高數(shù)第四講微分中值定理與導數(shù)的應用

1、第四講中值定理中值定理應用應用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理 與導數(shù)的應用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 中值定理 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 費馬費馬(fermat)引理引理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf)(xfy 費馬 xyO0 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間

2、 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點xyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于1 的正實根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x

3、2) 唯一性 .假設另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點,. 0)(f使但矛盾, 故假設不真!設目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設在)(xf 1 ,0內(nèi)可導, 且,0) 1 (f證明至少存在一點)(f, ) 1 ,0(使上連續(xù), 在) 1 ,0()(2 f證證: 問題轉(zhuǎn)化為證.0)(2)(ff設輔助函數(shù))()(2xfxx 顯然)(x在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(

4、1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbff拉氏 xyab)(xfy Oxyabafbf)()(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設,arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等

5、式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證Ix時,)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明不等式證證: 設, )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理條件,即因為故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習2) 設有個根 , 它們分別在區(qū)間30)( xf)4, 3(, )2, 1

6、(, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設,0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導, 證明至少存在一點, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗證)(xF在,0上滿足羅爾定理條件.設xxfxFsin)()(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若)(xf可導, 試證在其兩個零點間一定有)()(xfxf的零點. 提示提示: 設,0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(exxxf作輔助函數(shù), )(e)(xf

7、xFx驗證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理條件.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設 1 , 0可導，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證: 設輔助函數(shù))()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理條件, 1 , 0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 1. 設函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .在開區(qū)間 I 內(nèi)可導,目錄 上頁 下頁 返回

8、結(jié)束 例例1. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xOy12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxO說明說明: 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 目錄 上頁

9、 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明20 x時, 成立不等式.2sinxx證證: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此且證證證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 * 證明0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()(x即),0(,0tan2xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AB定義定義 . 設函數(shù))(xf在區(qū)

10、間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凸凸的 .二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點拐點 .yOx拐點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .設函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

11、束 xyO例例3. 判斷曲線4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 時，當0 x;0 y,0時x, 0 y故曲線4xy 在),(上是向上凹的.說明說明:1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號異號,0 x則點)(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個拐點.則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求曲線3xy 的拐點. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點 ( 0 , 0 )

12、為曲線3xy 的拐點 .Oxy凹凸目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy24362 )(3632xx對應271121,1yy例例5. 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標令0 y得,03221xx3) 列表判別)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在

13、 I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習 1 ,0上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 單調(diào)增加

14、 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 設在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),(21)e1,(21212. 曲線2e1xy的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121作業(yè)作業(yè) P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15 ; ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:,),()(內(nèi)有定義在設函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域若存在0 x在其中當0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為

15、 的極大值點極大值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值點極小值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點 .一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx為極大值點52,xx為極小值點3x不是極值點2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或 不存在的點.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 ,1x為極大值點, 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2

16、x為極小值點, 函數(shù)12xOy12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 1 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導數(shù),0時由小到大通過當xx(1) )(xf “左左正正右右負負” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負負右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf(自證)點擊圖中任意處動畫播放暫停目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解:1) 求導數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(

17、xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大值點， 其極大值為0)0(f是極小值點， 其極小值為52x33. 0)(52f目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導數(shù) , 且處具有在點設函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點 取極小值 .)(xf0 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2)

18、求駐點令,0)( xf得駐點1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點極值點或端點端點處達到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf,

19、 )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別特別: 當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,)(xf,ba 當 在 上單調(diào)單調(diào)時,)(xf,ba最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 的最大值與最小值的最大值與最小值.解解),1)(2(6)( xxxf解方程解方程, 0)( xf得得. 1, 221 xx計算計算;23)3( f;34)2( f;7)1( f

20、;142)4( f最大值最大值,142)4( f最小值最小值;7)1( f比較得比較得完完得得. 1, 221 xx計算計算;23)3( f;34)2( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx計算計算;23)3( f;34)2( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx計算計算;23)3( f;34)2( f最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx計算計算;23)3( f;34)2( f求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)

21、(2(6)( xxxf得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf計算計算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf;7)1( f;142)4( f計算計算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f計算計算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求

22、求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f計算計算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf解方程解方程, 0)( xf最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f計算計算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf目錄 上

23、頁 下頁 返回 結(jié)束 試問 為何值時,axxaxf3sin31sin)(32x在時取得極值,還是極小.解解: )(xf由題意應有0)(32 f2a又 )(xf3232sin2)( f時取得極大值：在2)(axf3)(32f備用題備用題 1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出該極值, 并指出它是極大即0121a目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六節(jié)一、一、 曲線的漸近線曲線的漸近線二、二、 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2xy 無漸近線 .點 M 與某一直線 L 的距離趨于 0,一、 曲線的漸

24、近線曲線的漸近線定義定義 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線 L 為曲線C 的漸近線漸近線 .例如, 雙曲線12222byax有漸近線0byax但拋物線或為“縱坐標差縱坐標差”LbxkyNMOxyC)(xfy POxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 水平與鉛直漸近線水平與鉛直漸近線若,)(limbxfx則曲線)(xfy 有水平漸近線.by )(x或若,)(lim0 xfxx則曲線)(xfy 有鉛直漸近線.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲線211xy的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為鉛直漸近線.yxO21

25、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P76 題題14)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求曲線3223xxxy的漸近線.解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有鉛直漸近線3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy為曲線的斜漸近線 .

26、312 xyyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點 ;并考察其對稱性及周目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 描繪22331xxy的圖形.解解: 1) 定義域為, ),(無對稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點)3