年中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題-圖形最值問題探究

1、專題09動(dòng)點(diǎn)類題目圖形最值問題探究題型一：矩形中的相像求解例 1.（ 2021·紹興） 如圖，矩形abcd 中， ab=a， bc=b，點(diǎn) m、 n 分別在邊ab、cd上，點(diǎn) e、f 分別在邊bc、ad 上， mn 、ef 交于點(diǎn) p. 記 k=mn :ef.（ 1）如 a： b 的值為 1，當(dāng) mn ef 時(shí)，求 k 的值 .（ 2）如 a： b 的值為1 ，求 k 的最大值和最小值.2（ 3）如 k 的值為 3，當(dāng)點(diǎn) n 是矩形的頂點(diǎn)，mpe =60°， mp =ef=3 pe 時(shí)，求 a：b 的值.afdnmbec題型二：二次函數(shù)中幾何圖形最值求解例 2.（ 2021

2、·衡陽） 如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c 的圖象與x 軸交于點(diǎn)a（ 1， 0）和點(diǎn) b（3， 0），與 y 軸交于點(diǎn)n，以 ab 為邊在 x 軸上方作正方形abcd ，點(diǎn) p 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接 cp，過點(diǎn) p 作 cp 的垂線與y 軸交于點(diǎn) e（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ob（點(diǎn) p 不與 o、b 重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段oe 的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)m ，連接 mn 、mb 請(qǐng)問： mbn 的面積是否存在最大值？如存在，求出此時(shí)點(diǎn)m 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由1題型三：二次函數(shù)中面積最值的求解例 3

3、.（ 2021·自貢） 如圖，已知直線ab 與拋物線c : yax 22xc 相交于點(diǎn)a（ -1,0）和點(diǎn) b（ 2,3）兩點(diǎn) .（1）求拋物線c 函數(shù)表達(dá)式；（2）如點(diǎn) m 是位于直線ab 上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以 ma 、mb 為相鄰的兩邊作平行四邊 形 manb ，當(dāng)平行四邊形manb 的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形manb 的面積 s 及點(diǎn) m的坐標(biāo)；（3）在拋物線c 的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)f，使拋物線c 上任意一點(diǎn)p 到點(diǎn) f 的距離等于到直線 y17的距離，如存在，求出定點(diǎn)f 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由.4題型四：反比例函數(shù)中面積最值的求解例 4.（ 2021·

4、;揚(yáng)州一模）如圖 1，反比例函數(shù)y= k （ x 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（ 23， 1），射x線 ab 與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)b（ 1，a），射線 ac 與 y 軸交于點(diǎn)c， bac=75°，ad y軸，垂足為d （1）求 k 的值；（2）求 tan dac 的值及直線ac 的解析式；（3）如圖 2， m 是線段 ac 上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過m 作直線 l x 軸，與 ac 相交于點(diǎn) n，連接 cm，求 cmn 面積的最大值2題型五：反比例函數(shù)中面積最值的求解例 5.（ 2021·達(dá)州） 如圖 1，已知拋物線y= x2+bx+c 過點(diǎn) a1,0， b 3,0.（1）

5、求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)c 的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn) d 是 x 軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan（ cao + cdo ） =4 時(shí)，求點(diǎn)d 的坐標(biāo)；（3）如圖 2，拋物線與y 軸交于點(diǎn)e，點(diǎn) p 是該拋物線上位于其次象限的點(diǎn)，線段pa 交be 于點(diǎn) m，交 y 軸于點(diǎn) n， bmp 和 emn 的面積分別為m、 n，求 m n 的最大值 .題型六：二次函數(shù)中最值及最短路徑題型例 6.（2021·綿陽） 在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（ a0）的圖象向右平移1 個(gè)單位，再向下平移2 個(gè)單位，得到如下列圖的拋物線，該拋物線與x 軸交于點(diǎn)a、 b（點(diǎn) a在點(diǎn) b 的左側(cè)） ，oa=1，經(jīng)過點(diǎn) a

