立體幾何中地向量方法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)立體幾何中的向量方法適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中二年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）90知識(shí)點(diǎn)用空間向量處理平行垂直問(wèn)題；用空間向量處理夾角問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)1.理解直線的方向向量與平面的法向量；2能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；3能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.4能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法的作用.教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題文檔教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入空間平行垂直問(wèn)題1 兩條直線平行與垂直；2 .直線與平面平行與垂直;3.兩個(gè)平面平行與垂直；

2、空間夾角問(wèn)題1 .兩直線所成角；2 .直線和平面所成角；3 .二面角的概念；空間距離問(wèn)題、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)(1) 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：設(shè) a 佝代代),b (dbb)，貝Urrr rrab(aibi,a26,直b3) a b(ai b,a2b,a3 b3)a( a?,a3)( R)a baibia?b?a3da/b aibi,a?b?,a3d( R) a baiba?b?asbs0uuu若 A(心 yi,zjB(X2,y2,Z2) 則 AB (x? Xi,y? %乙 乙).一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).(3) 模長(zhǎng)公式：若acos. a(4)

3、夾角公式：(ai , a2,a3),r r|a| |b|則|a|aibi2a22 2a2a3a2b2a3b3玄32汕2b22b32(5)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(冷以),B(x比厶),則ABAB.(xi X2)2 (yiy2)2 (zi Z2)2 .三、知識(shí)講解考點(diǎn)1平面法向量的求法在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)n （x, y,z），它和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量垂直，數(shù)量積為0,建立兩個(gè)關(guān)于x,y,z的方程，再對(duì)其中一個(gè)變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量還有幾種求平面法向量的辦法也 比較簡(jiǎn)便.求法一：先來(lái)看一個(gè)引理：若平面ABC與空間直角坐標(biāo)系x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為 A（a

4、，0，0）、B（0，b，0）、C（0，0，c），定義三點(diǎn)分 別在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值 xa = a， yB = b， zc = c （a,b,c均不為0），則平面 ABC的法向量為 r 111n （1,-,-）（0）.參數(shù)的值可根據(jù)實(shí)際需要選取.a b c證明： AB = (- a, b, 0), AC = (-a, 0, c), r uuu r umrn AB 0, n AC 0,r 111n (-，)是平面ABC的法向量.a b c這種方法非常簡(jiǎn)便，但要注意幾個(gè)問(wèn)題：(1)若平面和某個(gè)坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為，法向量對(duì)應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為0 .比r 1 1如若和

5、x軸平行(交點(diǎn)坐標(biāo)值為 )，和y軸、z軸交點(diǎn)坐標(biāo)值分別為b、c,則平面法向量為n(0,-,-)；若平面和x,yb cr1軸平行，和z軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為c,則平面法向量為n(0,0,-).c(2) 若平面過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,則可適當(dāng)平移平面.求法二：求出平面方程，得到法向量.我們先求過(guò)點(diǎn)Po(Xo,y°,Zo)及以n = A, B,C為法向量的平面的方程.設(shè)P(x, y,z)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，于是有POP n = 0,即 A(x Xo) B(y yo) C(z Zo)0整理得 Ax By Cz ( AX0 By。Cz°)0令 DAX0 By0 Cz°，有 Ax By Cz D

6、 0這就是平面的一般方程平面的方程可用三元一次方程來(lái)表示且 x,y,z的系數(shù)組成該平面的法向量.，可用平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)求出平注意：(1)有了平面的方程Ax By Cz D 0，就能得到平面的法向量 A,B,C 面的方程.(2) 些特殊情形的平面，方程會(huì)更簡(jiǎn)捷:通過(guò)原點(diǎn)的平面，D 0,方程為Ax By Cz 0;平行于x軸的平面，A 0,方程為By Cz D 0 ；通過(guò)x軸的平面，A 0,D0，方程為By Cz 0 ；既平行于x軸又平行于y軸的平面，也就是一個(gè)平行于xoy坐標(biāo)面的平面，方程為Cz D 0 ； 類似地，可討論其它特殊情形.(3)兩平面：Aix Biy Ciz Di 0與 仃 B?

