讓探究在課堂中自然生成

1、讓探究在課堂中自然生成【摘要】探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，同時也是新課程規(guī)定的一項(xiàng)重要的培養(yǎng) 目標(biāo)。我們可以在常態(tài)課中根據(jù)實(shí)際教學(xué)過程和學(xué)生的思維經(jīng)歷適時、自然地 引導(dǎo)探究?！娟P(guān)鍵詞】常態(tài)課 探究 口然生成探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，同時也是新課程規(guī)定的一項(xiàng)重要的培養(yǎng)目標(biāo)。 它是學(xué)主運(yùn)用已有的知識，去尋找解決問題的方法，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。探究 的目的不僅在于獲得知識，更在于讓學(xué)生在探索的過程中掌握一些科學(xué)的方法, 從而增強(qiáng)自主意識，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)造能力。它具體表現(xiàn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)過程 中強(qiáng)烈的求知欲、主動參與的意識和積極思考的行為。但在教學(xué)實(shí)踐中教師不 能為了探究而探究，浪費(fèi)大量寶貴的時間，影響教學(xué)

2、任務(wù)的完成。我們可以在 常態(tài)課中根據(jù)實(shí)際教學(xué)過程和學(xué)生的思維經(jīng)歷適時、自然地引導(dǎo)探究。關(guān)注一致的錯，自然引導(dǎo)探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個特殊的認(rèn)知過程，由于學(xué)生的認(rèn)知水平、理解水平的不同, 解題中常會出現(xiàn)錯誤屬正常現(xiàn)象，特別在課堂上學(xué)生展示出來的課前預(yù)習(xí)，課 堂練習(xí)，鞏固訓(xùn)練等都會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，關(guān)鍵在于教師是否能重視錯 誤資源，變廢為寶。錢學(xué)森說過：“正確的結(jié)果，是從大量錯誤中得出來的；沒 有大量錯誤作臺階，也就登不上最后正確結(jié)果的高座。”所以教師對待學(xué)生的“錯 誤”不能一票否決。學(xué)生雖然把題解錯了，但有可能方法對的，計(jì)算錯了；雖 然可能連方法也不對，但至少學(xué)生口己思考了，“錯誤”得不到及時的關(guān)

3、注，下 次做題時匝蹈覆轍。要想讓學(xué)生深刻反省自己的“錯誤”，教師要幫助學(xué)生一起 找“錯誤”根源，弄清學(xué)生的解題思維，分析錯誤原因，共同探究正確結(jié)果。 案例1在“直線中的對稱問題”的教學(xué)中我首先解決“點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題”, 對稱的直線也由特殊到一般，由學(xué)生熟知的到陌生的。由此課前預(yù)設(shè)以下問題 （1）求點(diǎn)（兀0，兒）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)；（2）求點(diǎn)（兀（）,兒）關(guān)于），軸的對稱點(diǎn)；（3） 求點(diǎn)（兀0，兒）關(guān)于直線丁 =兀的對稱點(diǎn)；（4）求點(diǎn)（兀0，兒）關(guān)于直線y =-兀的對稱 點(diǎn)_； （5）求點(diǎn)（2,1）關(guān)于直線y = x + l的對稱點(diǎn);（6）求點(diǎn)（2,1）關(guān)于直線y = -x +1 的對稱點(diǎn)；（7

4、）求點(diǎn)m（-l, 0）關(guān)于直線兀+ 2）一 1 = 0對稱點(diǎn)。課上檢查時發(fā)現(xiàn)（1） （4）絕大多數(shù)是對的，（5） （6）對的也較多，（7）有幾個正確答案,5 5 同時出現(xiàn)了好幾個“一致的錯”的答案（1, 1）。課堂上以（7）為例分析解答。 思路1:設(shè)對稱點(diǎn)a/ （s）,則由圖可知直線mat垂直直線兀+ 2y-l = 0,兩直線 斜率乘積為-1,且線段mit的中點(diǎn)（上）在直線x + 2y-1 = 0上，因此得出方程2 2y（i）=i組兀¥ 2 解出結(jié)果。思路2：用點(diǎn)到直線的距離公式做的，由條件可知 口+ 2 丄 1 = 02 2點(diǎn)m（-l, 0）和對稱點(diǎn)/（兀刃到直線x + 2y- =