6、 的一次函數(shù)y=kx+b（ k0）的圖象與y 軸正半軸交于點(diǎn)c，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為d， abd 的面積為5（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)e 在一次函數(shù)的圖象下方，求ace 面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）如點(diǎn) p 為 x 軸上任意一點(diǎn)，在（2）的結(jié)論下，求pe+ 3 pa 的最小值53例 7.（ 2021·濰坊） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a（ 4， 0），點(diǎn) b（0， 4）， abo 的中線 ac 與 y 軸交于點(diǎn)c，且 m 經(jīng)過 o， a， c 三點(diǎn)（1）求圓心m 的坐標(biāo)；（2）如直線ad 與 m 相切于點(diǎn)a，交

7、 y 軸于點(diǎn) d，求直線ad 的函數(shù)表達(dá)式；（3）在過點(diǎn)b 且以圓心m 為頂點(diǎn)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)p，過點(diǎn) p 作 pe y 軸，交直線ad于點(diǎn) e如以 pe 為半徑的 p 與直線 ad 相交于另一點(diǎn)f 當(dāng) ef 45 時(shí)，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)4答案與解析題型一：矩形中的相像求解例 1.（ 2021·紹興） 如圖，矩形abcd 中， ab=a， bc=b，點(diǎn) m、 n 分別在邊ab、cd上，點(diǎn) e、f 分別在邊bc、ad 上， mn 、ef 交于點(diǎn) p. 記 k=mn :ef.（ 1）如 a： b 的值為 1，當(dāng) mn ef 時(shí)，求 k 的值 .（ 2）如 a： b 的值為1 ，求 k 的

8、最大值和最小值.2（ 3）如 k 的值為 3，當(dāng)點(diǎn) n 是矩形的頂點(diǎn)，mpe =60°， mp =ef=3 pe 時(shí)，求 a：b 的值.afdnmbec【分析】（ 1）當(dāng) a： b=1 時(shí)，可得四邊形abcd 為正方形，由mn ef ，可證 mn =ef ，即 k=1；（ 2）先確定 mn 和 ef 的取值范疇， 當(dāng) mn 取最大值， ef 取最小值時(shí)， k 的值最大，否就反之；（ 3）依據(jù) n 是矩形頂點(diǎn)，分兩種情形爭論，即n 分別與 d 點(diǎn)和 c 點(diǎn)重合，依據(jù) 不同圖形求解 .【答案】見解析.【解析】解： （ 1）當(dāng) a：b=1 時(shí)，即 ab=bc，四邊形 abcd 是矩形，四邊

9、形 abcd 是正方形，過 f 作 fg bc 于 g，過 m 作 mh cd 于 h，如下圖所示，afdnmhbgec mn ef ， nmh = efg ，5 mhn = fge =90°， mh =fg ， mnh feg ， mn=ef ，即 k=1；（ 2）由題意知： b=2a，所以得： aef 5a ，2amn 5a ,所以當(dāng) mn 取最大值， ef 取最小值時(shí)， k 取最大值，為5 ；25當(dāng) mn 取最小值， ef 取最大值時(shí)，k 取最小值，為；5（ 3）如下圖所示，afdnpmbce連接 fn ，me ，設(shè) pe=x，就 ef =mp =3x， pf=2x，mn =3

10、ef=9 x， pn=6x， pfpnpepm又 fpn = mpe ， fpn epm ， pfn= pem ， fn me ，當(dāng) n 點(diǎn)與 d 點(diǎn)重合時(shí)，由fn me 得， m 點(diǎn)與 b 點(diǎn)重合，afd（ n ）phbc（m ）e過 f 作 fh bd 于 h ， mpe =60°，6 pfh =30°， ph=x， fh =3x ， bh=bp+ph=4x， dh =5x，3在 rt dfh 中， tan fdh =，53即 a:b=;5當(dāng) n 點(diǎn)與 c 點(diǎn)重合時(shí)，過afmh pbedc（n ）過點(diǎn) e 作 eh mn 于 h，連接 em ，就 ph =x，eh=3x

