年高考圓錐曲線大題

1、2021 年高考圓錐曲線大題一解答題（共13 小題）1已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c：+=1 交于 a，b 兩點(diǎn)，線段 ab 的中點(diǎn)為 m（ 1，m ）（m 0）（ 1）證明： k；（ 2）設(shè) f 為 c 的右焦點(diǎn)， p 為 c 上一點(diǎn)，且+=證明： | ， | ，| 成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差2已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c：+=1 交于 a，b 兩點(diǎn)，線段 ab 的中點(diǎn)為 m（ 1，m ）（m 0）（ 1）證明： k；（ 2）設(shè) f 為 c 的右焦點(diǎn)， p為 c 上一點(diǎn)，且+=，證明： 2| =|+| 第1頁（共 22頁）3雙曲線=1，f1 、f2 為其左右焦點(diǎn)， c 是

2、以 f2 為圓心且過原點(diǎn)的圓（ 1）求 c 的軌跡方程；（ 2）動點(diǎn) p 在 c 上運(yùn)動， m 滿意=2，求 m 的軌跡方程4設(shè)橢圓 c：+y2=1 的右焦點(diǎn)為 f，過 f 的直線 l 與 c 交于 a， b 兩點(diǎn)，點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（ 2，0）（ 1）當(dāng) l 與 x 軸垂直時，求直線am 的方程；（ 2）設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： oma=omb第2頁（共 22頁）5已知橢圓 m ：+=1（ab0）的離心率為，焦距為 2斜率為 k 的直線 l 與橢圓 m 有兩個不同的交點(diǎn)a，b（ ）求橢圓 m 的方程；（ ）如 k=1，求| ab| 的最大值；（ ）設(shè) p（ 2，0），直線 pa與橢圓 m 的

3、另一個交點(diǎn)為c，直線 pb 與橢圓 m 的另一個交點(diǎn)為 d如c，d 和點(diǎn) q（，）共線，求 k6設(shè)常數(shù) t2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn) f（2，0），直線 l ：x=t，曲線 ：y2=8x（ 0 xt ， y0）l 與 x 軸交于點(diǎn) a、與 交于點(diǎn) b p、q 分別是曲線 與線段 ab 上的動點(diǎn)（ 1）用 t 表示點(diǎn) b 到點(diǎn) f 的距離；（ 2）設(shè) t=3，| fq| =2，線段 oq 的中點(diǎn)在直線 fp上，求 aqp的面積；（ 3）設(shè) t=8，是否存在以 fp、fq為鄰邊的矩形 fpeq，使得點(diǎn) e 在 上？如存在，求點(diǎn)p 的坐標(biāo)；如不存在，說明理由第3頁（共 22頁）7已知拋物線

4、c：y2=2px 經(jīng)過點(diǎn) p（1，2），過點(diǎn) q（0，1）的直線 l 與拋物線 c 有兩個不同的交點(diǎn)a， b，且直線 pa交 y 軸于 m ，直線 pb 交 y 軸于 n（ ）求直線 l 的斜率的取值范疇；（ ）設(shè) o 為原點(diǎn)，= ，=，求證：+為定值8設(shè)橢圓+=1（ab0）的右頂點(diǎn)為 a，上頂點(diǎn)為 b已知橢圓的離心率為， | ab| =（ ）求橢圓的方程；（ ）設(shè)直線 l：y=kx（k0）與橢圓交于 p， q 兩點(diǎn)， 1 與直線 ab 交于點(diǎn) m ，且點(diǎn) p， m 均在第四象限如 bpm 的面積是 bpq面積的 2 倍，求 k 的值9設(shè)拋物線 c：y2=4x 的焦點(diǎn)為 f，過 f 且斜率為

