（人教B版必修5）1.2應(yīng)用舉例（1）學(xué)案（含答案）

1、§1.2應(yīng)用舉例(一)自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理1實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線_的角叫仰角，在水平線_的角叫俯角(如圖)(2)方位角指從正北方向_轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)(3)坡度坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)2基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線一般來(lái)說(shuō)，基線_，測(cè)量的精確度越高 自主探究為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一鉛垂平面內(nèi)飛機(jī)已經(jīng)測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角1、1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角2、2；A、B的距離d(如圖所示)甲乙兩位同學(xué)各

2、自給出了計(jì)算MN的兩種方案，請(qǐng)你補(bǔ)充完整甲方案：第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM_；第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN_；第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN_.乙方案：第一步：計(jì)算BM.由正弦定理BM_；第二步：計(jì)算BN.由正弦定理BN_；第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN_.對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題例1要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°，求A、B之間的距離1 / 11總結(jié)測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的

3、邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后在相關(guān)三角形中計(jì)算AC和BC.變式訓(xùn)練1如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量高度問(wèn)題例2如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.總結(jié)在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常都根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出實(shí)際問(wèn)題的解和高度有關(guān)的問(wèn)題往往涉及直角三角形

4、的求解變式訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°，求兩條船之間的距離知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題例3在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°的方向，距離A (1) n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？總結(jié)本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用注意到最快追上走私船時(shí)兩船所用

5、時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.變式訓(xùn)練3甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a n mile，乙船向正北方向行駛?cè)艏状乃俣仁且掖俣鹊谋叮瑔?wèn)甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能盡快追上乙船？相遇時(shí)乙船行駛多少n mile?1距離問(wèn)題測(cè)量平面距離時(shí)，往往把要測(cè)量的距離化為某一個(gè)三角形的一條邊，再運(yùn)用正弦定理或余弦定理加以求解2高度問(wèn)題測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題3角度問(wèn)題

6、測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角. 課時(shí)作業(yè)一、選擇題1已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a km C.a km D2a km2如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DCa，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是、(<)，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A.B.C.D.3臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于

7、危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A0.5小時(shí) B1小時(shí) C1.5小時(shí) D2小時(shí)4.甲船在島B的正南A處，AB10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ギ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.分鐘 B.小時(shí)C21.5分鐘 D2.15分鐘二、填空題5如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高AB為_(kāi)6.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°

8、的方向航行30分鐘后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為_(kāi)海里/小時(shí)7太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1 km后，又測(cè)得小島在南偏西75°的方向上，則小島離開(kāi)公路的距離是_ km.三、解答題8.如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？§

9、;1.2應(yīng)用舉例(一)知識(shí)梳理1(1)上方(2)下方(3)順時(shí)針2越長(zhǎng)自主探究對(duì)點(diǎn)講練例1解如圖所示，在ACD中，ACD120°，CADADC30°，ACCD km.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°.BC.ABC中，由余弦定理，得AB2()222××cos 75°325，AB km.A、B之間的距離為 km.變式訓(xùn)練1A由題意知ABC30°，由正弦定理，AB50 (m)例2解在ABC中，BCA90°，ABC90°，BAC，CAD.根據(jù)正弦定理得：即AC.在RtACD

10、中，CDACsinCADACsin .答山的高度為.變式訓(xùn)練2解如圖所示：CBD30°，ADB30°，ACB45°AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD·cos 30°900，CD30，即兩船相距30 m.例3解如圖所示，設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222×(1)×2×cos 120°6，B

11、C，且sinABC·sinBAC×.ABC45°，BC與正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理得sinBCD，BCD30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船變式訓(xùn)練3解如圖所示，設(shè)兩船在C處相遇，并設(shè)CAB，乙船行駛距離BC為x n mile，則ACx，由正弦定理得sin ，而<60°，30°，即ACB30°，ABBCa，從而B(niǎo)Ca (n mile)答甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進(jìn)才能盡快追上乙船，兩船相遇時(shí)乙船行駛了a n mile.課

12、時(shí)作業(yè)1BACB120°，ACBCa，ABa.2A設(shè)ABh，則AD，CAD，.，h.3B設(shè)t小時(shí)后，B市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，即B市離臺(tái)風(fēng)中心恰好為30千米處，則由余弦定理得：(20t)24022×20t×40cos 45°302.化簡(jiǎn)得：4t28t70，t1t22，t1·t2.從而|t1t2|1.4A設(shè)行駛x h后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距y km，則DBC180°60°120°.y2(104x)2(6x)22(104x)·6xcos 120°28x220x100282100當(dāng)x小時(shí)分鐘，y2有

13、最小值y最小5.解析在BCD中，CBD.由正弦定理，得.BC在RtABC中，ABBCtanACB.620()解析由題意，SMN45°，SNM105°，NSM30°.由正弦定理得.MN10()則v貨20()海里/小時(shí)7.解析如圖，CAB15°，CBA180°75°105°，ACB180°105°15°60°，AB1 km.BC·sin 15° (km)設(shè)C到直線AB的距離為d，則dBC·sin 75°· (km)8.解如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2，又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等邊三角形，A1B