廣東高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、2021 年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）一、挑選題： （本大題共8 小題，每道題5 分，滿分40 分；在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有哪一項(xiàng)符合題目要求的）1. 設(shè) i 為虛數(shù)單位，就復(fù)數(shù)56iia 65ib 65ic65id65i2. 設(shè)集合 u1,2,3,4,5,6, m1,2,4，就 cu ma ub 1,3,5c3,5,6d2,4,6uuuruuuruuur3.如向量 ba2,3, ca4,7 ， 就 bca 2,4b 2, 4c 6,10d 6,104. 以下函數(shù)中，在區(qū)間0, 上為增函數(shù)的是a yln x2b yx1c yx1 d yx12 xy25. 已知變量

2、x, y 滿意約束條件xy1 ，就 z xy13 xy 的最大值為a 12b 11c 3d16. 某幾何體的三視圖如圖1 所示，它的體積為 a 12b 45c 57d 817. 從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0 的概率是a 49c 29b 13d 19 8. 對(duì)任意兩個(gè)非零向量, ，定義o =, 如向量 a,b 滿意 | a | | b |0 ，a,b 的夾角0, ， 4且 a ob 和 b oa 都在集合n | nz中，就2a ob =2021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第1頁(yè) 共10頁(yè)a 12b 1c 32d 52二、填空題：本大題共7 小題，考生作答6 小題

3、，每道題5 分，滿分 30 分；（一）必做題（913 題）9. 不等式 | x2 | x |1 的解集為；10. x21 6 的綻開式中xx3 的系數(shù)為；（用數(shù)字作答）11. 已 知 遞 增的 等 差數(shù) 列a滿 足 a1,aa 24 ， 就n132an；12. 曲線yx3x3 在點(diǎn) 1,3 處的切線方程為；13. 執(zhí)行如圖 2 所示的程序框圖，如輸入n 的值為 8，就輸出 s 的值為；（二）選做題（1415 題，考生只能從中選做一題）14. （ 坐 標(biāo) 系 與 參 數(shù) 方程 選做 題 ） 在 平 面 直 角坐 標(biāo)系xoy 中 ， 曲 線c1 和c 2 參 數(shù) 方 程分 別 為xtxt為參數(shù) 和

4、yty2 cos2 sin為參數(shù) ，就曲線c1 和 c2的交點(diǎn)坐標(biāo)為；15. （幾何證明選講選做題）如圖3，圓 o 的半徑為1，a, b, c 為圓周上的三點(diǎn)，滿意abc30 ，過(guò)點(diǎn) a作圓 o 的切線與 oc 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)p ，就 pa；三、解答題：本大題共6 小題，滿分80 分；解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟；16. （本小題滿分12 分）已知函數(shù)f x2cosx （其中0, xr ）的最小正周期為1061）求的值；2）設(shè),0,f 556 , f 5516，求 cos 的值；2356172021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第2頁(yè) 共10頁(yè)17. （本小題滿分13 分）某班 5

5、0 位同學(xué)期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖4 所示，其中成果分組區(qū)間是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ；1）求圖中x 的值；2）從成果不低于 80 分的同學(xué)中隨機(jī)選取 2 人，該 2 人中成果在 90 分以上（含 90 分）的人數(shù)記為 ，求 的數(shù)學(xué)期望；18. （本小題滿分13 分）如圖5 ，在四棱錐pabcd 中，底面abcd 為矩形，pa平面 abcd，點(diǎn) e 在線段 pc 上， pc平面 bde（ 1）證明： bd平面 pac（ 2）如 pa1, ad2 ，求二面角bpca 的正切值；19（本小題滿分14 分）設(shè)數(shù)列a的

6、前 n 項(xiàng)和為 s ，滿意 2sa2n 11,nn * ，且a , a5, a 成等差數(shù)列；nnnn 1123（1）求a1 的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n ，有1113l；a1a2an22021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第3頁(yè) 共10頁(yè)20. （本小題滿分14 分）x2y22在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知橢圓c : a2b 21ab0 的離心率為e，且橢圓3c 上的點(diǎn)到 q 0, 2 的距離的最大值為3.（1）求橢圓 c 的方程；（ 2）在橢圓 c 上，是否存在點(diǎn)m m, n ，使得直線l : mxny1 與圓2o : x2y1 相交于不同的兩點(diǎn)a, b

