上海中考九年級數(shù)學(xué)知識點分類講解(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上九年級年級數(shù)學(xué)學(xué)科相似三角形知識點1：相似形1圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動2將一個圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形3形狀相同的兩個圖形叫做相似的圖形，即相似形【總結(jié)】1相似圖形的大小不一定相同，如果兩個相似圖形的大小相同，則兩個相似形全等，當(dāng)兩個多邊形是全等形時，它們的對應(yīng)邊的長度的比值都是1；2對于大小不同的兩個相似圖形，可以看作是大（?。┑膱D形由?。ù螅┑膱D形放大（縮小）得到4如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例【注意】1理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”關(guān)系； 2多邊形的相似，要求邊數(shù)相同，形狀相同（對應(yīng)角相

2、等，對應(yīng)邊的長度成比例）知識點2：比例線段1一般來說，兩個數(shù)或兩個同類的量與相除，叫做與的比，記作：（或），其中除以所得的商叫做與的比值如果：的比值等于，那么2兩條線段的長度的比叫做兩條線段的比3如果（或），那么就說成比例其中叫做第一比例項，叫做第二比例項；叫做第三比例項；叫做第四比例項4在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段【注意】要注意比例線段的順序性與單位要統(tǒng)一5如果比例的兩個內(nèi)項（或兩個外項）相同，那么這個相同的項叫做比例中項如（）時，叫做和的比例中項、滿足： 【注意】比例中項的應(yīng)用一定要注意題目中的表述：比如題目中若出現(xiàn)“線

3、段”或“單位”時，值為正值；否則，取正、負(fù)兩個值6比例的基本性質(zhì)：（1）如果，那么 （2）比例線段的比例式中，只要乘積形式不變，的位置可以靈活變化 若，則、【思考】判斷命題“如果，那么”是真命題還是假命題，為什么？7合比性質(zhì)：如果，那么； 如果，那么； 如果，那么； 如果，那么8等比性質(zhì)：如果，那么（）；如果，那么（）【注意】等比性質(zhì)的存在條件9如果點把線段分割成和（>）兩段，其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割點稱為線段的黃金分割點與的比值稱為黃金分割數(shù)，它的近似值為 【注意】1一般來說，一條線段的黃金分割點有兩個；2利用黃金分割時一定是： 知識點3：三角形一邊的平行線1三角形

4、一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例 2三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形 的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例3三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊4三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊【總結(jié)】三角形一邊平行線的定理可以理解為兩個基本圖形：“”字形與“8”字形【注意】在運用判定定理時一定要是兩邊上的比才能得平

5、行。5平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例【總結(jié)】平行線分線段成比例定理可以理解為基本圖形：“井”字形 6平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等知識點4：三角形的重心1三角形三條中線的交點叫做三角形的重心2三角形重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍 知識點5：相似三角形的概念1如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，且它們各有的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形兩個三角形是相似三角形也可以表述為“兩個三角形相似

6、”、“一個三角形與另一個三角形相似” 2對應(yīng)相等的角的頂點是這兩個相似三角形的對應(yīng)頂點，以對應(yīng)頂點為端點的邊是這兩個相似三角形的對應(yīng)邊3相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這個三角形的相似比（或相似系數(shù)）.【注意】 兩個三角形的相似比與表述這兩個三角形相似的順序有關(guān)4兩三角形相似用相似符號“”來表示，讀作“相似于”.例如，在與中，若，則與相似，其中點與點、點與點、點與點分別是對應(yīng)點，記作【注意】用符號表示兩個三角形相似時，通常把對應(yīng)頂點的字母分別寫在三角形記號“”后的相應(yīng)位置上.思考：用符號表示兩個相似三角形相似時，通常把對應(yīng)頂點的字母分別寫在三角形記號“”后