5、k（ k 0）的直線 l 與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)， | ab| =8（ 1）求 l 的方程；（ 2）求過點(diǎn) a，b 且與 c 的準(zhǔn)線相切的圓的方程第4頁（共 22頁）10設(shè)橢圓+=1（ a b 0）的左焦點(diǎn)為 f，上頂點(diǎn)為 b已知橢圓的離心率為，點(diǎn) a 的坐標(biāo)為（ b，0），且| fb| .| ab| =6（ ）求橢圓的方程；（ ）設(shè)直線 l：y=kx（ k 0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為p，且 l 與直線 ab 交于點(diǎn) q如=sin aoq（o 為原點(diǎn)），求 k 的值11已知橢圓 c：，直線 l：y=kx+1（k0）與橢圓 c 相交于 a， b 兩點(diǎn)， d 為 ab 的中點(diǎn)（ 1）如直線

6、l 與直線 od（ o 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為，求橢圓 .的方程；（ 2）在（ 1）的條件下， y 軸上是否存在定點(diǎn)m 使得當(dāng) k 變化時，總有 amo=bmo（o 為坐標(biāo)原點(diǎn)）如存在，求出定點(diǎn)m 的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由第5頁（共 22頁）12已知橢圓 ：的離心率為，橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4（ ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ ）直線 l 與橢圓 交于 a，b 兩點(diǎn)， ab 的中點(diǎn) m 在圓 x2 +y2=1 上，求 aob（o 為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值13如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知橢圓+=1（ab0）的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為 4（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2

7、）已知橢圓的左頂點(diǎn)為a，點(diǎn) m 在圓 x2+y2=上，直線 am 與橢圓相交于另一點(diǎn)b，且 aob的面積是 aom 的面積的 2 倍，求直線 ab 的方程第6頁（共 22頁）2021 年高考圓錐曲線大題參考答案與試題解析一解答題（共13 小題） 1已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c：+=1 交于 a，b 兩點(diǎn)，線段 ab 的中點(diǎn)為 m（ 1，m ）（m 0）（ 1）證明： k；（ 2）設(shè) f 為 c 的右焦點(diǎn)， p 為 c 上一點(diǎn)，且+=證明： | ， | ，| 成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差【解答】 解：（1）設(shè) a（ x1 ，y1），b（x2，y2），線段 ab 的中點(diǎn)為 m （1，m）

8、， x1+x2=2，y1+y2=2m將 a，b 代入橢圓 c：+=1 中，可得，兩式相減可得， 3（ x1 +x2）（x1x2）+4（y1 +y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2） +8m（y1 y2）=0， k=點(diǎn) m（ 1，m）在橢圓內(nèi)，即， 解得 0m（ 2）證明：設(shè) a（x1， y1）， b（ x2，y2），p（x3，y3），可得 x1+x2=2，+=，f（1，0）， x11+x21+x3 1=0，y1+y2+y3=0， x3=1，y3=（ y1+y2） = 2m第7頁（共 22頁） m0，可得 p 在第四象限，故y3=，m=，k= 1由橢圓的焦半徑公式得就| fa| =aex1=

9、2x1， | fb| =2x2，| fp| =2x3=就| fa|+| fb| =4， | fa|+| fb| =2| fp| ，聯(lián)立，可得 | x1x2| =所以該數(shù)列的公差d 滿意 2d=| x1 x2| =，該數(shù)列的公差為±2已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c：+=1 交于 a，b 兩點(diǎn)，線段 ab 的中點(diǎn)為 m（ 1，m ）（m 0）（ 1）證明： k；（ 2）設(shè) f 為 c 的右焦點(diǎn)， p為 c 上一點(diǎn)，且+=，證明： 2| =|+| 【解答】 解：（1）設(shè) a（ x1 ，y1），b（x2，y2），線段 ab 的中點(diǎn)為 m （1，m）， x1+x2=2，y1+y2=2m

10、將 a，b 代入橢圓 c：+=1 中，可得，兩式相減可得， 3（ x1 +x2）（x1x2）+4（y1 +y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2） +8m（y1 y2）=0， k=點(diǎn) m（ 1，m）在橢圓內(nèi)，即， 解得 0m k=第8頁（共 22頁）（ 2）證明：設(shè) a（x1， y1）， b（ x2，y2），p（x3，y3），可得 x1+x2=2+=，f（1，0）， x11+x21+x3 1=0， x3=1由橢圓的焦半徑公式得就| fa| =aex1=2x1， | fb| =2x2，| fp| =2x3=就| fa|+| fb| =4， | fa|+| fb| =2| fp| ，3雙曲線=1