7、y C2Z D20平行的充要條件是Ai : A2 Bi : B2 Ci : C2 Di : D2求法三：用行列式求得法向量.若mx-ysZ ， n2 x2, y2, z2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，i j k計(jì)算行列式xi yi zi = ai bj ck，X2 y Z2則平面的法向量為na,b,c .考點(diǎn)2用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角時(shí)遇到一個(gè)難題：二面角的取值范圍是0,而兩個(gè)向量的夾角取值范圍也是0,那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補(bǔ)角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過(guò) 2的那個(gè)角即可，但對(duì)二面角卻是個(gè)難題.筆者經(jīng)過(guò)思考，

8、總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單可行的方法，供讀者參考用法向量解二面角首先要解決的問(wèn)題就是：兩個(gè)法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判 斷得到的法向量是否是我們需要的那個(gè)方向？ir uu對(duì)第一個(gè)問(wèn)題，我們用一個(gè)垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一），兩個(gè)平面的法向量ni,門2則應(yīng)分別垂直于ir uu該平面角的兩邊易知，當(dāng)厲2同為逆時(shí)針?lè)较蚧蛲瑸轫槙r(shí)針?lè)较驎r(shí)，它們所夾的解即為所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個(gè)法向量即可或者可以通俗地理解，起點(diǎn)在半平面上的法向量，如果指向另一個(gè)半平面，貝U稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外”的方向 兩個(gè)法向量所夾的角與二面角大小相等

9、當(dāng)且僅當(dāng)這 兩個(gè)法向量方向一個(gè)“向內(nèi)”，而另一個(gè)“向外” 對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，我們需要選取一個(gè)參照物在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個(gè)坐標(biāo)軸（如 z軸），通過(guò)前 面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與 xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過(guò) xOy平面呢，還是自上而下 穿過(guò)xOy平面？若是第一種情形，則n與"Oz所夾的角是銳角，只需取法向量的 z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，則n與0Z所夾的角是鈍角，只需取法向量的 z坐標(biāo)為負(fù)即可若法向量與xOy平面平行，則可以選取其它如 yOz平面、zOx平面觀察.（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)

10、作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角.如果分 別在兩個(gè)半平面內(nèi)作兩個(gè)向量（如圖），起點(diǎn)在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個(gè)向量所夾的角，與二面角的大小 是相等的.這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點(diǎn)是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小 帶來(lái)的影響.考點(diǎn)3空間直線與空間平面的向量形式在平面解析幾何中，曲線上的動(dòng)點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，通過(guò)對(duì)變量的運(yùn)算達(dá)到求值、證明的目的在立體幾何中借用 向量，直線、平面上的點(diǎn)也可以用參數(shù)來(lái)表示，通過(guò)對(duì)參數(shù)的運(yùn)算，同樣可以達(dá)到求值、證明的目的.1 空間直線：如果I為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且方向向量為a的直線，那么點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿

11、足uuu r等式AP ta，或?qū)θ我稽c(diǎn)0 （通常取坐標(biāo)原點(diǎn)），有uuuruuur rOPOA ta這是空間直線的向量形式.2 .空間平面：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) s、t，使uuiruuur uuirMP sMA tMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn) 0 （通常取坐標(biāo)原點(diǎn)），有uuu ujuu uuur uurOP OM sMA tMB .這是空間平面的向量形式.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)四、例題精析【例題1】 如圖，在四棱錐S ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD丄底面ABCD , E、F分別是AB、SC的中占八、(I )求證：EF/平面SAD ;(H )設(shè)SD = 2CD，求二面角A