7、的相應(yīng)的位置上.所以 就一定意味著點“”與點“”的對應(yīng)關(guān)系么？若已知“”或“相似于”，除非題目中給出點的對應(yīng)關(guān)系，否則不能夠確定點與點、點與點、點與點分別是對應(yīng)點 【總結(jié)】 全等三角形是相似三角形的特例. 當(dāng)兩個相似三角形的相似比時，這兩個相似三角形就成為全等三角形.兩個全等三角形一定是相似三角形；兩個相似三角形不一定是全等三角形知識點6：相似三角形的判定1三角形相似的傳遞性：如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似2相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似 【總結(jié)】 直線截兩邊、兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似

8、.3相似三角形判定定理1：如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似相似三角形判定定理2：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似相似三角形判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似4直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角 三角形相似.簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個

9、直角三角形相似.【記憶技巧】類比全等三角形的判定“、”、“”、“”、“”，相似的判定可以對照來理解記憶.【注意】通過相似的判定應(yīng)明確：相似只是圖形的放縮，與位置無關(guān)兩個三角形中，如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似注意：因為三角形的高線可能不在三角形內(nèi)部，所以高線不具備相關(guān)的判定推論知識點7：相似三角形的性質(zhì)1 當(dāng)我們知道兩個三角形是相似的，我們能得到什么結(jié)論呢？ 根據(jù)相似三角形的定理，我們可以直接得到相似三角形最基本的性質(zhì)： 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例 【思考】 我們一般從哪些角度來討論一個三角形？ 我們一般從角和邊兩方面出發(fā)來

10、討論三角形，當(dāng)我們知道邊角的對應(yīng)關(guān)系之后，那么相關(guān)的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比，分別與相似比有什么關(guān)系呢？【總結(jié)】 我們由相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例可以聯(lián)想到它們對應(yīng)的特殊線段及周長、面積，這樣就形成了對于“對應(yīng)特殊線段的比”、“周長比”、“面積比”分別與相似比之間的關(guān)系進(jìn)行研究探索的三個問題.整個相似三角形性質(zhì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，就是圍繞這些問題展開.【注意】“相似比”是揭示相似三角形本質(zhì)特征與重要性質(zhì)的一個基本概念，也是有關(guān)幾何證明與計算中經(jīng)常運用的一個數(shù)值2. 我們利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性質(zhì)可以得到：相似三角形性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的和對應(yīng)角

11、平分線的比都等于相似比.三角形的周長是三邊之和，面積可用一邊及這邊上的高來表示，可見兩個相似三角形的周長比、面積比與相似比之間有直接關(guān)系：相似三角形性質(zhì)定理2 相似三角形的周長之比等于相似比.相似三角形性質(zhì)定理3 相似三角形的面積的比等于相似比的平方. 全等三角形的性質(zhì) 相似三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等全等三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線的和對應(yīng)角平分線都相等全等三角形的周長相等.全等三角形的面積相等.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.相似三角形的周長之比等于相似比.相似三角形的面積的比等于相似比的平方.知識點8：向量的

12、有關(guān)概念1規(guī)定了方向的線段叫做有向線段有向線段的方向是從一點到另一點的指向，這時線段的兩個端點有順序，我們把前一點叫做起點，另一點叫做終點，畫圖時在終點處畫上箭頭表示它的方向【思考】我們知道線段與線段是一樣的，那么有向線段與有向線段一樣嗎？如果不一樣，那么它們有什么差別？2既有大小、又有方向的量叫做向量向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）【思考】在數(shù)學(xué)中，時間和速度都是向量嗎？3向量的表示（1）向量可以用有向線段表示，有向線段的長度就表示向量的長度，有向線段的方向就表示向量的方向如果有向線段表示一個向量，通常就直接說向量這個向量的長度記作，它是一個數(shù)量；（2）向量還可以用一個小寫的英文字母

