 人搶 3 把椅子，會(huì)有什么樣的結(jié)論呢？請(qǐng)感興趣的同學(xué)課后繼續(xù)研究。多次教學(xué)放蘋果的感悟：一、“思維定向”的由來放蘋果即抽屜原理是二期課改小學(xué)數(shù)學(xué)教材新引進(jìn)的課題。其內(nèi)容抽象、費(fèi)解，在三年級(jí)教學(xué)是個(gè)難點(diǎn)。如何突破？作了多次探索。第一次，按照課本的設(shè)計(jì)教學(xué)，探究 3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜就遇到了困難。學(xué)生很容易得出有 4 種情況，但讓他們自己概括結(jié)論非常困難。 學(xué)生首先想到是抽屜里的蘋果數(shù)最多是 3，最少是 0。分析原因， 很簡單，學(xué)生很難用 “一定有”、“至少”這樣的語言

12、來陳述。怎樣才能讓三年級(jí)學(xué)生自己說出教師期望的結(jié)論呢？我們嘗試了多種方法，發(fā)現(xiàn)由搶位子游戲引入，學(xué)生比較容易說出“ 3 人搶 2 個(gè)座位，一定有一個(gè)座位坐 2 個(gè)人”，還要讓學(xué)生再次探究 3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜。感覺有些重復(fù)。這次教學(xué)診斷， 我仍上這一內(nèi)容， 嘗試改變由學(xué)生放蘋果后得出結(jié)論的常規(guī)做法，創(chuàng)設(shè)“小巧”這一學(xué)生喜愛的人物形象參與教學(xué)活動(dòng)，由她的“猜想”給學(xué)生“思維定向”，讓學(xué)生在解讀小巧“猜想”的過程中初步理解抽屜原理。從課堂實(shí)效來看，這一設(shè)計(jì)達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo)。同一課題的多次實(shí)踐，使我真切感悟：學(xué)生的數(shù)學(xué)語言也有最近發(fā)展區(qū)。二、“實(shí)驗(yàn)結(jié)果”為何簡化第一次教學(xué)時(shí)，按照“教參”的提示

13、，對(duì)幾個(gè)抽屜用不同顏色加以區(qū)別，這樣“把 4 個(gè)蘋果放入 3 個(gè)抽屜”的實(shí)驗(yàn)結(jié)果就有 12 種情況，雖然通過小組合作與交流，能夠避免遺漏，但時(shí)間花費(fèi)過多，畢竟現(xiàn)在一節(jié)課只有 35 分鐘。而且，要讓學(xué)生觀察 12 種情況概括結(jié)論，又是勉為其難。于是想到，既然教材對(duì)幾個(gè)蘋果不加區(qū)分， 對(duì)抽屜是否也可以不加區(qū)分呢？查閱了很多資料， 其中多數(shù)對(duì)抽屜也不加區(qū)分的。那么，選擇什么時(shí)機(jī)提出簡化建議呢？比較來比較去， 還是在得出 3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜的 4 種情況以后，將 4 種情況簡化為 2 種，比較適宜?？磥?，不能依賴“教參” ，立足學(xué)生與教學(xué)實(shí)際，該刪繁就簡就刪繁就簡。三、教材之外還需充實(shí)什么一師

14、附小是“愉快教育”的發(fā)源地，為了讓學(xué)生愉悅地學(xué)習(xí)，除了將教材上的卡通人物參與進(jìn)來之外， 在設(shè)計(jì)補(bǔ)充練習(xí)時(shí)， 我還精心挑選了一些學(xué)生學(xué)習(xí)生活的情境，并配上插圖。改進(jìn)以后的練習(xí)組合，學(xué)生興趣盎然。抽屜原理的來歷， 可以介紹給學(xué)生， 抽屜原理的別名 “鴿巢原理” 附帶出現(xiàn)，既有利于增添趣味，又能為后面抽屜原理的應(yīng)用做出鋪墊?，F(xiàn)在的小學(xué)生， 一年級(jí)就開始學(xué)習(xí)英語， 用字母表示數(shù)不感困難， 所以小結(jié)時(shí)用上了字母，這樣抽屜數(shù)與蘋果數(shù)之間的關(guān)系，一目了然。前幾次教學(xué)， 發(fā)現(xiàn)盡管抽屜原理的理解起來并不容易， 但學(xué)生興趣很濃， 因?yàn)樗蛯W(xué)生以前學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)大不一樣。 另外題材豐富的練習(xí)讓學(xué)生初步看到抽屜原理應(yīng)用