11、，f1 、f2 為其左右焦點(diǎn)， c 是以 f2 為圓心且過原點(diǎn)的圓（ 1）求 c 的軌跡方程；（ 2）動點(diǎn) p 在 c 上運(yùn)動， m 滿意=2，求 m 的軌跡方程【解答】 解：（1）由已知得 a2=12，b2=4，故 c=4，所以 f1（ 4，0）、f2（4，0），由于 c 是以 f2 為圓心且過原點(diǎn)的圓，故圓心為（4，0），半徑為 4，所以 c 的軌跡方程為（ x4）2+y2=16；（ 2）設(shè)動點(diǎn) m （x，y），p（x0，y0）， 就=（x+4，y），由，得（ x+4，y）=2（ x0x，y0y），即，解得，由于點(diǎn)p 在 c 上，所以，代入得化簡得，4設(shè)橢圓 c：+y2=1 的右焦點(diǎn)為 f

12、，過 f 的直線 l 與 c 交于 a， b 兩點(diǎn)，點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（ 2，0）（ 1）當(dāng) l 與 x 軸垂直時，求直線am 的方程；第9頁（共 22頁）（ 2）設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： oma=omb【解答】 解：（1）c=1， f（ 1， 0）， l 與 x 軸垂直， x=1，由，解得或， a（ 1.），或（ 1，），直線 am 的方程為 y=x+，y=x，證明：（2）當(dāng) l 與 x 軸重合時， oma=omb=°0 ，當(dāng) l 與 x 軸垂直時， om 為 ab 的垂直平分線， oma=omb， 當(dāng) l 與 x 軸不重合也不垂直時，設(shè) l 的方程為 y=k（x1）， k 0，

13、a（x1， y1）， b（x2，y2），就 x1 ，x2 ，直線 ma， mb 的斜率之和為 kma，kmb 之和為 kma+kmb=+，由 y1=kx1 k， y2 =kx2k 得 kma+kmb=，將 y=k（x1）代入+y2=1 可得（ 2k2+1）x24k2x+2k22=0， x1+x2=，x1x2=， 2kx1x23k（x1+x2 ）+4k=（4k34k12k3+8k3+4k）=0 從而 kma+kmb=0，故 ma，mb 的傾斜角互補(bǔ)， oma= omb， 綜上 oma=omb5已知橢圓 m ：+=1（ab0）的離心率為，焦距為 2斜率為 k 的直線 l 與橢圓 m 有第10頁（共

14、 22頁）兩個不同的交點(diǎn)a，b（ ）求橢圓 m 的方程；（ ）如 k=1，求| ab| 的最大值；（ ）設(shè) p（ 2，0），直線 pa與橢圓 m 的另一個交點(diǎn)為c，直線 pb 與橢圓 m 的另一個交點(diǎn)為 d如c，d 和點(diǎn) q（，）共線，求 k【解答】 解：（）由題意可知： 2c=2，就 c=，橢圓的離心率e=，就 a=，b2=a2 c2=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（ ）設(shè)直線 ab 的方程為： y=x+m， a（ x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立，整理得： 4x2+6mx+3m23=0， =（ 6m） 24× 4×3（ m21） 0，整理得： m2 4，x1+x2=，x1x

15、2=， | ab| =，當(dāng) m=0 時， | ab| 取最大值，最大值為；（ ）設(shè)直線 pa的斜率 kpa=，直線 pa的方程為： y=（x+2），11聯(lián)立，消去 y 整理得：（x 2+4x1 +4+3y12）x2+12y12x+（12y123x 212x1 12）=0，1由代入上式得，整理得： （4x1+7）x2+（124x12）x（ 7x 2+12x1）=0， x1.xc=，xc=，就 yc=（+2） =， 就 c（，），同理可得： d（，），由 q（，），就=（，），=（，），第11頁（共 22頁）由與三點(diǎn)共線，就×=×，整理得： y2x2=y1x1，就直線 ab 的