12、EF D的大小;【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz .設(shè) A(a,O,O), S(0,0, b)，則 B(a, a,0) C(0, a,0),E a,0 , F 0,，- , EF2 2 2a,0,£bumr取SD的中點(diǎn)G 0,0,，貝U AG2uur uurEF AG, EF / AG, AG 平面 SAD, EF 平面 SAD ,所以EF /平面SAD .11(2)不妨設(shè) A(1,0)，則 B(1,0, C(0,1,0), S(0,) E 1, , , F 0, ,.22平面AEFG與x軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(1,0,0)、G(0,0,1)，與y軸無(wú)交點(diǎn)，則法向量

13、(1,0,1)，在CD延長(zhǎng)線上 取點(diǎn)H，使DH = AE,貝U DH / AE，所以AH /ED，由(1)可知AG /EF,所以平面 AHG /平面EFD，平面AHG與x1uu軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為 A(1,0,0)、H(0, - 2 ,0)、G(0,0,1)，則法向量 比(1, 2,1)，設(shè)二面角A EF- D的大小為，則cos3，即二面角 A- EF- D的大小為V3arccos2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【例題2】 已知四棱錐P ABCD的底面為直角梯形，AB /DC,/DAB = 90 , PA丄底面ABCD，且PA = AD = DC =1-AB = 1 , M是PB的中點(diǎn)2(1 )求二面角C

14、 AM B的大??；(2 )求二面角A MC B的大小.文檔【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對(duì)二面角 C AM B而言，AD是平面AMB的法向量(向內(nèi))，易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿過(guò) xOy平面，所以與飛Z所夾的角是銳角.對(duì)二面角A MC B而言，平面ACM 選取上述法向量，則為“向外”的方向，平面 BCM就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時(shí)是自上而下穿過(guò) xOy平面，與z軸 正向所夾的角是鈍角(1)如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面 AMB的法向量為= (1,0,0),設(shè)uu平面ACM的法向量為n2 = (x,y,z).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)1由已知 C

15、 (1, 1,0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，貝U M(0, 1, 2 ),1文檔AC =(1, 1, 0),AM=(0, 1,2).uu n?uuAC0, Xy c),取yuuuuuu10.=1n2AM0. yz2uu(滿足uun2 = (1,1,2).n2AZ>0)1由AM B的大小為,貝U cos,貝U x= 1, z = 2 ,設(shè)二面角Cir uu ni tr nin21飛,所求二面角的大小為arccos 66uu(2)選取(1)中平面ACM的法向量n2 = (1, 1,2)，設(shè)平面BCM的法向量為n3 =(x,y,z).BC 二(1, 1, 0), BM

16、二(0, 1, 2 ),實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔uu uuun3 BC 0, uu ujunn3 BM 0.x y 0,1y z 0.2取 z 二一2，則 y 二一1, x 二一1 ,A MC B的大小,uuu wn3 = (1, 1, 2)，則門2 , n3所夾的角大小即為面角設(shè)為cos所求二面角的大小為3【例題3】 如圖，已知長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，AB = BC = 1 , AAi = 2 , E是BBi的中點(diǎn).(1 )求二面角EACi B的大小;(2)求二面角Ci AE B的大小.【解析】在第(1)題中，只需在ACi上找到兩點(diǎn)G、H，使得Gb、HE均與HaCi垂直，則Gb、HE的夾角

17、即uur uuuu uuu uur uuu uuuu uuu為所求二面角的大小.如何確定 G、H的位置呢？可設(shè)GAACi , GB GA AB AG AB，這樣向量 GB就用參數(shù) 表示出來(lái)了，再由"Gb2ci二0求出 的值，貝U向量"Gb即可確定，同理可定出H點(diǎn).第(2)題方法類似.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0), A(0,1,0), C(1,0,0), Bi(0,0,2), Ci(1,0,2),E(0,0,1) . ACi = (1,-1,2), AB 二(0, - 1,0)(,2 )，則uuu(1 )設(shè) GAuuunACiu