11、 ， ch =pc+ph =13x，在 rt ech 中， tanech =3 ，13 me fc ， meb = fcb= cfd ， b= d， meb cfd ， cdfcmbmecd即 a:b=2,2bm23;bcbc13綜上所述， a:b 的值為35或 23 .13題型二：二次函數(shù)中幾何圖形最值求解例 2.（ 2021·衡陽） 如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c 的圖象與x 軸交于點(diǎn)a（ 1， 0）和點(diǎn) b（3， 0），與 y 軸交于點(diǎn)n，以 ab 為邊在 x 軸上方作正方形abcd ，點(diǎn) p 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接 cp，過點(diǎn) p 作 cp 的垂線與y 軸交于點(diǎn) e（1）求

12、該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；7（2）當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ob（點(diǎn) p 不與 o、b 重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段oe 的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)m ，連接 mn 、mb 請(qǐng)問： mbn 的面積是否存在最大值？如存在，求出此時(shí)點(diǎn)m 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由【分析】（ 1）將點(diǎn) a、b 的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求解；（ 2）由 poe cbp 得出比例線段，可表示 oe 的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段oe 的最大值；（3）過點(diǎn) m 作 mh y軸交 bn 于點(diǎn) h，由 smnb sbmh +smnh 即可求解【答案】見解析.【解析】解： （ 1） 拋物線

13、y x2+bx+c 經(jīng)過 a（ 1， 0）， b（ 3， 0），1bc0，93bc0b 2解得：，c 3拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y x22x 3；（2）由題意知：ab oa+ob 4，在正方形 abcd 中， abc 90°， pc be， ope+ cpb 90°，cpb + pcb 90°， ope pcb，又 eop pbc 90°， poe cbp， bcop ，bpoe設(shè) op x，就 pb3 x，84x，3xoeoe 1x23 x21x39 ，44216339當(dāng) x時(shí)，即 op =時(shí)線段 oe 長有最大值，最大值為2216（3）存在如圖，過點(diǎn)m

14、 作 mh y 軸交 bn 于點(diǎn) h，n 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3），設(shè)直線 bn 的解析式為ykx+b，3kb0，b3直線 bn 的解析式為yx 3，設(shè) m （ m， m22m 3），就 h（ m， m 3），mh m 3（ m2 2m3） m2+3 m，smnb sbmh +smnh 1m23m21m327 ，2228a 3 時(shí)， mbn 的面積有最大值，最大值是27，此時(shí) m 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 ，15 ）2824題型三：二次函數(shù)中面積最值的求解例 3.（ 2021·自貢） 如圖，已知直線ab 與拋物線c : yax 22xc 相交于點(diǎn)a（ -1,0）和點(diǎn) b（ 2,3）兩點(diǎn) .（1）

15、求拋物線c 函數(shù)表達(dá)式；（2）如點(diǎn) m 是位于直線ab 上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以 ma 、mb 為相鄰的兩邊作平行四邊 形 manb ，當(dāng)平行四邊形manb 的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形manb 的面積 s 及點(diǎn) m9的坐標(biāo)；（3）在拋物線c 的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)f，使拋物線c 上任意一點(diǎn)p 到點(diǎn) f 的距離等于到直線 y17的距離，如存在，求出定點(diǎn)f 的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由.4【答案】見解析.【解析】解： （ 1）把 a（ -1,0），b（ 2,3）代入拋物線得：a2c04a4c3a1解得c3拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x+3（2） a（ -1,0）， b（ 2,3），直線