7、，且aob 的面積最大？如存在，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的aob 的面積；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；21. （本小題滿分14 分）設(shè) a1 ，集合axr | x0 , bxr | 2x231a) x6ax0， da ib（1）求集合d （用區(qū)間表示） ；（2）求函數(shù)f x2 x331ax26ax 在 d 內(nèi)的極值點(diǎn)；2021 年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）參考答案：18: dcaabcdb注：第 8 題解析： 由于a oba b| a | coscos2 ， b oaba| b | coscos1b b| b |2aa| a |且 a ob 和 b oa 都在集合 n2| nz

8、中，所以，b o a| b | cos1 ， | b |1，所以a o b| a | cos2cos 22| a |2| a |2cos| b |所以22a o b2 ，故有a ob12021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第4頁(yè) 共10頁(yè)9., 1 （寫成集合形式也給分2x | x1）10. 2011.2n1212.2 xy1013.814.1,115.3第 9 題注解：| x2 | x |1| x-2|-|x-0|1 即數(shù)軸上到 -2 的點(diǎn)與到0 點(diǎn)距離只差小于1 的點(diǎn)的集合；三、解答題：本大題共6 小題，滿分80 分；解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟；16. （本小題滿分12 分）

9、已知函數(shù)f x2cosx （其中0, xr ）的最小正周期為106（ 1）求的值；（ 2）設(shè),0,f 556 , f 5516，求 cos 的值；235617解：（1）由題意 210，解得1 ；562cos3sin4cos（ 2）由題2cos25 ，即1617cos5，又,0,82，可得5，sin151717483151351751785所以 coscoscossinsin；17. （本小題滿分13 分）某班 50 位同學(xué)期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖4 所示，其中成果分組區(qū)間是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ；（ 1）求圖

10、中x 的值；（ 2）從成果不低于80 分的同學(xué)中隨機(jī)選取2 人，該 2 人中成果在 90 分以上（含90 分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望；解：（ 1）由題意：0.0540.010.0063x101 ，解得 x0.018 ；（ 2 ） 8090分 有 500.018109 人 ； 90100分 有500.006103 人；全部可能的取值為0, 1, 22021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第5頁(yè) 共10頁(yè)2112p0c9c 212 ;22p1c9c3c29 ;p0c3122c 222121212故e01219211 ；222222218. （本小題滿分13 分）如圖5，在四棱錐pabcd 中，底

11、面abcd 為矩形，pa平面 abcd，點(diǎn) e 在線段 pc 上， pc平面 bde（ 1）證明： bd平面 pac（ 2）如 pa1, ad2 ，求二面角bpca 的正切值；（ 1）證明：pa平面 abcd， pabd ； pc平面 bde， pcbd ；又 pa ipcp ， bd平面 pac ；（ 2 ）解：設(shè)ac , bd 交于 o ，連結(jié)oe ，由題pcbe ,pcoe ，所以beo 即為二面角bpca 的平面角；由（ 1）知， bdac ，所以四邊形abcd為正方形，易得 oc1 ac22, pcpa2ac 2183 ；由（ 1）知oecpac90 又ocepca ，有oec :p

12、ac ，故 oeocpapc， oepaocpc2 ；在 rtboe 中， tan 3beoob3 ； oe所以二面角bpca 的正切值為3 19（本小題滿分14 分）設(shè)數(shù)列a的前 n 項(xiàng)和為 s ，滿意 2sa2n 11,nn * ，且a , a5, a 成等差數(shù)列；nnnn 1123（1）求a1 的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n ，有 11l13 ；2a1a2221a1a2an2a11解：（ 1）由題2aa a231，解得a5a1.1232，故12a25a1a3a3192021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第6頁(yè) 共10頁(yè)（ 2）當(dāng) n1時(shí)，a11 ；當(dāng) n2

13、 時(shí)，2 sa2 n 112 sa2n1nn 1n 1n由 - 得：2aaa2n ，整理得3aa2 n ,an 113 an1 ，nn 1nnn 12n 122 n故an 2n1n2 為公比為3 的等比數(shù)列，21首項(xiàng)為 a229an，故n193 n 23 n，242422na3n2n ，體會(huì)證當(dāng)n1 時(shí)， a1132綜上 an3n2n nn * ；（ 3）當(dāng)an3 時(shí)3n2 n12 n2n1c 12c 22 2lc n 12n 12 n2nnnnn1c 12c 222lc n 12 n 1c 2222 nn1nnnn又由于a252221 ，所以， an2n n1, n2 ；所以，111 11