18、uu uuu uuuGB GA AB (,1,2 ),由 GB ACi = 0+ (+ 1) + 4= 0，1解得：-，6GB151(6, 6, 3f1同理可得：HE =(2,2,0),乙E圖六GB、HE的夾角等于二面角 E-ACi B的平面角.itituu-uutr-|GBHEcos < GBuuu uuurGB HEuiur-uutT|6GB2HEIJHe > =uuu uur6GB 2HE1525.30 . 25面角EACi B 的大小為 arccos5(2) AE = (0, 1, 1),在 AE 上取點(diǎn) M、 uuuruuuMA AE (0,),uuur uuur uuu

19、則 MB MA AB (0,1,),由"Mb ae = 0 得： +1 += 0,解得:圖七N，設(shè)"Mb(0,12cos< MB , NCi > =2i i4 43¥).i i ->同理可求得：NCi = ( i，2，p NCi AE = 0. MB、 NCi的夾角等于二面角 Ci AE B的平面角.umr ujuuMB NCi iu7 JjuJMB NCi二面角Ci AE B的大小為arccos五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】S2, S3分別1.在空間直角坐標(biāo)系 0 xyz 中，已知 A(2 , 0, 0), B(2 , 2, 0), C(0, 2, 0)

20、, D(1 , 1,，2) 若 Si,是三棱錐D - ABC在xOy , yOz , zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A . Si = S2 = S3C. S3 = Si 且 S3 花2B. S2 = Si 且 S2 菸3D . S3 = S2 且 S3 mSi【解析】設(shè)頂點(diǎn)D在三個(gè)坐標(biāo)平面xOy、yOz、zOx上的正投影分別為Di、D2、D3，則ADi = BDi =：2 , AB = 2 ,Si X2 X2 = 2, S2 = SOCD2 = §X2 X' ' 2 = 12, S3 = SOAD 3 =：X2X" '2 = 2 .選D

21、.【答案】D2 .求過(guò)點(diǎn) Mi(2,0,1) ,M2(1,1,0),M3(O,1,1)的平面的法向量.1,1, 1，M1M32,1,0，【解析】方法一：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個(gè)向量M1M22x y 0設(shè)平面的法向量為n x,y,z，由MlM2 n 0，得M1M 3 n 0令x 1，得平面的一個(gè)法向量n 1,2,1 .方法二：設(shè)過(guò)點(diǎn) M1（2,0,1） ,M2（1,1,0）, M3 （0,1,1）的平面的方程為 Ax By Cz D2ACD0代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得 ABD0，解之BCD0DA32D 剛D2DDB，即xyz D 0，333 y3CD30，n 1,2,1所以平面的方程為

22、x 2yz 3 0，所以平面的一個(gè)法向量方法三：由給定平面上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個(gè)向量M1M21,1, 1，M1M32,1,0，因?yàn)檫@兩個(gè)向量不平行，計(jì)算i j k1 11 i 2j k .故所求平面的一個(gè)法向量2 1 0n 1,2,13.已知正方體ACi的棱長(zhǎng)為a , E是CCi的中點(diǎn)，0是對(duì)角線BDi的中點(diǎn)，(1 )求證：0E是異面直線CCi和BDi的公垂線；(2)求異面直線CCi和BDi的距離.O【解析】（1 ）解法一：延長(zhǎng)EO交AiA于F,則F為AA的中點(diǎn)，二EF / AC ,CiECVCC1 AC , AC1C EF，連結(jié) D1E,BE，貝U D1E BE ,又O是BD1的

23、中點(diǎn)，二OE BD1 ,：0E是異面直線CG和BD1的公垂線.解法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,a a aa于是有 D1(0,0,a),C(0, a,0),C1(0, a,a), B(a,a,0),O(2，2)，E(0,a,-),BDi ( a, a,a) , CCi (0,0,a) , EO (，2，0)，BDi EO 0 , CCi EO 0,所以O(shè)E是異面直線CCi和BD“的公垂線.(2)由(1)知，OE為異面直線CCi和BDi的距離.所以O(shè)E岡O滲【鞏固】1.已知正方體ABCD AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為a，求BQ與BD間的距離.【解析】解

