中學(xué)數(shù)學(xué)的最值問題

1、中學(xué)數(shù)學(xué)的最值問題最值問題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。對于中學(xué)數(shù)學(xué)的常見最值問題，可歸納為以下幾大塊：一、用函數(shù)的單調(diào)性求代數(shù)函數(shù)的最值（1）對于一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)，若定義域的閉區(qū)間，如xm，n,則f（m），與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值。（2）求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在m,n上的最值時，先判定對稱軸x= - 是否屬于m,n，若x=- m,n,則f(m) , f(n) ,f(- 中較大者是最大值，較小者是最小值，若- m,n，則f(m)與f(n)中較大者為最大值，較小者為最小值；若二次函數(shù)f(x)2ax2+bx+c的定義域為

2、R，當(dāng)a>0時，有最小值ymn= ,豈a<0時，有最大值ymax= ,例1、求函數(shù)y=x2-2x-3在 ， 上的最值。解：對稱軸x=1 , f，而f( )= ,f(1)=-4,f( )= - .f(x)max= f(x)min=-4例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比數(shù)列，且f(0)=-4,則f(x)有最_值（填“大”或“小”）且該值為_。解： f(0)=-4 c=-4 2a、b、c成等比數(shù)列 b2=ac=-4a 而b0 則有a<0從而函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象的開口向下，故有最大值，其最大值為：f(x)max= = =-3.

3、（3）對定義在n,m上的函數(shù)f(x)還可借助導(dǎo)函數(shù)值的符號判定其單調(diào)性，從而求得函數(shù)f(x)在n,m上的最值。例3、已知函數(shù)f(x)= x1,+ 當(dāng)a= 時，求函數(shù)f(x)的最小值 （2004年上海）解：當(dāng)a= 時， f(x)=x+ +2 f/ (x)=1- x1,+ f/(x)>0 f(x)在1，+上是增函數(shù) f(x)在區(qū)間1，+上的最小值是 f(x)min=f(1)=二、有關(guān)三角函數(shù)最值的求法（1）用三角函數(shù)的有界性求最值由于正弦函數(shù)，余弦函數(shù)均是有界函數(shù)，即： -1sinx1 -1cosx1,故在求三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的最值時，可考慮把它轉(zhuǎn)化為同一三角函數(shù)，然后運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求

4、其最值。例4，已知R<-4,則函數(shù)cos2x+R(cosx-1)的最小值是（ ）A、1 B、-2 C、2R+1 D、-2R+1解：y=cos2x+R(cosx-1) =2cos2x+Rcosx-R-1 =2(cosx+ )2-R-1- 而R-4 當(dāng)cosx=1時,ymin=1例5，a、b是不相等的函數(shù)，求y= + 的最大值和最小值。解：y是正值，故使y2達(dá)到最大（或最小）的x值也使y達(dá)到最大（或最?。?。y2=acosx2+bsin2x+2·+asin2x+asin2x+bcos2x=a+b+ab a>0 b>0 (a-b)2>0 0sin2x1當(dāng)sinx=&#

5、177;1,即x= + (kz)時ymax=當(dāng)sinx=0,即x= (kz)時，ymin= +(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性如果f(x)在,上是增函數(shù)，則f(x)在，上有f(x)max=f(),f(x)min=f(x),如果f(x)在,上是減函數(shù)，則f(x)在,上有最大值f(x)，最小值f().例6，在0x 的條件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。解：用二倍角公式及變形公式有：y= -2sinx-3 =2(cos2x-sinx)-1 =2(cos2xcos -sin2xsin )-1 =2cos(2x+ )-10x 2x+ 由余弦函數(shù)的單調(diào)性知：cos(2x+

6、 )在0， 上是減函數(shù)，故豈x=0時有最大值 ，當(dāng)x= 時有最小值-1。cos(2x+ )在 ， 上是增函數(shù)，故當(dāng)x= 時，有最小值-1,當(dāng)x= 時有最大值- 。綜上 當(dāng)x=0時 ,ymax=2× -1=1 當(dāng)x= 時 ,ymin=2x(-1)-1=2-1（3）用換元法求三角函數(shù)的最值利用變量代換，我們可以把三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)最值問題求解，例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值。解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x =(sin