16、ab 的解析式為：y=x+1，如下圖所示，過m 作 mn y 軸交 ab 于 n，設(shè) m m, m2+2m+3， nm,m+1 ，（ -1 m2）mn = m2+m+2，bas abm=s amn+s bmn = 1 xx mn2s abm= 1 m2m233 m1 227 ，2228當(dāng) m1時(shí)， abm 的面積有最大值27 ，而 smanb =2s abm=27 ，此時(shí)17284m ,22101,（3）存在，點(diǎn)f15 4理由如下：拋物線頂點(diǎn)為d，就 d（ 1,4），就頂點(diǎn) d 到直線 y171，的距離為44設(shè) f 1, n 、p x,x22 x3 ，設(shè) p 到直線 y17的距離為pg.4就

17、pg= 17x22 x3x22x5 ，44p 為拋物線上任意一點(diǎn)都有pg=pf，當(dāng) p 與頂點(diǎn) d 重合時(shí)，也有pg=pf .此時(shí) pg=1 ，即頂點(diǎn)d 到直線 y4171的距離為，44pf =df = 1 ，4 f 1, 15 ，4pg=pf ，pg2=pf 2， pf 2 x1215x22x32 x12x22x3 2pg2 x22 x445 24 x1215x22 x32 x12 x22 x32x22 x5 2444整理化簡可得0x=0，當(dāng) f 1,154時(shí)，無論 x 取任何實(shí)數(shù)，均有pg=pf .題型四：反比例函數(shù)中面積最值的求解例 4.（ 2021·揚(yáng)州一模）如圖 1，反比例

18、函數(shù)y=k （ x 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（23， 1），x射線 ab 與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)b（ 1， a），射線 ac 與 y 軸交于點(diǎn)c， bac=75°， ad y 軸，垂足為d（1）求 k 的值；（2）求 tan dac 的值及直線ac 的解析式；（3）如圖 2， m 是線段 ac 上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過m 作直線 l x 軸，與 ac 相交于點(diǎn) n，連接 cm，求 cmn 面積的最大值11【答案】見解析.【解析】 解：（ 1） 將 a（23 ， 1）代入反比例函數(shù)y k ，xk 23 ；（2）由（ 1）知，反比例函數(shù)解析式為y 23 ，x點(diǎn) b（ 1， a）在反比

19、例函數(shù)y 23x的圖象上，a 23 ，點(diǎn) b（ 1， 23 ）過 b 作 be ad 于 e，如下圖所示，就 aebe 23 1 abe bae 45° 又 bac75°， dac 30°dc tan30°·ad323 2，3oc 1， 即 c（ 0， 1） 設(shè)直線 ac 的解析式為ykx+b1223kb1 ，b13解得k3b1直線 ac 的解析式為y3 x 13（3）設(shè) m （ m， 23m）， n（ m，3 m 1）3就 mn 23 （3 m 1） 233 m+1，m3m3scmn 1 （ 23 3 m+1） mm2+m+2m3+3 （ m

20、3 ） 293628當(dāng) m3 時(shí)， cmn 的面積有最大值，最大值為93 .28題型五：反比例函數(shù)中面積最值的求解例 5.（ 2021·達(dá)州） 如圖 1，已知拋物線y= x2+bx+c 過點(diǎn) a1,0， b 3,0.（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)c 的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn) d 是 x 軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan（ cao + cdo ） =4 時(shí)，求點(diǎn)d 的坐標(biāo)；（3）如圖 2，拋物線與y 軸交于點(diǎn)e，點(diǎn) p 是該拋物線上位于其次象限的點(diǎn)，線段pa 交be 于點(diǎn) m，交 y 軸于點(diǎn) n， bmp 和 emn 的面積分別為m、 n，求 m n 的最大值 .【答案】見解析.+bx+c，【解析】解：