16、斜率 k=1， k 的值為 16設(shè)常數(shù) t2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn) f（2，0），直線 l ：x=t，曲線 ：y2=8x（ 0 xt ，y0）l 與 x 軸交于點(diǎn) a、與 交于點(diǎn) b p、q 分別是曲線 與線段 ab 上的動點(diǎn)（ 1）用 t 表示點(diǎn) b 到點(diǎn) f 的距離；（ 2）設(shè) t=3，| fq| =2，線段 oq 的中點(diǎn)在直線 fp上，求 aqp的面積；（ 3）設(shè) t=8，是否存在以 fp、fq為鄰邊的矩形 fpeq，使得點(diǎn) e 在 上？如存在，求點(diǎn)p 的坐標(biāo)；如不存在，說明理由【解答】 解：（1）方法一：由題意可知：設(shè)b（ t，2t），就| bf| =t+2， | bf| =

17、t+2；方法二：由題意可知：設(shè)b（t ，2t ），由拋物線的性質(zhì)可知：| bf| =t+=t+2， | bf| =t+2；（ 2） f（ 2， 0），| fq| =2， t=3，就| fa| =1， | aq| =， q（ 3，），設(shè) oq 的中點(diǎn) d， d（，），kqf=，就直線 pf方程： y=（x2），聯(lián)立，整理得： 3x2 20x+12=0，解得： x=，x=6（舍去）， aqp的面積 s=××=；第12頁（共 22頁）（ 3）存在，設(shè) p（，y），e（，m），就 kpf=，kfq=，直線 qf 方程為 y=（x 2）， yq=（8 2） =，q（8，），依據(jù)+=，

18、就 e（+6，），（）2=8（+6），解得： y2=，存在以 fp、fq為鄰邊的矩形fpeq，使得點(diǎn) e 在 上，且 p（，）7已知拋物線 c：y2=2px 經(jīng)過點(diǎn) p（1，2），過點(diǎn) q（0，1）的直線 l 與拋物線 c 有兩個不同的交點(diǎn)a， b，且直線 pa交 y 軸于 m ，直線 pb 交 y 軸于 n（ ）求直線 l 的斜率的取值范疇；（ ）設(shè) o 為原點(diǎn)，= ，=，求證：+為定值【解答】 解：（）拋物線 c：y2=2px 經(jīng)過點(diǎn) p（1，2）， 4=2p，解得 p=2，設(shè)過點(diǎn)（ 0， 1）的直線方程為y=kx+1， 設(shè) a（x1，y1），b（x2， y2 ）第13頁（共 22頁）聯(lián)立

19、方程組可得，消 y 可得 k2x2+（2k4）x+1=0， =（2k 4） 24k20，且 k 0 解得 k 1， 且 k0，x1+x2=，x1x2 =，又 pa、pb要與 y 軸相交，直線l 不能經(jīng)過點(diǎn)（ 1， 2），即 k 3，故直線 l 的斜率的取值范疇（，3）（ 3，0）（ 0， 1）；（ ）證明：設(shè)點(diǎn) m （ 0， ym），n（0，yn），就=（0，ym 1），=（ 0， 1）由于= ，所以 ym1= ym 1，故 =1ym，同理 =1yn，直線 pa的方程為 y 2=（x1）=（ x 1） =（x 1），令 x=0，得 ym=，同理可得 yn=，因?yàn)?=+=+=2，+=2，+為定值

20、第14頁（共 22頁）8設(shè)橢圓+=1（ab0）的右頂點(diǎn)為 a，上頂點(diǎn)為 b已知橢圓的離心率為， | ab| =（ ）求橢圓的方程；（ ）設(shè)直線 l：y=kx（k0）與橢圓交于 p， q 兩點(diǎn)， 1 與直線 ab 交于點(diǎn) m ，且點(diǎn) p， m 均在第四象限如 bpm 的面積是 bpq面積的 2 倍，求 k 的值【解答】 解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知可得，又 a2 =b2+c2，解得 a=3， b=2，橢圓的方程為：，（ ）設(shè)點(diǎn) p（x1， y1）， m （x2，y2），（x2x1 0）就 q（ x1， y1） bpm 的面積是 bpq面積的 2 倍， | pm| =2| pq| ，從而