14、an2nn12n1n所以，111l111 1111l11 11 11 3 .a1a2a3an2234n1n2n220. （本小題滿分14 分）x2y22在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知橢圓c : a 2b21ab0 的離心率為e，且橢圓 c 上的點(diǎn)3到 q0, 2 的距離的最大值為3.（ 1）求橢圓 c 的方程；（ 2）在橢圓c 上，是否存在點(diǎn)m m, n ，使得直線l : mxny1 與圓o : x2y21 相交于不同的兩點(diǎn)a, b ，且aob 的面積最大？如存在，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的aob 的面積；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；解：（ 1）由 ec2c22 a2 ，所以 b2a 2c21 a 2

15、a3332021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第7頁(yè) 共10頁(yè)x2y222y222設(shè) p x, y是橢圓 c 上任意一點(diǎn)，就a 2b21 ，所以xa 1b2 a3 y| pq |x2 y2 2a 23y2 y222 y12a 263 ay3 a33當(dāng)3 a13a ，即 a3 時(shí)， y1 時(shí)， | pq| 有最大值a263 ，33可得 a3 ，所以 b1,c2 ；當(dāng)3 a31 ，即 0a3 時(shí)，y3 a 時(shí)， | pq |有最大值 33 a3223 ，可得a3 ，舍去；所以 b1,c2 故橢圓 c 的方程為：xy1.2232（ 2）由于m m, n 在橢圓 c 上，所以mn1， m233 n2

16、22322mxny12222設(shè) a x1 , y1 ， b x2 , y2 ， 由x2，得y21mn x2mx1n0所以，4m24m2n 2 12mn 2 4n 2 m2 1n 2n 214n2 21 n 2 0 ，可得2n24并且： x1x222 ，mnx1 x2m2n21mx1mx1m xx m 2 x x1m2所以，y1 y212121 2nnn2m2n2所以，| ab | xx 2 yy 2x2y2x2y22 x xy y 121211221 2121n21m212221（ 亦可| ab |r 2d 2，其中d 為圓心到直線m2n2m2n2m2n2mxny1 的距離 ）設(shè)點(diǎn) o到直線

17、ab的距離為 h ，就 h1m2n 22021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第8頁(yè) 共10頁(yè)所以 svoab1 | ab | h211m2n21m2n2設(shè) t1m2n2，由 0n24 ，得 m2n 231 n221,3，所以， t1,13svoabt1t t1 21 ， t1 ,1243所以，當(dāng) t1時(shí)， svoab2面積最大，最大為1 ；2此時(shí)，m 0,2221. （本小題滿分14 分）設(shè) a1 ，集合axr | x0 , bxr | 2x31a) x6ax0， da ib（1）求集合d （用區(qū)間表示） ；（2）求函數(shù)f x2 x331ax26ax 在 d 內(nèi)的極值點(diǎn)；解：（ 1）對(duì)于方程

18、2 x231a x6a0判別式91a248a3a33a1由于 a1 ，所以 a30當(dāng) 13a1 時(shí)，0 ，此時(shí) br ，所以 d0, ；當(dāng) a1時(shí)，0，此時(shí) b3 x | x1 ，所以 d0,1 u 1, ；當(dāng) a1 時(shí)，0，設(shè)方程2 x231a x6a0 的兩根為x , x 且 xx ，就3x311a3a 433a21 ， x31a3a 4121233a1b x | xx1或xx2 當(dāng) 0a1時(shí)， xx31a 0 ， x x3a0 ，所以 x0, x0121 21232此時(shí)， d x, x1 u x2 ,31a3a33a131a 3a33a10, u , 44當(dāng) a0 時(shí)，x1x23a0 ，所以 x10, x202021 廣東高考數(shù)學(xué)理科試題信參考答案第9頁(yè) 共10頁(yè)31a3a33a1此時(shí)， d x2 ,4（ 2） fx6x261a x6a6 x1xa ， a1所以函數(shù)f x在區(qū)間 a,1 上為減函數(shù)，在區(qū)間, a 和 1, 上為增函數(shù)當(dāng) 13a1 時(shí)，由于 d，所以f x 在 d 內(nèi)沒有極值點(diǎn)；當(dāng) a1 時(shí)， d3