5、 0的距離相等，可以得出一個等 量關(guān)系，還有一個等量關(guān)系也是斜率乘積為-1,由此得出兩個方程，解出兩解和（一1, 0）,舍去（一1, 0）。思路3：先求出過已知點(diǎn)且與對稱直線垂直 的直線/的方程，并求出/與對稱直線的交點(diǎn)，再利用中點(diǎn)公式求m的坐標(biāo)。由 此師生一起歸納出“求點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題”的一般解題方法，其屮思路1具 有“普適性”。此時，雖然已經(jīng)解決了如何求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，可是答 案（1,1）是怎么得來的，難道是簡單的算錯？我不得不思考這個問題。于是讓 一位得出此答案的學(xué)生說出自己的解法：“先從兀+ 2），-1 = 0中解出兀=1-2八 把m 的縱坐標(biāo)代入右邊的兀=1,再從中解= ,

6、得m的橫坐標(biāo)1,得到m（l, 1）, 其實(shí)（5） （6）我也是用這個方法做的，答案卻是對的”?！笆前?，我也是用這個 方法做的?！毕旅娴膸孜粚W(xué)生有同感。這真是不一般的想法，學(xué)生的奇思妙想?yún)s 道出了一種“特殊方法”。這種想法正好可以探究給出“什么樣的特殊直線”求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)能用這種“特殊方法”來做。“請大家一起考慮問題出在 哪里”，教師把問題拋給了學(xué)生，此時所有學(xué)生表現(xiàn)得很有興趣，想探個究竟。 這時教師給出提示：我們是否可以先解決一個一般性的問題。學(xué)生領(lǐng)悟：先求 點(diǎn)p (m, n)關(guān)于直線y = kx + b(ko)的對稱點(diǎn)q。教師提醒：請大家用最優(yōu)方法來求出點(diǎn)q的坐標(biāo)。學(xué)生用最快的速度解出

7、對稱點(diǎn)q2(m + kn 一 kb)m k +12(km + k'n + b)；nf+l顯然市此式得出，當(dāng)r = 1時，q (n-b,m + h) , k = 一時q -加)與用"特殊方法” 得出的結(jié)果一致。當(dāng)±1時，求對稱點(diǎn)只能用“一般方法”。學(xué)生恍然大悟。 從這個探究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：給出斜率為±1的直線，確實(shí)可以用“特殊方法”來 求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。此方法也為解題節(jié)約不少吋間?？梢婂e誤是正確的先 導(dǎo)，錯誤是通向成功的階梯，學(xué)生犯錯的過程應(yīng)看做一種嘗試和創(chuàng)新的過程， 特別是對這種“一致的錯”，教師要及時關(guān)注，利用好錯誤資源，把學(xué)生的這種 創(chuàng)新和嘗試加以正

8、確引導(dǎo)，更深層次地探究出一類問題屮隱含的規(guī)律。這樣的 自然探究更能深入學(xué)生內(nèi)心深處，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能揮去學(xué)生思維上 的“陰霾”，快樂獲得正確思想。追求對中求快，自然引導(dǎo)探究在時間限制的高考面前，學(xué)生只有“對”才能得分，只有“快”才能搶時 間。平時的學(xué)習(xí)屮我們要求學(xué)生解題時力求“對而快，快而對”，這是我們的 最大目標(biāo)。教學(xué)實(shí)踐中我們致力于“優(yōu)化算理算法”,我們追求“會算，會少算, 會巧算，會簡算，會估算，也會不算”。會算的盡量能做到少算，這就需要思維 上的一個突破，開拓思維，達(dá)到在計(jì)算上能“巧算”，“簡算”，“估算”，甚至“不 算”。在課堂上適時進(jìn)行解決問題的思維和方法上的探究，能很好地

9、培養(yǎng)這種能力。案例2在同角三角函數(shù)關(guān)系的教學(xué)中，有這樣的一個基礎(chǔ)題，已知q w (龍，2龍),tan = l,則sind + coso等于。這是一個普通的填空題，很多學(xué)生2sirr g + cos a - 1都會做，而且在草稿紙上通常都列岀了這樣的方程組，門_血2_ 1得tun(x cos a 2sina = ±1vr又itjaw (兀，2兀)，tan oc 9 矢口 a g (龍，一兀)，sin ex -f=，22v5cos6z = -a,從而得出結(jié)果?？吹竭@樣的解答很詳細(xì)，但太花吋間了，在寶貴的 v5考試時間中，像這種題，我們?nèi)绾文茏龅健皩χ星罂臁蹦兀蚨谄綍r教學(xué)中 很自然地需