21、x2x1=2 x1（ x1） ， x2=5x1，易知直線 ab 的方程為： 2x+3y=6 由，可得0由，可得，.，. 18k2+25k+8=0，解得 k=或 k=第15頁（共 22頁）由0可得 k，故 k=，9設(shè)拋物線 c：y2=4x 的焦點(diǎn)為 f，過 f 且斜率為 k（ k 0）的直線 l 與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)， | ab| =8（ 1）求 l 的方程；（ 2）求過點(diǎn) a，b 且與 c 的準(zhǔn)線相切的圓的方程【解答】 解：（1）方法一：拋物線c：y2=4x 的焦點(diǎn)為 f（1，0），設(shè)直線 ab 的方程為： y=k（x1），設(shè) a（x1， y1）， b（ x2，y2），就，整理得： k2

22、x22（k2+2） x+k2=0，就 x1+x2=，x1x2=1，由| ab| =x1+x2+p=+2=8，解得： k2=1，就 k=1，直線 l 的方程 y=x 1；方法二：拋物線c： y2=4x 的焦點(diǎn)為f（1， 0），設(shè)直線ab 的傾斜角為，由拋物線的弦長公式| ab| =8，解得： sin2=， = ，就直線的斜率 k=1，直線 l 的方程 y=x 1；（ 2）由（ 1）可得 ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 d（3，2），就直線 ab 的垂直平分線方程為y2=（ x 3），即 y=x+5，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），就，解得：或，因此，所求圓的方程為（x 3） 2+（y2）2=16 或（

23、x11）2+（y+6）2=144第16頁（共 22頁）10設(shè)橢圓+=1（ a b 0）的左焦點(diǎn)為 f，上頂點(diǎn)為 b已知橢圓的離心率為，點(diǎn) a 的坐標(biāo)為（ b，0），且| fb| .| ab| =6（ ）求橢圓的方程；（ ）設(shè)直線 l：y=kx（ k 0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為p，且 l 與直線 ab 交于點(diǎn) q如=sin aoq（o 為原點(diǎn)），求 k 的值【解答】 解：（）設(shè)橢圓+=1（ab0）的焦距為 2c，由橢圓的離心率為e=，=；又 a2=b2+c2， 2a=3b，由| fb| =a，| ab| =b，且| fb| .| ab| =6； 可得 ab=6，從而解得 a=3，b=2，橢圓的

24、方程為+=1；第17頁（共 22頁）（ ）設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（ x1，y1），點(diǎn) q 的坐標(biāo)為（ x2，y2），由已知 y1y20； | pq| sinaoq=y1y2；又| aq| =，且 oab=， | aq| =y2 ，由=sinaoq，可得 5y1=9y2；由方程組，消去 x，可得 y1=，直線 ab 的方程為 x+y2=0；由方程組，消去 x，可得 y2=； 由 5y1=9y2，可得 5（k+1） =3，兩邊平方，整理得56k250k+11=0， 解得 k=或 k=； k 的值為或11已知橢圓 c：，直線 l：y=kx+1（k0）與橢圓 c 相交于 a， b 兩點(diǎn)， d 為 ab 的

25、中點(diǎn)（ 1）如直線 l 與直線 od（ o 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為，求橢圓 .的方程；（ 2）在（ 1）的條件下， y 軸上是否存在定點(diǎn)m 使得當(dāng) k 變化時，總有 amo=bmo（o 為坐標(biāo)原點(diǎn)）如存在，求出定點(diǎn)m 的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由【解答】 解：（1）由得（ 4+a2k2）x2+2a2kx3a2=0，明顯 0，設(shè) a（x1，y1），b（x2， y2 ），d（x0 ，y0），就，第18頁（共 22頁），= a2=8所以橢圓 c 的方程為（ 2）假設(shè)存在定點(diǎn)m ，且設(shè) m （ 0， m），由 amo= bmo 得 kam+kbm=0即 y1x2+y2x1m（x1+x2）=0， 2kx1x2+x1+x2 m（x1+x2 ）=0由（ 1）知，