24、法一：(轉(zhuǎn)化為BiC到過(guò)BD且與BiC平行的平面的距離)連結(jié)AiD，則AD / BiC，二BiC II平面AiDB，連A®，可證得AG BD， AC1 AD，二 AC1 平面 A,DB，平面ACi平面ADB，且兩平面的交線為 A0,過(guò)C作CE A0，垂足為E，則CE即為B1C與平面A1DB的距離，也即EC與BD間的距離，在 AOC 中, 20C AA -CE A0，故BiC與BD間的距離亍解法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC, DDi所在的直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(a,O,O), B(a,a,O),C(O,a,O)，Bi(a,a,a), A(a,O, a)

25、,D(O,O,O)，由(解法一)求點(diǎn)C到平面AiDB的距離CE，設(shè)E(x,y,z)，VE在平面ADB 上,UUUUuuuuuuur.AiEAiDAiB，即(x a, y,z a) ( a,O, a) (O,a,a)，uuu uuuu uuu ,vCEAQ,CEBD (x,y 2,Z)( a,0, a) ' (x,y 2,z)( a, a,0)a解得:uun3CE(-a, -a, -a) , ACE333解法三：直接求B1C與BD間的距離.設(shè)B1C與BD的公垂線為00“，且Q B1C,O BD ,UULTUUU設(shè) 0(x,y,z)，設(shè) DO BD，xa則(x,y,z)(a,a,0) ,

26、ya，0( a, a,0)，z0同理 0“( a, a,a),uuuu/.001()a,aa, a),uuuu 003uiur uuuu uuuuBD, 003B3C， uuuu uuu001 BDuuuu0,001uuurB1C0，2解得：-3J1uuuu3，。1(1 1a,-331uuuu . 3a,3a)，|001 1 3a .2.如圖所示，三棱柱 ABC - AiBiCi中，點(diǎn)Ai在平面ABC內(nèi)的射影 D在AC上，/ACB = 90 °,BC= 1 , AC = CCi =2.(1)證明：ACi 丄AiB;設(shè)直線AAi與平面BCCi Bi的距離為-.'3，求二面角Ai

27、 - AB - C的大小.【解析】方法一： 證明：因?yàn)锳iD丄平面ABC, AiD?平面AAiCiC，故平面AAiCiC丄平面ABC.又BC丄AC,所以BC丄平面AAiCiC.連接AiC，因?yàn)閭?cè)面AAiCiC為菱形，故ACi±AiC.由三垂線定理得 ACi±AiB.(2)BC丄平面 AAiCiC, BC?平面 BCCiBi，故平面 AAiCiC丄平面 BCCiBi.作AiE丄CCi，E為垂足，則 AiE丄平面BCCiBi.又直線AAi /平面BCCiBi，因而AiE為直線AAi與平面BCCiBi的距離，即AiE ：3.因?yàn)锳iC為ZACCi的平分線，所以AiD AiE- ：

28、3 .作DF丄AB，F(xiàn)為垂足，連接AiF.由三垂線定理得 AiF丄AB，故ZAiFD為二面角Ai - AB - C的平面角.由 AD 'AAi AiD2 i，得 D 為 AC 中點(diǎn)，'5AiDiDF ，tan ZAiFD i5，所以 cos ZAiFD = 一.5DF*41 所以二面角 Ai - AB - C的大小為arccos .4方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C - xyz. 由題設(shè)知AiD與z軸平行，z軸在平面AAiCiC內(nèi).（1）證明：設(shè) Ai（a，0，c）.由題設(shè)有 a<2，A（2，0，0），B

29、（0，1，0），則 AB = （-2，i，0），AC = （-2，0，0），AXi = （a 2，0，c），Q = AC + aXi = （a 4，0，c），bXi = （a, i，c) 由|A i| = 2,得"(a 2) 2+ c2 = 2，即 a2 4a + c2= 0.又Ai BXi = a2 4a + c2 = 0，所以 ACi 丄AiB.(2)設(shè)平面 BCCiBi 的法向量 m = (x, y, z),貝U m 丄CB, m 丄Bli，即 m CB = 0 , m BBi = 0.因?yàn)镃B = (0, 1 , 0), BBi = AAi = (a 2 , 0, c),所以