21、（ 1）把點(diǎn)（ 1，0），（ 3， 0）代入 y x201bc得，093bc解得 b 2， c 3，+4 ，y x22x+3 （ x+1） 2此拋物線解析式為：y x22x+3，頂點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（ 1， 4）；13（2）由（ 1）知：拋物線對(duì)稱軸為x 1，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x 軸交于點(diǎn) h ， h（ 1， 0），在 rt cho 中， ch 4， oh 1，tan coh choh4， coh cao + aco ，當(dāng) aco cdo 時(shí)，tan（ cao +cdo ） tan coh 4， 如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)d 在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)， aco cdo ， cao cao ， aoc acd ， ac

22、ao ， adacac 25 ， ao 1，ad 20， od 19，d （ 19， 0）；當(dāng)點(diǎn) d 在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)d 關(guān)于直線x 1 的對(duì)稱點(diǎn)d'的坐標(biāo)為（ 17， 0），點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（19，0）或（ 17， 0）；（3）設(shè) p（ a， a2 2a+3），設(shè)直線pa 的解析式為：y=kx+b，將 p（ a， a2 2a+3）， a（ 1， 0）代入 y kx+b，akba22a3，kb0解得， k a 3， b a+3 ，y（ a 3） x+a+3， 當(dāng) x 0 時(shí)， y a+3，n（ 0，a+3），14如下圖所示，m=s bpm sbpa s 四邊形 bmno saon，

23、n=semn sebo s 四邊形 bmno，m n sbpa sebo saon 1 ×4×（ a2 2a+3） 1 ×3×3 1 ×1×（ a+3）2+ 2（ a+ 9 ） 282281 ，32當(dāng) a 9 時(shí)， m n 有最大值 81 .832題型六：二次函數(shù)中最值及最短路徑題型例 6.（2021·綿陽） 在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（ a0）的圖象向右平移1 個(gè)單位，再向下平移2 個(gè)單位，得到如下列圖的拋物線，該拋物線與x 軸交于點(diǎn)a、 b（點(diǎn) a在點(diǎn) b 的左側(cè)） ，oa=1，經(jīng)過點(diǎn) a 的一次函數(shù)y=k

24、x+b（ k0）的圖象與y 軸正半軸交于點(diǎn)c，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為d， abd 的面積為5（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)e 在一次函數(shù)的圖象下方，求ace 面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）如點(diǎn) p 為 x 軸上任意一點(diǎn)，在（2）的結(jié)論下，求pe+ 3 pa 的最小值5【答案】見解析.【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的拋物線解析式為y=a（ x-1）2 -2，oa=1，15點(diǎn) a 的坐標(biāo)為（ -1，0），代入拋物線的解析式得，4a-2=0 ，得： a= 1 ，2拋物線的解析式為y1x1 22 ，即 y1 x2x3 222令 y=0，解得 x1=-1 ，

25、 x2 =3，b（ 3，0），ab =oa +ob=4， abd 的面積為5，s1abd=2 ab·yd=5yd = 5 ，251 x 2x3，解得 x1=-2， x2=4，222d （ 4， 5 ），2設(shè)直線 ad 的解析式為y=kx+b，4kbkb5k12 ，解得：2 ，0b12直線 ad 的解析式為：y= 1 x+ 1 .22（2）過點(diǎn) e 作 em y 軸交 ad 于 m ，如下圖所示，設(shè) e（ a， 1 a2 a 3 ）， m （a， 1 a+ 1 ），2222me= 1 a2+ 3 a+2 ，22s ace=s ame scme = 1 （ a2 3a 4） = 1 （ a 3 ） 2+ 25 ，4421616當(dāng) a= 3 時(shí)， ace 的面積有最大值，最大值是25 ，此時(shí) e 點(diǎn)坐標(biāo)為（3 ，15 ）21628（3）作 e 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)f，連接 ef 交 x 軸于點(diǎn) g，過點(diǎn) f 作 fh ae 于點(diǎn) h，交軸于點(diǎn) p，ag= 5 ， eg= 15 ，28ag4 eg3 , age= ahp =90°sin eag=ph = 3 ap，5pheg3，apae5e、f 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，pe =pf