13、在上方加箭頭表示，如、向量的長度記作【注意】（1）用有向線段表示向量時，通常與有向線段的位置無關(guān)，我們把有向線段的起點和終點稱為它所表示的向量的起點和終點；（2）兩條不同的有向線段分別表示的向量，我們就說是“兩個向量”知識點9：向量的線性運算1. 方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量2方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量向量的相反向量用表示3方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量【思考】向量與是什么關(guān)系？4一般地，我們把長度為零的向量叫做零向量，記作 規(guī)定的方向可以是任意的（或者說不確定）；5長度為1的向量叫做單位向量設(shè)為單位向量，則 對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作，則

14、，【注意】（1）表示一個向量，0表示一個數(shù)量，它們是不一樣的；（2）單位向量有無數(shù)個，不同的單位向量是指它們的方向不同1零向量的方向是任意的，與任何向量都平行2平行向量（1）平行向量不具有傳遞性，即根據(jù)，只有在時才可以得到；（2）方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量，也可以叫做共線向量；（3）當(dāng)向量時，直線與直線的位置關(guān)系有兩種：平行或共線銳角的三角比知識點1：銳角的三角比1如圖，在中，直角邊和分別叫做的對邊和鄰邊2（1）直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦（2）直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦（3）直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切

15、 （4）直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個銳角的余切【記憶技巧】正（正對）弦（斜邊）：對邊比斜邊； 余（余鄰“魚鱗”）弦（斜邊）：鄰邊比斜邊知識點2：特殊角的三角比1特殊角的銳角三角比：【記憶技巧】1圖形推導(dǎo)法 2表格記憶法30°45°60°11 知識點3：解直角三角形1在直角三角形中，由已知元素求未知元的過程叫做解直角三角形2在中，90°，則它的三條邊和兩個銳角這五個元素間有以下關(guān)系：（1）銳角之間的關(guān)系：90°；（2）三邊之間的關(guān)系：；（3）邊角之間的關(guān)系：；知識點4：解直角三角形的應(yīng)用1水平線：水平面上的直線以及和水平面平行的直

16、線.2鉛垂線：垂直于水平面的直線，我們通常稱為鉛垂線.3在測量時，如圖，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.4如圖，坡面的鉛垂高度()和水平寬度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作，即. 坡度通常寫成的形式，如11.55坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作. 坡度與坡角之間的關(guān)系: . 1方向角：以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向，旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的小于90°的角，通常表達(dá)成北（南）偏東（西）* 度.若正好為45°，則表示為西（東）南（北）方向.2方位角：從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時針方向到直線的水平角稱為該

17、直線的方位角.方位角的取值范圍為. 二次函數(shù)知識點1：二次函數(shù)一般的，解析式形如（其中是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)【總結(jié)】函數(shù)的定義給出了基本形式，因此我們通?？梢杂么ㄏ禂?shù)法去求解函數(shù)解析式，一般有幾個未知系數(shù)就需要幾個點的坐標(biāo)來求解知識點2：二次函數(shù)的基本性質(zhì)1拋物線（其中是常數(shù)，且）的對稱軸是軸，即直線；頂點是原點拋物線的開口方向由所取之的符號決定，當(dāng)時，它的開口向上，頂點式拋物線的最低點；當(dāng)時，它的開口向下，頂點式拋物線的最高點【注意】拋物線的對稱軸是一條直線，答題時一定要寫直線.2拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是軸，即直線；頂點坐標(biāo)是（0，）.拋物線的開口方向由所取之的符號決定

18、，當(dāng)時，它的開口向上，頂點式拋物線的最低點；當(dāng)時，它的開口向下，頂點式拋物線的最高點3拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是過點（，0）且平行（或重合）于軸的直線，即直線；頂點坐標(biāo)是（，0）當(dāng)時，它的開口向上，頂點式拋物線的最低點；當(dāng)時，它的開口向下，頂點式拋物線的最高點4拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是過點（，0）且平行（或重合）于軸的直線，即直線；頂點坐標(biāo)是（，）當(dāng)時，它的開口向上，頂點式拋物線的最低點；當(dāng)時，它的開口向下，頂點式拋物線的最高點【注意】在二次函數(shù)中，我們常常會做到平移的題目，一般我們在做平移時都會把二次函數(shù)化為頂點式來進(jìn)行平移的求解。.【記憶技巧】一般地，我們通常做二次函