30、 y= 0 且(a 2)x+ cz = 0 .令 x = c,則 z = 2 a，所以 m = (c, 0, 2 a), |CA m|2c故點(diǎn) A 到平面 BCCiBi 的距離為 |CA| |cosm , CA|= ：= c.|m|pc2+( 2 a) 2又依題設(shè)，A到平面BCCiBi的距離為“''3,所以c = " ' 3 ,代入，解得a = 3(舍去)或a = i，于是AAi = ( i , 0，"3).設(shè)平面ABAi的法向量n = (p , q , r),貝U n 丄AAi, n 丄 AB，即 n AAi = 0 , n AB = 0, p +

31、 .；3r = 0，且一2p + q = 0.令 p ="乜，則 q = 23 , r= 1，所以 n =(零3 , 2 " -1' 3, 1).又p = (0, 0, 1)為平面ABC的法向量，故cosn , pn p 1|n| IP廠 41 所以二面角 A1 - AB - C的大小為arccos.4【拔高】1.如圖，已知ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.【解析】分別以"Cd、-Cb、-Cg為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 E(2,4,0), F(4,2,0)

32、, G(0,0,2), B(0,4,0). "ef = (2, - 2,0), "eg 二(-2, - 4,2),設(shè)P是平面EFG上的動(dòng)點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)s,t，使得"cp = "CE + s"ef + t "Eg二(2,4,0) + s(2, - 2,0) + t( - 2, - 4,2)=(2s- 2t + 2, 4 2s- 4t, 2t), P(2s 2t + 2, 4 2s-4t, 2t), "Bp = (2s-2t + 2, 2s-4t, 2t).當(dāng)且僅當(dāng)BP丄EF且BP丄EG時(shí)，BP丄平面EFG, BP即為所求的點(diǎn)B

33、到平面EFG的距離.BP EF= 0BP G = 02(2s-2t+2) -2 s-4t)=0-2(2 s-21+2) -4(-2 s-4 t) + 4 t=0，解得:s =-113t =11Bp(11 ， 11611),點(diǎn)B到平面EFG的距離即為|2一11_11解法二：因?yàn)槠矫鍱FG的豎截距為2，可設(shè)平面EFG的方程為Ax By z 1,將E(2,4,0), F(4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得2A4B1 ” 、A，解之4A2B1B16，所以平面EFG的方程為 -11 6 6 26即 x y 3z 6 0實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)B(0,4,0)到平面EFG的距離為-0 4 0 621171 1 911文檔實(shí)

34、用標(biāo)準(zhǔn)2.如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱長(zhǎng)都為2 , D為CG中點(diǎn)(I)求證：ABi丄面AiBD;(U)求二面角A AiD B的大小；(川)求點(diǎn)C到平面AiBD的距離.【解析】（I）取BC中點(diǎn)0，連結(jié)AO QA ABC為正三角形，A0丄BC .Q在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCC.B,A0 平面 BCGB .文檔uuu luun muB(1,0,0),取BG中點(diǎn)Oi，以O(shè)為原點(diǎn)，OB , OOi , OA的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D( 1,1,0) , A(o,2,，3) , A(0,0,，3) , B(1,2,0),UULT一 uuuuuu-AB1 (1,2, J3) , BD ( 2,0) , BA ( 12,3)ABi BD = 2 + 2 + 0 = 0 , ABi BA = 1 + 4-3 = 0 ,-ABi BD , ABi BA ,AB丄平面A1BD .uuur-uur uur uuurOP OD tDA1（U）設(shè)P是直線A1D上的動(dòng)點(diǎn)，由（I）可得 DA （1,1八3），貝U存在t R,使得(1,1,0) t(1,1, .3)(t 1,t 1,、3t),P(t 1,t-uuu1, 3t), PA(t 1, t 1, 3 、3t)。uun ujiu當(dāng)PA丄DA1時(shí)，由PA DA 0(t