直線與圓中的最值問題

1、直線與圓中的最值問題Company Document number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998直線與圓直線與圓的位置關(guān)系有三種：相判定方法有兩種：代數(shù)法:建線:Ax+B.hC=O,圓：三夕+Dx+E尸F(xiàn)=0,聯(lián)立得方程組/h+A，+C=OH+F+£hr+防 P=0隹T一元二次方程>0O相交=0o相切<0o相離兒何法；直線:Aa+Bj-+C=O,圓:（x-ay-bf=r2f 圓心（“，b）d>r <>相離到直線的距離為亦Aci + Bb + Cy/M + B2亦d =o相切 t/vro相交W-L - _ 與圓有關(guān)的最值問

2、題，可借助圖形性 質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：形如戶號母式盯長值問題，可共化為動直線縛的晨信冋題.（2）形如尸公+ ®形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動宜線截距 的最值冋題形如仗一"+ ®-力P形式的最值問題，可傳化圓心已定 的動圓半徑的最値冋題.二、弦長公式:直線與二次曲線相交所得的弦長1直線具有斜率心直線與二次曲線的兩個交點坐標分別為川人）"區(qū)小）,則它的弦長AB = Jl+F K 疋| = J（l+£）（召+勺）24召勺注:實質(zhì)上是由兩點間距離公式推導(dǎo)出來的，只是用了交點坐標設(shè)而不求的技巧而已（因為 ”-力=用3-吃），運用韋達定理來進行計算.

3、2當(dāng)直線斜率不存在是，則4創(chuàng)=1>«_班三、過兩圓Ci： x2 + y2 +Dix +Eiy +F = 0和Cix x2 + y2 +Dix +Eiy +Fi = 0的交點的圓系方程，一般設(shè) 為x2+y2 +Dix +Eiy +Fi+>.（x2 + y2 +D2x +E2y+Fi） = 0 （x 為參數(shù)）此方程不包括圓 C2四、對稱問題1和最小，化異側(cè)（兩邊之和大于第三邊，三點共線時取等號即最小值）2差最大，化同側(cè)（兩邊之差小于第三邊，三點共線時取等號即最大值）例題分析1、如果實數(shù)滿足等式（x-2）2+r=3,（1）求丄的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值與最小值；（

4、3）求/ +，2的最大值與最小值.2、已知兩定點川-3,5), (2,15),動點p在直線3x-4y+4 = 0上，當(dāng)嗎取最小值時，這個最小值為().A.B.阪 C.D. 5 + 1003、已知點人(-3,8)、3(2,2)，點P是x軸上的點，求當(dāng)M + M最小時的點尸的坐標.【解答】如圖示:上即圓上的點與原點所在直線的斜率.當(dāng)直線與圓相切時，斜率取得最大值和最小值，即上取得最 XX大值與最小值； y-x即過圓上點，且斜率為1的直線在y軸上截距；疋+才即圓上的點到原點距離的平方.當(dāng)點位于圓與x軸的左交點時，點到原點的距離最小；當(dāng)點位于圓與x軸的右交點時，點到原點的距離最大.解(1)設(shè)P(x,y

5、)為圓(x-2)2 + y2=3上一點丄的兒何意義為直線OP的斜率，設(shè)上*，則直線OPXX的方程為y =也當(dāng)直線OP與圓相切時，斜率取最大值與最小值.圓心到直線y = kx的距離=嚴_()1當(dāng)霍二=苗，即"土館時，直線OP與W + F V2 + 12 a/P+F圓相切丄的最大值為最小值為X(2) 令y-x = b.即y = x + b,求y-x的最大值與最小值即過圓上點，且斜率為1的直線在y軸上 截距的最大值與最小值.為直線與圓相切時,截距取得最大值與最小值圓心到直線y = x+b的距離d12-0 + 1_ 12 + bl12 +bl即/? = ±>/-2時，直線OP

6、與圓相切，-兀的最大值為>/6-2 ,最小值為->/6-2 .(3) 要/ + 的最大值與最小值，即求圓上的點到原點距離的平方的最大值與最小值.當(dāng)點位于圓與x軸的左交點時，點到原點的距離最?。划?dāng)點位于圓與X軸的右交點時，點到原點的距離最大;左交點坐標為(2-餡,0),右交點坐標為(2 + 73,0)仃可的最大值與最小值分別為2 + >/3 , 2->/3 x2 + ),2的最大值與最小值分別為7+ 4血，7-4苗.2【分析】先求出點人關(guān)于直線34y + 4 = 0的對稱點. 連接A和B交直線于點P,根據(jù)三角形 的兩邊之和大于第三邊可知，此時四 + P呦取值最小，最小值為

7、14別.根據(jù)兩點間的距離公式即可求得最小值?！窘獯稹咳鐖D示則卜字i帑宀。解得歸,一即川=(3, -3) I J(2 - 3)2 + (15 + 3)2 = 5屁 即網(wǎng)+旳的最小值為5.3【分析】先求出點關(guān)于x軸的對稱點連接點A和點瓦交x軸于P點，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可知，此時0兒+勻取值最小，最小值為IB，AI,點P的坐標即為夕人與*軸交點?！窘獯稹咳鐖D示點關(guān)于x軸的對稱點為3 = (2,-2)2x+ v - 2 = 0與x軸交點為P(1,O)即為所求.直線與圓中的最值問題、直線與圓的交點問題總是轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離和半徑之間的比較，或者是利用方程有解的 問題。例1、若直線43y = +d = 0與圓£ +)>ioo相交相切相離分別求實數(shù)a的取值范圍二、圓上一點到直線距離的最值問題總是轉(zhuǎn)化成求圓心到定直線的距離 例2、求圓(x-2)'+b + 3)'=4上的點到”-，+ 2 = 0的最遠、最近的距離 三、有些最值問題要注意向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化。例3、方程用+©2 4 -1) "4)=0表示圓，求G的取值范圍，并求岀其中半徑最小的圓的方程.例4、求切網(wǎng)尸“的最小值五、抓住式子的幾何意義也是我們求最值的方法之一。3 1-己知實數(shù)兀、y滿足X十十4卄3