19、數(shù)平移時都會記住“左加右減，上加下減”.其中左右和上下分別代表著平移的方向，若二次函數(shù)向左右平移，則在后進(jìn)行加減，若二次函數(shù)向上下平移，則在后進(jìn)行加減5拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是（，），與軸交點為（0，）.當(dāng)時，它的開口向上，頂點式拋物線的最低點；當(dāng)時，它的開口向下，頂點式拋物線的最高點6一般地，對于拋物線，沿著軸正方向看，可見它的變化情況如下： 當(dāng)時，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)部分是下降的，在對稱軸的右側(cè)部分是上升的； 當(dāng)時，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)部分是上升的，在對稱軸的右側(cè)部分是下降的【注意】圖像的上升或下降，是對圖像變化情況的直觀描述.規(guī)定以軸正方向為參

20、照，一般不說明.圓知識點1：圓和扇形1用字母表示圓的周長，表示直徑長，表示半徑長，那么2圓上任意兩點之間的部分叫做弧3設(shè)圓的半徑長為，圓心角所對的弧長是，那么4設(shè)圓的半徑長為，面積為，那么5由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形6設(shè)組成扇形的半徑長為，圓心角度數(shù)為，弧長是，那么知識點2：圓的基本性質(zhì)一、圓的確定：（一）相關(guān)定義：1圓是平面上到一個定點的距離等于定長的所有點所成的圖形 這個定點是圓心 聯(lián)結(jié)圓心和圓上任意一點的線段是圓的半徑 這個定長是圓的半徑長2在圓所在的平面上，以圓周為分界線，含圓心的部分叫做圓的內(nèi)部（簡稱圓內(nèi)）； 不含圓心的部分叫做圓的外部（簡稱圓外）【總結(jié)

21、】圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，其對稱中心為圓心，對稱軸為過圓心的直線（二）點與圓的位置關(guān)系：1一般來說，對于給定的一個圓，平面上的點與這個圓的位置關(guān)系有三種：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外2設(shè)一個圓的半徑長為，點到圓心的距離為，則點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi)（三）圓的確定：1定理：不在同一直線上的三點確定一個圓2三角形的三個頂點確定一個圓經(jīng)過一個三角形各頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形3如果一個圓經(jīng)過一個多邊形的各頂點，那么這個圓叫做這個多邊形的外接圓，這個多邊形叫做這個圓的內(nèi)接多邊形二、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系：（一

22、）相關(guān)定義：1圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧2聯(lián)結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦過圓心的弦就是直徑3以圓心為頂點的角叫做圓心角4圓的任意一條直徑的兩個端點將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓5大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧6圓心到弦的距離叫做弦心距（二）相關(guān)定理：1定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等2推論：在同圓或等圓中，如果兩個同心角、兩條劣?。ɑ騼?yōu)弧）、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所應(yīng)的其余三組量也分別相等三、垂徑定理：1垂徑定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所

23、對的弧2垂徑定理推論1：如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分 這條弦所對的弧3垂徑定理推論2：如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對的弦4垂徑定理推論3：如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并平分這條弦所對的弧。5垂徑定理推論4：如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦6垂徑定理推論5：如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦知識點3：直線和圓的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)定義：1當(dāng)直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離2當(dāng)直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這時直線叫做圓的切線唯一的公共點叫做切點3當(dāng)直線與圓有兩個公共點（即交點）時，叫做直線與圓相交這時直線叫做圓的割線4根據(jù)直線與圓公共點個數(shù)的情況，相應(yīng)得到直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離，相切，相交二、直線與圓位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系描述： 如果的半徑長為，圓心到直線的距離為直線與相交；直線與相切；直線與相離.三、相關(guān)定理：1切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線知識點4：圓和圓的位置關(guān)系一、相關(guān)定義：1外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做這兩個圓外離 2外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個