7、4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x) =(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx =1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sinxcosx=sin2x 則-t f(t)=1+2t-t2 =-(t-t)2+2 (-t)當(dāng)t=,即x=k+(kz)時,f(x)max=f(t)max= 當(dāng)t=- ,即x= k+(kz)時,f(x)min=-f(x)max= f(x)min=-三、用均值定理求最值1、均值定理的構(gòu)成的注意事項二元均值不等式：（a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

8、）三元均值不等式：（a>0,b>0，c>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號） n元均值不等式：(a10,a20an0，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時取不等號)在運(yùn)用均值不等式求最值時應(yīng)注意以下三點(diǎn)：i>函數(shù)解析式中各項均為正數(shù)。ii>函數(shù)的解析式中含有變數(shù)的各項的和或積必須有一個定值。iii>含變數(shù)的各項均相等時才能取得最值。2、均值定理在求函數(shù)最值中的應(yīng)用例8、解答下列各題（1）求函數(shù)y=x2+(x>0) 的最小值。（2）求函數(shù)y=2x2+(x>0)的最小值。 （3）求函數(shù)y=6x2-3x3(0<x<3)的最大值。（4）求函數(shù)y=x(1-x

9、2)(0<x<1)的最大值。(5)(05年全國卷)求函數(shù)y=(0<x<)的最小值。分析：若均值定理的某一端為常數(shù)，則當(dāng)不等式的等號能取到時，這個常數(shù)就是另一端的最值，如 ，當(dāng)ab為常數(shù)m>0時，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b有最小值，若a+b為常數(shù)n>0，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，有最大值，較解這些問題的關(guān)鍵是構(gòu)造“定”或“定積”。解：（1）y=x2+=+=3 當(dāng)且僅當(dāng)=，即 x=(x>0)時，ymin=3 (2)x>0 2x2>0 >0 y=2x2+=2x2+=6 當(dāng)且僅當(dāng)2x2=,即x=1時，ymin=6 (3)y=6x2-2x3=2x2(

10、3-x) 0<x<3 3-x>0 >0 y=8··(3-x)8×=8 當(dāng)且僅當(dāng)=3-x,即x=2時，ymax=8(4)0<x<1 x>0 1-x2>0 x(1-x2)>0 y2=x2·(1-x2)2=·2x2(1-x2)(1-x2) =當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1-x2,即x=時，y2有最大值。當(dāng)x=時，ymax=（5）y= =cotx+4tanx 0<x< cotx>0 tanx>0 y=cotx+4tanx=4當(dāng)且僅當(dāng)4tanx=cotx即x=aintan時，ymin=43

11、、運(yùn)用均值定理解應(yīng)用題例9：學(xué)校食堂定期從某糧店以每噸2000元價格購進(jìn)大米，每次購進(jìn)大米需支付運(yùn)輸費(fèi)100元，已知食堂每天需用大米1噸，貯存大米的費(fèi)用為每噸每天2元，假如食堂每次都在用完大米的當(dāng)天購買。（1）該食堂每隔多少天進(jìn)一次大米才能使平均每天所支付的費(fèi)用最少？（2）糧食提出價格優(yōu)惠條件：一次購買不少于20噸時，大米價格可享受九五折優(yōu)惠，問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？請說明理由。解：（1）設(shè)每隔x天購進(jìn)一次大米，因為每天用米一噸，故一次購米x噸，從而庫存總費(fèi)用為2x+(x-1)+2+1=x(x+1)若設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y,則y1=x(x+1)+100+2000=x+20012+200

12、1=2021當(dāng)且僅當(dāng)x= 即x=10時取等號。每隔10天購出一項，才能使每天所付費(fèi)用最少。（2）設(shè)能接受優(yōu)惠條件，則至少每隔20天購米一項，沒每隔七天購米一次，平均每天費(fèi)用為y2元，則y2=t(t+1)+100+2000×95%=t+1901由于t=10不在函數(shù)定義域內(nèi)，教不能使用均值定理。令f(t)=t+1901 (t20) 設(shè)t1 ,t220 ,+)且t1>t2則f(t2)-f(t1)=t2-t1+=(t2-t1)(1-) =t2>t120 t2t1>0 t2t1-100>0 t2t1>0f(t2)-f(t1)>0 即 f(t2)>f(t