10、要探討更合理的解答方法。教師進(jìn)行引導(dǎo)：請大家觀察你們算出的 sina,cosa值與給出的tana的值有沒有什么關(guān)系？以后在題目中若已知tana的 值，求sin«,cos«的值，能不能很快給出結(jié)果？學(xué)生仔細(xì)地觀察了這幾個數(shù)據(jù)， 得出了以下兒個重要的結(jié)論：(1)1,2,亦構(gòu)成一組勾股數(shù)，求sin/cos"時分別直接由希希得出數(shù)值，再根厭的所在象限確定符號理論依據(jù)是若 tana = -(z?0)則由 «bsina _ acos a b22isin a + cos a-解得 sin2"=7?tf甘這個探究結(jié)果雖簡單，但非常有實(shí)效，用這個結(jié)論，會給我們在

11、解題時節(jié)省不少寶貴的時間。案例3類似這樣的自然探究又如：己知°,0均為銳角，且cos(a + 0) = sins -0),則伽。二學(xué)生拿到這道題后基本上都是兩邊用公式展開整理，同除以sin0 + cos0,得tarrn-1,用這種方法解題純粹是看誰的寫字速度更快。在此情形下，教師很自然的引導(dǎo)：能否把。+ 0,。-0分別看作整體，那么條件就變成一個 角的余弦等于另一角的正弦，這兩個角又有什么關(guān)系呢？于是學(xué)生想到了公式 cos( -a) = sin a ,又由于a,0均為銳角，可得(q + 0) + (q-0) =壬，從而a =224tan6z = lo這種解法不僅提高了速度，而且使學(xué)生

12、對誘導(dǎo)公式的理解上升到一個 高度，解題有種“一覽縱山小”的感覺。解題速度快是平時長期訓(xùn)練的結(jié)果， 不是蹴而就的。有時候在解題過程中，學(xué)生可能很快找到了解題思路，但計(jì) 算卻比較繁瑣，容易出錯，在時間限定的實(shí)際操作中，如果可能的話學(xué)生還是 另辟蹊徑為好。挖掘課本習(xí)題，自然引導(dǎo)探究課本是知識的系統(tǒng)載體，它的作用是任何課外資料不能代替的，課本是教 學(xué)的根本。近年來，高考試題中，有不少小題或大題，摘自課本或由課木上例、 習(xí)題略加改編而成，這也史加引起大家對課本習(xí)題越來越重視。平時備課，必 須鉆研教材，利用好課本習(xí)題，把教材當(dāng)做“導(dǎo)火索”。教師的成功就在于點(diǎn)燃 “導(dǎo)火索”，選擇那些牽一發(fā)而動全身的問題來牽

13、動學(xué)生思維，從而激發(fā)起探究 新知識的興趣，把課堂學(xué)習(xí)的時間和主動權(quán)交給學(xué)生。29案例4 (蘇教版 選修2-1心)在橢圓* +命=1上求一點(diǎn)p,使它與兩焦點(diǎn)凡迅 的連線相互垂直這是圓錐曲線與方程整章上完后的一道復(fù)習(xí)題，此題看似 比較簡單，但它留給學(xué)生的思考空間很寬廣，在完成此題時能自然生成探究。 教師：請大家充分利用已學(xué)知識來思考這個問題，看看大家能想到哪些知識。 學(xué)生進(jìn)入了自己的思維空間，幾分鐘后，開始發(fā)言。生1:我用斜率來做的，設(shè)點(diǎn)p (兀,y) f (-5,0), f. (5,0)由pf】丄p幾得=-1即x + 5 x - 52 2x2 + /= 25 又點(diǎn) p 滿足二 + 丄=1 解得

14、p(3+4),(-3+4) o教師：很好！由垂直得出斜率乘積為-1,比較典型的方法。生2：我用的是向量方法，與上而的解法有點(diǎn)相似，不同之處是由p片丄p&得pfpf2= 0即兀2+ y2 =25以下同上。教師：不錯！引進(jìn)了向量知識，用數(shù)量積等于零表示兩向量垂直。大家還有其 它想法嗎？生3：我用的是橢圓定義，點(diǎn)p在橢圓上，貝u pf】+ pf? = 6亦由p片丄pf?得 pf（2 +pf22 =ftf22 即 pf" + 2pf, - pf2 + pf2 = 180 從 而求得 pf, - pf2 = 40 m 由 s"丹=*叭 pf 2 =扛尸2 y得卜=4從而求得點(diǎn)