15、的廣泛性，從中感受了抽屜原理的魅力。所以，這次在課的結(jié)尾，利用搶位子的游戲活動(dòng)，在形成“高潮”的同時(shí)，通過教師的追問： 7 人搶 3 個(gè)椅子呢？ 孕伏了拓展，讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探究 “（ kn+1）個(gè)蘋果放入 n 個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有（ k+1）個(gè)蘋果”。多次教學(xué)抽屜原理的最大感悟是，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)才是有效的教學(xué)。導(dǎo)師點(diǎn)評(píng)：聽了曹志霞老師的說課，被她不斷反思、孜孜以求的精神所感動(dòng)。這節(jié)課的創(chuàng)意、改進(jìn)，主要的上面已經(jīng)說到，也說得很明白。要點(diǎn)評(píng)只能再深入說兩點(diǎn)和補(bǔ)充一點(diǎn)。一、“思維定向”有道理對(duì)于成人來講，本課討論的抽屜原理（抽屜原理的最簡單形式），內(nèi)容簡明樸素，幾乎不言自明。但對(duì)于

16、小學(xué)三年級(jí)學(xué)生，理解起來確有難度。因?yàn)槌閷显淼膶?shí)質(zhì)，是揭示了一種存在性，比較抽象 。至于抽屜原理的發(fā)現(xiàn)與精練表述， 明顯超出了一般人的數(shù)學(xué)敏感性和抽象概括能力。要不然，為什么如此平凡、簡單的現(xiàn)象，直到19 世紀(jì)才被狄利克雷首先明確提出呢？如同蘋果往地上掉了千百年， 直到落在牛頓頭上， 才深究出萬有引力定律。這一聯(lián)想、類比可能不夠確切， 但近年來確實(shí)有一些脫離學(xué)生實(shí)際一相情愿的“探究發(fā)現(xiàn)” 的泛化現(xiàn)象。難怪教師會(huì)發(fā)出要把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)、要順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的感慨，其實(shí)這些都是有效教學(xué)應(yīng)當(dāng)采納的基本策略。美國心理學(xué)家布魯納有句名言：“任何學(xué)科都能夠用在智育上是正確的方式，有效地教給任何發(fā)展階段

17、的任何兒童” 1且不說這一假設(shè)是否武斷，作為發(fā)現(xiàn)法的倡導(dǎo)者，布魯納說的也只是“教給” ，而不是“發(fā)現(xiàn)”。既然要讓三年級(jí)小學(xué)生通過將 3 個(gè)蘋果放入 2 個(gè)抽屜的操作，面對(duì) 4 種情況自發(fā)地發(fā)現(xiàn)并概括出抽屜原理， 有點(diǎn)勉為其難， 那么采用適當(dāng)?shù)姆绞浇o出抽屜原理的“猜想”，著力啟發(fā)學(xué)生理解，便是可取的。心理學(xué)的研究早就告訴我們，“思維定向”對(duì)于探究學(xué)習(xí)和問題解決常常是必要的。二、“搶位子”引入未必最佳非常佩服老師的教學(xué)創(chuàng)新意識(shí)及其努力，想到了“搶位子游戲” 的引入方法。通過游戲活動(dòng)，學(xué)生比較容易自發(fā)地概括出“一定有一個(gè)座位坐 2 個(gè)人”，與預(yù)設(shè)結(jié)論只差“至少”和“ 2 個(gè)以上”。因?yàn)閾屛蛔佑螒蛞话?/p>

18、不會(huì)讓一個(gè)位子空在那里，大家都不去坐。所以（ n+1）人搶 n 個(gè)座位坐，通常只有一種情況，即一1 美 布魯納著 , 邵瑞珍譯：教育過程 . 北京 , 文化教育出版社1982 年. 第 49 頁 .個(gè)座位坐 2 人，其他座位坐 1 人。學(xué)生想不到“至少”和“ 2 個(gè)以上”情有可原。由此判斷搶位子游戲未必就是最佳引入。三、“逐步理解”可供借鑒抽屜原理看似簡單， 但要讓小學(xué)生建構(gòu)起自己的實(shí)質(zhì)性理解，還是很有挑戰(zhàn)性的。教師采取了“分散難點(diǎn)”的教學(xué)策略：第一步，先使學(xué)生理解“一定有一個(gè)抽屜里有2個(gè)蘋果”；第二步，再使學(xué)生理解“一定有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或 2 個(gè)以上蘋果”；第三步，再使學(xué)生理解“至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或 2 個(gè)以上蘋果”。事實(shí)上，第一步所得出的算式3÷2=1（個(gè)） 1（個(gè)）1+1=2（個(gè)）已經(jīng)能夠說明抽屜原理n=2 的特例了，因?yàn)樗喈?dāng)于抽屜原理的反證法：如果每個(gè)抽屜至多只放進(jìn)一個(gè)蘋果，那么蘋果的總數(shù)至多是 n，而不是題設(shè)的比 n 多。但對(duì)于小學(xué)生而言，后面的兩步不能說多余。否則他們會(huì)對(duì)“為什么還有 2 個(gè)以上”、“為什么要強(qiáng)調(diào)至少”心存疑慮。同樣，討論 n=4，5 時(shí)，教師分三種情