13、1)f(t)在20，+上是增函數(shù)。當(dāng)x=20時，y2取得最小值1926元而19262021，故該食堂可接受優(yōu)惠條件。四、運(yùn)用線性規(guī)劃求最值運(yùn)用線性規(guī)劃求最值就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，從而求出最值，無論此類問題是以什么實際問題提出，其解題格式步驟基本不變：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)。（2）由二元一次不等式表示出平面區(qū)域（即可行域）（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而求出最值（求是優(yōu)解時，主要由圖形得出，故應(yīng)準(zhǔn)確作圖）例10、（2005年福建）非負(fù)實數(shù)x、y滿足則x+3y的最大值為_解：約束條件所圍成的區(qū)域， 如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)z=x+3y從左向右平移，最后經(jīng)過的

14、點(diǎn)是（0，3）x+3y的最大值為0+3×3=9例11、（2004年江西）設(shè)實數(shù)x,y滿足則的最大值是_.解：畫出約速條件所圍成的區(qū)域，如圖所示，令 =k，則K的最大值即為過原點(diǎn)且過可行域內(nèi)的一點(diǎn)的直線中，斜率的最大值。由圖形知，直線過點(diǎn)A（1，）時 Kmax=例2，已知 試求（x+1）2+(y+1)2的最大值、最小值，及取得最大、最小值時x、y的值。解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如右圖所示，其區(qū)域的頂點(diǎn)A（2，1），B（3，4），C（1，3）而（X+1）2+（y+1）2表示可行域內(nèi)的動點(diǎn)M（x , y）與定點(diǎn)P（-1，-1）的距離的平方，過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足不在可行域內(nèi)，由圖可

15、知，只有當(dāng)x=2 ,y=1時，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最小值為13，當(dāng)x=3.y=4時，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最大值為41。五、運(yùn)用構(gòu)造求最值構(gòu)造法就是數(shù)學(xué)建模在解題中的應(yīng)用，它要求具有相當(dāng)?shù)幕竟Γ芨鶕?jù)不同的題型，構(gòu)造成我們能夠解決的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得以解決。1、構(gòu)造距離解題例13、求函數(shù)y=+的最小值解：原函數(shù)可變形為：y=函數(shù)y的值可看作點(diǎn)P（x ,o）到點(diǎn)A（1，2）與點(diǎn)B（-1，1）的距離之和，而點(diǎn)P（x ,0）為x軸上的點(diǎn)。即在x軸上取點(diǎn)P使|PA|+|PB|為最小。如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B（-1，-1）連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)P，則PA+P

16、B=ABymin=AB=2、構(gòu)造向量例14、已知：a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=1其中a、b、c、x、y、z均為實數(shù)，求ax+by+cz的最大值與最小值。解：構(gòu)造向量a=(a、b、c)、b=（x、y、z）由題設(shè)引知：|a|2=1， |b|2=1設(shè)a ，b =2，則o，且又-1ax+by+cz1即ax+by+cz的最大值為1，最小值為-13、構(gòu)建圓錐曲線例15：已知ABC的周長C=16cm BC=6cm求ABC面積的最大值解：BC的長為定值，點(diǎn)A到點(diǎn)B與C的距離之和也為定值，故點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)、焦距2C=6cm，長軸長2a=10cm橢圓上，c=3，a=5，b=4由-byb得ABC

17、中BC邊上的高H的取值范圍是0h4ABC的最大值為BC4=12（cm2）六、解幾何中的最值問題1、已知兩定點(diǎn)A（a，b）、B（a2，b2）直線L，在定直線L上求點(diǎn)P使最小，若A、B在直線L的兩旁，連結(jié)A、B交直線L于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；若A、B在直線L的同旁，則求點(diǎn)B關(guān)于L的對稱點(diǎn)B，AB與直線L的交點(diǎn)P即為所求。2、圓C上的動點(diǎn)M與定直線L的距離的最大值與最小值是過圓心C作已知直線L的垂線，垂足為D，交圓C于M1，M2，則M1與M2中較小者為最小值，較大者為最大值。3、運(yùn)用定義求最值例16：已知拋物線X2=2py（p0）及拋物線內(nèi)點(diǎn)A（a，b），F(xiàn)為焦點(diǎn)(如圖)，在拋物上，求點(diǎn)P使最小。分析：過點(diǎn)作拋物線漸近線的垂線AB，垂足不B，交拋物線于P，則由拋物線定義有|PB|=|PF|，|PA|+|PF|=|AB|設(shè)P/為拋物線上除P外另一點(diǎn)，則由三角形三邊之間的關(guān)系得|P/B|+|P/A|AB|點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=b，代入拋