15、p坐標(biāo)教師：想法非常豐富！用了橢圓的定義與等面積法結(jié)合，數(shù)形結(jié)合，思維很活 躍！此時學(xué)生的思維越來越有深度，探究氛圍也越加濃厚。生4：我用的是軌跡思想，由p片丄pf?得p點(diǎn)在以ft?為直徑的圓上，即p滿足 /+）/=25,以下同上。教帥：不簡單！看出點(diǎn)p的軌跡是以片耳為直徑的圓很不一般！此題從不同的角度來思考，就可以生成不同的方法，還有學(xué)生想到用橢圓的焦 半徑來做的。因有課堂上這樣的學(xué)習(xí)氛圍和這些寶貴的解題思路，才能由一題 引出一類題，課堂完成變式訓(xùn)練如下：2 2已知仟迅 是橢圓c：午+才=1的兩個焦點(diǎn)，在c上滿足p片丄“2的點(diǎn)p的 個數(shù)為2 2橢圓菁+牛=1的焦點(diǎn)為仟迅，點(diǎn)p為其上的動點(diǎn)，當(dāng)

16、zf|pf2為鈍角吋，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍是,2已知點(diǎn)p是橢圓亍+）1上的一點(diǎn)，許,耳是兩個焦點(diǎn)，azf,pf2 =60°,則厶fff?的而積是完成變式后進(jìn)行下一輪的探究72教師：在橢圓二+件= l（qb>0）是否都能在其上找到一點(diǎn)p,使它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直？生（眾）：不一定。教師：那能不能根據(jù)剛才的探究過程來說明具體原因。大家都在認(rèn)真地尋找原因。生5：我根據(jù)剛才生4回答的軌跡思想得出當(dāng)b>c時，橢圓上的點(diǎn)都在圓 x2+y2 =c2外，所以不存在點(diǎn)p使p片丄少。當(dāng)b二c時，橢圓和圓x2+y2 =c2恰 有兩個公共點(diǎn)，所以存在兩個點(diǎn)p使p片丄pf?。當(dāng)bc時橢圓和圓

17、*+護(hù)二有 四個公共點(diǎn)，所以存在四個點(diǎn)p使p耳丄戶竹。教師：非常完整！我們又一次巧妙地運(yùn)用了軌跡思想，很清晰地討論了三種情? 2形。請大家再看下面這個問題：設(shè)p是橢圓與+2r = i（°>b>o）上一點(diǎn)，它與兩 a /r焦點(diǎn)的片,竹的連線相互垂直，e的取值范圍是什么？問題一給出，馬上有很多學(xué)生舉手，表現(xiàn)岀很自信的樣子。生 6: <e< 12教師:完全正確!經(jīng)過大家的努力，我們完成了橢圓上是否存在點(diǎn)卩使zf,pf2 =90° 的探究。這種通過從特殊到一般的探究，使學(xué)生經(jīng)歷了知識的形成和發(fā)展過程，體 會蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、寬闊

18、性和類比、聯(lián)想、 歸納、猜想、推理的能力以及勇于探索的精神.教學(xué)實(shí)踐證明，從課本中挖掘適合學(xué)生探究的課題，激發(fā)學(xué)生探究，是學(xué) 生易于接受、樂于參與的活動方式，是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的最有效、最經(jīng)濟(jì)的途徑. 因此教師要潛心鉆研課本，根據(jù)新課程理念，用比較敏銳的眼光，因勢利導(dǎo)地 給學(xué)生提供探究空間，使數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生自然探究的天地.我們在常態(tài)課中按照既定的教學(xué)冃標(biāo)，以拓展學(xué)生的思維，提高解決問題的 能力為重點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力與實(shí)際發(fā)展水平,合理安排教學(xué)進(jìn)度與教學(xué)時 間，對教學(xué)過程中某一個內(nèi)容進(jìn)行適時調(diào)控；平時的教學(xué)更加關(guān)注學(xué)生成長的過 程，它更加真實(shí)，更加具有可行性。為了能夠在課堂中自然形成探究，教師應(yīng) 積極地探索和研究教材，同時鉆研專