直線與圓中的最值問題

1、直線與圓中的最值問題Company Document number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998直線與圓直線與圓的位置關系有三種：相判定方法有兩種：代數(shù)法:建線:Ax+B.hC=O,圓：三夕+Dx+E尸F(xiàn)=0,聯(lián)立得方程組/h+A，+C=OH+F+£hr+防 P=0隹T一元二次方程>0O相交=0o相切<0o相離兒何法；直線:Aa+Bj-+C=O,圓:（x-ay-bf=r2f 圓心（“，b）d>r <>相離到直線的距離為亦Aci + Bb + Cy/M + B2亦d =o相切 t/vro相交W-L - _ 與圓有關的最值問

2、題，可借助圖形性 質，利用數(shù)形結合求解，一般地：形如戶號母式盯長值問題，可共化為動直線縛的晨信冋題.（2）形如尸公+ ®形式的最值問題，可轉化為動宜線截距 的最值冋題形如仗一"+ ®-力P形式的最值問題，可傳化圓心已定 的動圓半徑的最値冋題.二、弦長公式:直線與二次曲線相交所得的弦長1直線具有斜率心直線與二次曲線的兩個交點坐標分別為川人）"區(qū)?。?則它的弦長AB = Jl+F K 疋| = J（l+£）（召+勺）24召勺注:實質上是由兩點間距離公式推導出來的，只是用了交點坐標設而不求的技巧而已（因為 ”-力=用3-吃），運用韋達定理來進行計算.

3、2當直線斜率不存在是，則4創(chuàng)=1>«_班三、過兩圓Ci： x2 + y2 +Dix +Eiy +F = 0和Cix x2 + y2 +Dix +Eiy +Fi = 0的交點的圓系方程，一般設 為x2+y2 +Dix +Eiy +Fi+>.（x2 + y2 +D2x +E2y+Fi） = 0 （x 為參數(shù)）此方程不包括圓 C2四、對稱問題1和最小，化異側（兩邊之和大于第三邊，三點共線時取等號即最小值）2差最大，化同側（兩邊之差小于第三邊，三點共線時取等號即最大值）例題分析1、如果實數(shù)滿足等式（x-2）2+r=3,（1）求丄的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值與最小值；（

4、3）求/ +，2的最大值與最小值.2、已知兩定點川-3,5), (2,15),動點p在直線3x-4y+4 = 0上，當嗎取最小值時，這個最小值為().A.B.阪 C.D. 5 + 1003、已知點人(-3,8)、3(2,2)，點P是x軸上的點，求當M + M最小時的點尸的坐標.【解答】如圖示:上即圓上的點與原點所在直線的斜率.當直線與圓相切時，斜率取得最大值和最小值，即上取得最 XX大值與最小值； y-x即過圓上點，且斜率為1的直線在y軸上截距；疋+才即圓上的點到原點距離的平方.當點位于圓與x軸的左交點時，點到原點的距離最??；當點位于圓與x軸的右交點時，點到原點的距離最大.解(1)設P(x,y

5、)為圓(x-2)2 + y2=3上一點丄的兒何意義為直線OP的斜率，設上*，則直線OPXX的方程為y =也當直線OP與圓相切時，斜率取最大值與最小值.圓心到直線y = kx的距離=嚴_()1當霍二=苗，即"土館時，直線OP與W + F V2 + 12 a/P+F圓相切丄的最大值為最小值為X(2) 令y-x = b.即y = x + b,求y-x的最大值與最小值即過圓上點，且斜率為1的直線在y軸上 截距的最大值與最小值.為直線與圓相切時,截距取得最大值與最小值圓心到直線y = x+b的距離d12-0 + 1_ 12 + bl12 +bl即/? = ±>/-2時，直線OP

6、與圓相切，-兀的最大值為>/6-2 ,最小值為->/6-2 .(3) 要/ + 的最大值與最小值，即求圓上的點到原點距離的平方的最大值與最小值.當點位于圓與x軸的左交點時，點到原點的距離最?。划旤c位于圓與X軸的右交點時，點到原點的距離最大;左交點坐標為(2-餡,0),右交點坐標為(2 + 73,0)仃可的最大值與最小值分別為2 + >/3 , 2->/3 x2 + ),2的最大值與最小值分別為7+ 4血，7-4苗.2【分析】先求出點人關于直線34y + 4 = 0的對稱點. 連接A和B交直線于點P,根據(jù)三角形 的兩邊之和大于第三邊可知，此時四 + P呦取值最小，最小值為

7、14別.根據(jù)兩點間的距離公式即可求得最小值?！窘獯稹咳鐖D示則卜字i帑宀。解得歸,一即川=(3, -3) I J(2 - 3)2 + (15 + 3)2 = 5屁 即網+旳的最小值為5.3【分析】先求出點關于x軸的對稱點連接點A和點瓦交x軸于P點，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可知，此時0兒+勻取值最小，最小值為IB，AI,點P的坐標即為夕人與*軸交點?！窘獯稹咳鐖D示點關于x軸的對稱點為3 = (2,-2)2x+ v - 2 = 0與x軸交點為P(1,O)即為所求.直線與圓中的最值問題、直線與圓的交點問題總是轉化成圓心到直線的距離和半徑之間的比較，或者是利用方程有解的 問題。例1、若直線43y = +d = 0與圓£ +)>ioo相交相切相離分別求實數(shù)a的取值范圍二、圓上一點到直線距離的最值問題總是轉化成求圓心到定直線的距離 例2、求圓(x-2)'+b + 3)'=4上的點到”-，+ 2 = 0的最遠、最近的距離 三、有些最值問題要注意向函數(shù)問題轉化。例3、方程用+©2 4 -1) "4)=0表示圓，求G的取值范圍，并求岀其中半徑最小的圓的方程.例4、求切網尸“的最小值五、抓住式子的幾何意義也是我們求最值的方法之一。3 1-己知實數(shù)兀、y滿足X十十4卄3